复变函数与积分变换主讲：周晖杰宁波大学科技学院数学组 二零零七年六月大学数学多媒体课件
2009-7-30 2
参考用书
,复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6
,复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社
,复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5
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目 录
第二章 解析函数
第三章 复变函数的积分
第四章 解析函数的级数表示
第五章 留数及其应用
第六章 傅立叶变换
第七章 拉普拉斯变换
第一章 复数与复变函数
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第六章 傅里叶变换
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第六章 傅里叶变换
6.1 傅里叶变换的概念
6.2 单位脉冲函数
6.3 傅里叶变换 性质
本章小结
思考题
2009-7-30 6
第一节 傅立叶变换的概念
一、周期函数展为傅立叶级数的三角式
()Tf t T设 是以 为周期的函数,[,]22TT?若在 上满足狄利克雷条件：
(1 ) 连续或只有有限个第一类间断点； ( 2 ) 至多只有有限个极值点；
( ) [,],22T TTft?则 在区间 上可展开为傅立叶级数
()Tt f t1,当 为函数 的连续点时,0 00
1
( ) ( c o s sin ),( 1 )2T n n
n
af t a n t b n t
200
2
22 ( ),T
T Ta f t d tTT
其中,
2 0
2
2 ( ) c o sT
TnTa f t n td tT
2 0
2
2 ( ) s i n,1,2,.T
TnTb f t n td t nT
1( ) [ ( 0 ) ( 0 ) ],
2T T Tt f t f t f t2,当 为函数 的间断点时，( 1 ) 式左端为三角形式
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为应用方便，将傅立叶级数的三角形式转化为复指数形式：
利用欧拉公式,00
0
1c o s ( ),
2 jn t jn tn t e e
0 0 0 00 11si n ( ) ( )22jn t jn t jn t jn tn t e e j e ej
(1 )于是 式可化为：
0 0 0 00
1
1( ) ( [ ( ) ] [ ( ) ]
2 2 2
jn t jn t jn t jn t
T n n
n
a jf t a e e b e e
000
1
( ),2 2 2jn t jn tn n n n
n
a a jb a jbee
00
2
ac?令 2
2
1 ( ),T
T Tf t d tT
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2 00
2
1 ( ) [ c o s s i n ]T
T Tf t n t j n t d tT
2nnn
a jbc令 22
00
1 [ ( ) c o s ( ) s i n ]TT
TTf t n t d t j f t n t d tT
02
2
1 ( ),( 1,2,3,)T j n t
T Tf t e d t nT
02
2
1 ( ) ( 1,2,3,)
2
T
j n tnn
TnT
a j bc f t e d t n
T
同理：,,
合成一个式子得,02
2
1 ( ),( 1,2,3,)T j n t
TnTc f t e d t nT
0 2
2
1 ( ),n nTn jt
TnTc f t e d tT
(1 )这样 式可以写成,0
1
( ) [ ]nnj t j tT n n
n
f t c c e c e
( ),( 0,1,2,3,) ( 2)njtTn
n
f t c e n
即：
上式称为 傅氏级数的复指数形式,
指数形式
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(1)傅立叶级数的物理含义：由 式，
00,2aA?令 22,n n nA a b c o s,sin,( 1,2,)nn
nn
ab n
AA
0 0 01( ) ( c os c os si n si n )T n n nnf t A A n t n t
则，
001( ) c os ( ) 3T n nnf t A A n t
（）
()Tft若 表示信号,T则上式说名，一个周期为的信号可以分解为简谐波之和.
0,?这些简谐波的( 角) 频率分别为一个基频 的倍数 换句话说，
()Tft信号 并不含有各种频率成分,而仅是一系列具有离散频率的谐波组成，
0 ()nTA n f t?其中 反映了频率为 的谐波在 中所占的份额,称为振幅；
0n n则反映了频率为 的谐波沿着轴移动的大小，称为相位.
0 00
1
( ) ( c os si n )2T n n
n
af t a n t b n t
nA 为振幅,n? 为相位.
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( 2 ) n n nc a b由 式，据 与 及 关系可得：
00,a r g a r g,n n nc A c c 1| | | | ( 1,2,)
22 nn n n n
Ac c a b n
0()nTc f t n?因此 作为一个复数，其模与辐角正好反映了信号 中频率为 的简谐波的振幅与相位,nA其中振幅 被平均分配到正负频率上,而负频率的出现则完全是为了数学表示的方便，它与正频率一起构成同一个简谐波.
( ),nTc f t由此可见，仅有系数 就可以完全刻画信号 的频率特性
( ) | | a r gn T n nc f t c c为周期函数 的离散频谱,为离散振幅谱,为离散相位谱，
因此，称
0ncn?为了进一步明确 与频率 的对应关系，常常记
( ) ( c os si n )2 2 2n n n n n nn n n
nn
a j b A a b Ac j i
AA
0( ),nF n c
( ) ( c os( si n( ) )2 2 2n n n n n nn n n
nn
a j b A a b Ac j i
AA
）
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例 1,()Tf t T设函数 为周期性矩形脉冲，在一个周期 内的表达式为0,
22
( ),,
22
0,
22
T
T
t
f t E t
T
t
求它的傅立叶级数的复指数形式.
解：
220 11 ( ),T Ec f t d t E d t
T T T
22 2
2
1 1 1( ) [ ]n n nj t j t j t
nT
n
Ec f t e d t E e d t e
T T T j
0 2
2
1 ()n nTn jt
TnTc f t e d tT
2222 s i n
22
nnjj
n
nn
E j e e E
jT j T
0 2s i n,(,1,2,)nE n nnnn T T
()Tft? 傅氏级数的复指数形式为,2( ) si n,njtTT
n
E E nf t e
T n T
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例 2,T求以 为周期的函数 0,02()
2,0
2
T
T
t
ft
T
t
的离散频谱和傅立叶级数的复指数形式.
解：
220
02
11(0 ) ( ) 2 1,TT
T Tc F f t d t d tTT
00220
02
12( ) ( )TT j n t j n t
TnTc F n f t e d t e d tTT
0
2
0,
( 1 ) ( 1 ) 2
,
Tjn
jn
njj
ee jnn
nn
当 为 偶 数当 为 奇 数
()Tft函数 傅立叶级数的复指数形式为,0( 2 1 )2( ) 1 ( 2 1 ) j n tT
n
jf t e
n
0
1,0
| ( ) | | | 0,2,4,
2
,1,3,
n
n
F n c n
n
n
振幅频谱为：,0
0,0
,0,2,4,
a r g ( ),1,3,5,7
2
,1,3,
2
n
n
F n n
n
无意义相位频谱：
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二、傅立叶积分与傅立叶变换定理 1 傅立叶积分 ( ) (,)ft若函数 在区间 内满足下列条件：
(1) 在任一有限区间上满足狄利克雷条件；
( 2 ) (,) | ( ) | )f t d t在无限区间 上绝对可积( 即积分 收敛,则
()t f t当 为函数 的连续点时,1( ) [ ( ) ] 4
2 j t j tf t f t e d t e d
（）
()t f t当 为函数 的间断点时,( 0 ) ( 0 ) 1 [ ( ) ]
22
j t j tf t f t f t e d t e d
上式 (4)称为 傅立叶积分公式的复指数形式,
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()ft若 满足傅立叶积分定理中的条件,()ft则在函数 的连续点处，有
1( ) [ ( ) ],
2 j t j tf t f t e d t e d
( ) ( ) jtF f t e dt若令：,1( ) ( ),2 jtf t F e d
则
( ) ( ),f t F?从上面两式看出,和 通过指定的积分运算可相互表达
( ) ( ) jtF f t e d t ()ft称为 的傅立叶变换，记作：
( ) [ ( )]F F f t ( ) ( 5 )jtf t e dt
( ) ( )F f t?而函数 称为 的象函数，
1( ) ( )
2 jtf t F e d
()F?称为 的傅立叶逆变换，记作：
1( ) [ ( )]f t F F w 1 ( ) ( 6 )
2 jtF e d
( ) ( ),f t F?称函数 的象原函数傅立叶变换傅立叶逆变换
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( ) ( )F f t?象函数 和象原函数 构成一个傅立叶变换对,与傅立叶级数一样傅立叶变换也有明确的物理含义,1( ) ( )
2 jtf t F e d
从 式，
可以说非周期函数与周期函数一样，也是由许多不同频率的正、余弦分量合成，
所不同的是，非周期函数包含了从零到无穷大的所有频率分量.
中各频率分量的分布密度,()F?因此称 为频谱密度函数( 简称频率或连续频谱),
( ) ( )F f t?而是
| ( ) | a r g ( )FF称 为振幅频谱,为相位频谱.
因为傅立叶变换这种特殊的物理含义,因而在工程实际中得到了广泛的应用.
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例 3,1,| |( ),( 0 )
0,| |
tft
t
求矩形脉冲函数 的傅氏变换及傅氏积分表达式.
解：
[ ( ) ] ( ) ( ) j t j tF f t F f t e d t e d t
1 1 sin( ) 2j t j je e e
jj
sin2
si n| ( ) | 2F
振幅频谱为：,
2 ( 2 1 )
0,| |
a r g ( )
( 2 1 ) ( 2 2)
,| |
nn
F
nn
相位频谱为：,
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()ft傅氏逆变换，即函数 的傅氏积分表达式为：
1 1 1 2 s i n( ) [ ( ) ] ( )
22 j t j tf t F F F e d e d
1 2 s i n 2 s i nc o s s i n
22
jt d t d
0
2 s i n c o s td
1,| |
1
,| |,
2
0,| |
t
t
t
0t?上式中令,可以得到一个重要积分公式：
0
s in,
2
x dx
x
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例 4,0,| |( ) ( ) ( ),
1,| |
af t F f t
a
已知函数 的频谱为,求象原函数解,1 11( ) [ ( ) ] ( )
22
aj t j t
af t F F F e d e d
s in s in( ),a t a a t
t a t
例 5,0,0( ) 0,
,0t
tft
et
求函数 的傅氏变换及积分表达式，其中解：
()ft( 这个 称为指数衰减函数，是工程技术中经常碰到的一个函数),
()( ) [ ( ) ] ( ) j t t j t j tF F f t f t e d t e e d t e d t
() 0
22
11[ ],jt je
jj
傅氏积分表达式为：
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1
22
11( ) [ ( ) ] ( )
22 j t j t
jf t F F F e d e d
22
1 ( c o s sin )
2
j t j t d
2 2 2 2 2 2 2 2
1 c o s sin sin c o s[ ( ) ( ) ]
2
t t t td j d
2 2 2 2
1 c os sin()
2
tt d
( 利用 奇、偶函数，在主值定义下后一项为0 ),
220
1 c os sin,tt d
22
0
( ),
c o s si n 0
( 0 0 ) ( 0 0 ),0
2
t
ft
tt td
ff t
0,0
.0
2
,0t
t
t
et?
22
1| ( ) |F?
振幅频谱为：,
a r g ( ) a r c ta n ( ),F相位频谱为：
根据傅氏定理可以得到含参变量的广义积分的结果：
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例 6,2( ),0tf t A e A求函数 的傅氏变换及其积分表达式，其中,
).( 这个函数叫钟形脉冲函数，是工程技术中经常碰到的函数解：
2( ) [ ( ) ] ( ) j t t j tF F f t f t e d t A e e d t
2 2 2 2( ) [ ( ) ( ) ]
22
j j jt t j t t
A e d t A e d t
2222()
( ) ( )2 4 4 2j j jttA e d t A e e d t
2
24 1,( ( ) )
2
x jA e e d x x t d x d t
；
22
44A e A e
2xe d x
普阿松积分公式：
钟形函数的傅氏变换仍是钟形函数
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积分表达式为：
1 1( ) [ ( ) ] ( )
2
jtf t F f F e d t
2
4 ( c o s s in )
2
A e t j t d
2
4
0
c o sA e td
（由奇偶性）
根据傅氏定理可以得到含参变量的广义积分的结果：
2
24
0 c o s ( ),
te t d f t e
A
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第二节 单位脉冲函数及其傅氏变换
一、引言傅立叶级数与傅立叶变换以不同形式反映了周期函数与非周期函数的频谱特性，是否可以借助某种手段将它们统一起来？更具体的说，是否能够将离散频谱以连续频谱的方式表现出来？这就需要引入下面将要介绍的 单位脉冲函数与广义傅立叶变换,在工程实际中，有许多物理现象具有一种脉冲特征，它们仅在某一瞬间或某一点出发，
在物理学中常常有质点、点电荷、瞬时力等抽象模型．如：
瞬时冲击力、脉冲电流、质点的质量等等，这些物理量都不能用通常的函数形式去描述，为了描述这一类抽象的概念．我们介绍单位脉冲函数．
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0t?引力：在原来电流为零的电路中，某一瞬间（设为 ）进入一单位
( ),it电量的脉冲，确定电路上的电流电路中的电荷函数为,0,0()
1,0
tqt
t
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率，即：
0
( ) ( ) ( )( ) l i m,
t
d q t q t t q tit
d t t
0 ( ) 0t i t当 时,；
00
(0 ) (0 ) 10 ( ) l i m l i m ( )
tt
q t qt i t
tt
当 时，,
( ) ( )q t q t注意,是不连续函数，在普通导数意义下，函数 在这点不能求导，
.上面只是形式地计算这个导数
1 0,0()
1,0
tqt
t
这就表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度，为了确定电流强度，我们引入一个新函数，称为 单位脉冲函数,( ),D i r a c又称为狄拉克函数或 者 函数
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二、单位脉冲函数的概念及其性质
1.定义 ()t?对于任何一个无穷次可微的函数,如果满足两个条件：
(1 ) 0 ( ) 0tt当 时,；
( 2) ( ) 1t dt ；
()t dt
.这是狄拉克给出的一种直观的 函数定义说明：它可以直观理解为:
()t
1,0
( ),
0,
tt
令其它
1
()t 函数
0lim ( )t
0,0
,0
t
t
0lim ( )t dt
00
1lim 1,dt?
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2, 函数的性质性质 1（ 函数的筛选性质 ） ()f t R设函数 是定义在实数域 上的有界函数，
0t?且在 处连续，则 ( ) ( ) ( 0),t f t dt f
证明：
0( ) ( ) l i m ( ) ( )t f t dt t f t dt
0000
11l i m ( ) l i m ( )f t d t f t d t
0l i m ( ) ( 0 ),( 0 1 ),ff
更一般地:
00( ) ( ) ( ),t t f t d t f t?
这个性质也常常被人们用来定义- 函数，即采用检验的
方式来考察某个函数是否为- 函数.
0()f t t t?在 处连续时，
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性质 2 ( ) ( )tt- 函数为偶函数，即,
性质 3 ()ut设 为单位阶跃函数，即 1,0()
0,0
tut
t
则有,( ) ( ),t t d t u t?
() ( ).du t t
dt
1
()t?
t
函数的几何解释：
1人们常用一个从出发长度为的有向线段来表示 函数，
其中有向线段的长度代表 函数的积分值,称为冲激强度.
()At?
t
A
0()tt
t
1
0t
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三、单位脉冲函数的傅氏变换
0( ) [ ( ) ] ( ) 1j t j t tF F t t e d t e
即单位脉冲函数包含各种频率分量且它们具有相等的幅度，称此为均匀频率或白色频率.
1 1[1 ] ( ),
2
jtF e d t
2 ( ),jte d t即：
0
000[ ( ) ] ( )
jtj t j t ttF t t t t e d t e e
001 () 01[ ] ( )2j t j t tF e e d t t
0() 02 ( ),j t te d t t
即：
更一般地：
( ) 1t
00() jtt t e
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例 1,012( ) 1 ( ) jtf t f t e分别求函数 与 的傅氏变换.
解：
11( ) [ ( ) ] jtF F f t e d t
2 ( ),
jed
00 ()22( ) [ ( ) ] j t j tjtF F f t e e d t e d t
002 ( ) 2 ( ),
1 2 ( )
0 02 ( )jte
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例 2,0,0 1
( ) ( ),1,0tut t j证明单位阶跃函数 的傅氏变换为证明：
1 11( ) [ ( ) ] [ ( ) ]
2
jtf t F F e d
j
11()
22
jt
jt ee d d
j
1 1 c o s s i n()
22 jt
t j te d d
i?
0
1 1 s in,
2
t d
0
,0
2
sin
0,0
,0
2
t
t
dt t
t
t
而
1 1( ) [ ( ) ] ( )f t F u t
j
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例 3．
0( ) s inf t t求正弦函数 的傅氏变换.
解：
0( ) [ ( ) ] sin jtF F f t te dt
00
2
j t j t
jtee e d t
00( ) ( )1 []
2
j t j te e d t
00
1 [ 2 ( ) 2 ( ) ]
2
00[ ( ) ( ) ],
在这个例子中显示，在广义傅氏变换意义下，周期函数也可以进行傅氏变换，其频谱仍然是离散的，这一点与傅氏级数展开是一致的．所不同的是，这里用冲激强度来表示各频率分量的幅值的相对大小．
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定理（对一般的周期函数 ）
( ) [,]22TTf t T?设 是以 为周期的实值函数，且在上满足狄氏条件，
00( ) ( ) 2 ( ) ( )
n
n
f t F F n n
则函数 和 是一组傅氏变换对，
00
2,( ) ( )F n f t
T
其中 是函数 的离散频谱.
证明,()ft 展开为傅氏级数的复指数形式为：
00( ) ( )
n jn t
n
f t F n e
00[ ( ) ] ( ) ( )
n jn tj t j t
n
f t f t e dt F n e e dt
F
0()0 0 0( ) 2 ( ) ( ) ( )
nn j n tF n e dt F n n F
1
00
1[ ( ) ] ( ) ( ) ( )
2
nj t j t
n
F F e d F n n e d
F
00( ) ( )
n jn t
n
F n e f t
( ) ( )f t F?即得 与 是一组傅氏变换对.
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例 4,s i n( ) ( ),F f t
已知某函数的傅氏变换为,求该函数解,1 s i n 1 s i n( ) [ ]
2 jtf t F e d?
1 s i n ( c o s s i n )
2 t j t d
0
1 s in c o s t d
0
11 [ s i n (1 ) s i n (1 ) ]
2 t t d
由单位阶跃函数的傅氏积分表达式,
0
1 s i n 1( ),0
2
t d u t t
0
0
1 s i n ( 1 ) 1
( 1 )
22
1 s i n ( 1 ) 1
( 1 )
22
t
d u t
t
d u t
0
1 1 s i n ( 1 ) s i n ( 1 )( ) [ ]
2
ttf t d
1 [ (1 ) (1 ) 1 ],
2 u t u t
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例 5,()t?作单位脉冲函数 的频谱图.
解,( ) ( ) 1,
jtF t e d t
| ( ) | 1,F
( ) ( )f t t当 时,( ) 1F则，
0( ) ( )f t t t当 时,0() jtFe则,| ( ) | 1F所以,
( ) 1ft?当 时,( ) 2 ( )F则，
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重要公式
( ) ( ) ( 0 ),t f t d t f
2 ( ),jte d t
1 s in 1()
2
t d t u t?
00( ) ( ) ( ),t t f t d t f t?
0() 02 ( )j t te d t t
( ) 1,jtt e d t 00() jtjtt t e d t e
2 ( ),jte dt 0() 02 ( )jte d t
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第三节 傅立叶变换的性质
一、基本性质
1,线性性质
( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],F f t G g t设,为常数，则FF
[ ( ) ( ) ] ( ) ( )F f t g t F G
同样傅氏逆变换也具有类似的性质：
1 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )F G f t g tF
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2,位移性质
00( ) [ ( ) ],F f t t设,为实常数，则F 00[ ( )] ( ).jtf t t e FF
00[ ( ) ],jtt t e如,F
证明：
00[ ( ) ] ( ) jtf t t f t t e d t?
＋
－F
0() 0( ),(,)j u tf u e du t t u dt du ＋－
0 ()jt jue f u e d u 0 ( ).jteF
同样傅氏逆变换也具有类似的性质：
01 0[ ( ) ] ( )jtF e f tF 0 0[ ( ) ] ( )jte f t F或 F
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傅氏变换的位移性质的物理意义：
00[ ( ) ] ( )jtf t t e FF
说明当一个函数（或信号）沿时间轴移动后，它的各频率成分的大小不发生改变，但是相位发生了变化；
01 0[ ( ) ] ( )jtF e f tF
被用来进行频谱搬移，这一技术在通信系统中得到了广泛的应用．
例 1．,0()
0,
Etft
求矩形单位脉冲函数 的频谱函数,其它解：
11
,2( ) ( ) si n22
20,
Et Ef t F
前面已知 的频谱函数为,
其它
2211 2( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) si n22ii EF F f t f t e F e
F
1
2( ) ( ) si n,
2
EFF
且频谱函数
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例 2,1
0
0
1( ) 0,( ) [ ( ) ],
()G g t Gj
已知,为实常数，求 F
解,0,0 1( ) ( )
,0t
tf t F
et j
的傅氏变换为,
0011 1( ) [ ( ) ] [ ] ( )j t j tg t G e e f tjFF
0(),0
0,0
jtet
t
2009-7-30 39
3,相似性质
( ) [ ( ) ]F f t a设,为非零常数，则F 1[ ( ) ] ( )
||f a t Faa
F
证明,[ ( ) ] ( ) jtf at f at e dt
＋
－,F
x a t?令,则有
0a?当 时,11[ ( ) ] ( ) ( ) ( )jxjt af a t f a t e d t f x e d x Fa a a＋ ＋
－ －F
0a?当 时,11[ ( ) ] ( ) ( ) ( )jxjt af a t f a t e d t f x e d x Fa a a
＋
－F
1[ ( ) ] ( ),
||f a t Faa
F
1a?物理意义：函数（或信号）被压缩,则其频谱被扩展；
1a?反之，若函数被扩展（ ），则其频谱被压缩.
2009-7-30 40
例 3,1,| | 2s i n 2( ) ( )
0,| | 2
tf t F
t
已知抽样信号 的频谱为,
( ) ( ) ( ),2tg t f G求信号 的频谱解,2,| | 1
( ) [ ( ) ] [ ( ) ] 2 ( 2 ) 0,| | 12tG g t f FFF
实际意义见图,( ) ( )f t g t由 扩展后的信号 变平缓，频率变低，
| | 2 | | 1,即频率范围由原来的 变为
2009-7-30 41
证明,| ( ) | | ( ) | 0jtt f t e f t当 时，,( ) 0jtf t e可得：
[ ( ) ] ( ) jtF f t f t e d t
[ ( ) ] ( )j t j tf t e j f t e d t
[ ( )]j F f t
.j?它表明一个函数导数的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换乘以因子
4,微分性质
( ) (,) l i m ( ) 0tf t f t如果 在 上连续或有有限个可去间断点，且,
[ ( ) ] [ ( ) ],f t j f tFF则
2009-7-30 42
推论,() ( ) ( 1,2,3,) (,)kf t k n若,在 上连续或有有限个
()l im ( ) 0 ( 0,1,2,( 1 ) )k
t f t k n可去间断点，且,,则
()[ ( ) ] ( ) [ ( ) ],knf t j f tFF
同样，有象函数的导数公式,() [ ( ) ] [ ( ) ],dF jtf t j tf t
d
FF
一般地，有 () ( ) [ ( ) ],n nn
n
dF j F t f t
d
证明,() ( ) ( ) [ ( ) ],
j t j td F d f t e d t j t f t e d t j t f tdd
F
常用公式,[ ( ) ] ( ),dF tf t j F
d [ ( ) ] ( ),
nnn
n
dF t f t j F
d
2009-7-30 43
5,积分性质
li m ( ) 0tt f t dt若,则 1[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ],tg t f t d t f tjF F F
证明：
( ) ( )td f t d t f tdt
[ ( ) ] [ ( ) ]td f t d t f tdtFF
[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]ttd f t d t j f t d t j f tdtF F F由微分性质：
1[ ( ) ] [ ( ) ],t f t dt f t
jFF
.j?表明一个函数积分后的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换除以因子
1l im ( ) 0 [ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( ),tt
t f t d t F f t d t F Fj注意：当 时，
(后面证明）
2009-7-30 44
例 4,( ) ( ) ( ) ( ),ta x t b x t c x t d t h t t
求微分积分方程,其中
,,.abc 均为常数解,[ ( ) ] ( ),[ ( ) ] ( )x t G h t H设，FF
方程两边取傅氏变换，得：
[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ],ta x t b x t c x t d t h tF F F F
( ) ( ) ( ) ( ),caj G bG G Hj
()( ),
()
HG
cb j a
求上述傅氏逆变换，可以得到,1( ) ( ),
2 jtx t G e d
运用傅氏变换的线性性质，微分性质及其积分性质可以把线性常系数微分积分方程，通过解代数方程与求傅氏逆变换，
可以得到此微分积分方程的解．
2009-7-30 45
6,乘积定理
1 1 2 2( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ]F f t F f t若,,则FF
1 2 1 2
1( ) ( ) ( ) ( )
2f t f t F F d
12
1 ( ) ( ),
2 F F d
1 2 1 2( ),( ) ( ),( ),f t f t F F其中 均为实函数，而 分别为共轭函数
7,能量积分
( ) [ ( ) ]F F f t若,则 22 1[ ( ) ] ( ),2f t d t F d t
这一等式称为帕赛瓦尔（ Parseval） 等式．
证明,( ) [ ( ) ] ( )
jtF f t f t e d t
F ( ) ( ),
jtF f t e dt
211( ) ( ) ( )22F d t F F d t
1 ( ) [ ( ) ]
2 jtF f t e d t d
1( ) [ ( ) ]
2 jtf t F e d d t
2 ( ),f t dt
2009-7-30 46
例 5,2
2
si n x dx
x
求积分 的值.
解,22 1[ ( ) ] ( )
2f t d x F d
因为,s in() tft t?所以设,
1,| |( ) 0 )
0,| |
tft
t
前面已知函数,( 所对应的象函数为：
1s i n s i n( ) 2 2,F
22 1[ ( ) ] ( )
2f t d t F d t
并由公式 得：
12 22
1
2 s i n( ) ( ) 2 1 4F d d d
22
2
sin sin() td d t
t
即有,
由于被积函数是偶函数，所以又有 2
20
si n,
2
x dx
x
2009-7-30 47
例 6,4
2
sin x dx
x
计算积分 的值.
解,sin
() tft t?设，
2 2 2
22
sin sin sin( ) [ ] [ ] [ ]t t tF t j jt
t t t因为 F F F
2
12
sin[ ] [ ],d t dj j F
d t dF
2
1 2
(1 ),2s in[ ] [ ]
2
0,2
tF
t
而，F
1
,0 2
2
[ ] [ ],
,2 0
2
0,2
j
d
F j F
jd
224 2 02
2 20
si n 1 1( ) [ ]
2 2 4 4
x dx F d d d
x
21 ( 2 2 ),
2 4 2
2009-7-30 48
二、卷积与卷积定理本节介绍傅氏变换的另一类重要性质：卷积与卷积定理．
1.卷积的概念
12( ),( ) (,)f t f t若已知函数 在 内有定义，若广义积分
12( ) ( )f f t d
t对任何实数 都收敛,则它定义了一个
t自变量为的函数,12( ) ( )f f t d
即积分 称为函数
12( ) ( )f t f t和 的卷积,12( ) ( ).f t f t?记为
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t f f t d
即：
2009-7-30 49
2．卷积的性质
（ 1）交换律
1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t
证明,12( ) ( )f t f t?
12( ) ( )f f t d
1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )f t u f u d u f u f t u d u
,t u d d u令，
21( ) ( ).f t f t
（ 2）结合律
1 2 3 1 2 3( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( )f t f t f t f t f t f t
（ 3）分配律
1 2 3 ] 1 2 1 3( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t f t f t f t
证明：
1 2 3 ] 1 2 3( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]f t f t f t f f t f t d
1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( )f f t d f f t d
1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( ),f t f t f t f t
2009-7-30 50
例 1．
1 2 1 2
0,0 0,0( ),( ) ( ) ( ),
1,0,0t
ttf t f t f t f t
t e t?
若函数,求解,12( ) ( )f t f t?
12( ) ( )f f t d
()12
00( ) ( )
ttttf t f t e d e e d
10 ( ) 0ft当 时,； 2 ( ) 0t f t当 时,；
( 1 ) 1,t t te e e
1()f?
1
2()ft
t
1
2009-7-30 51
例 2．
1 1 1 2
11,0 1,0 1
( ),( ) ( ) ( ),20,
0,
t tf t f t f t f t
设函数,求其它其它解,12( ) ( )f t f t?
12( ) ( )f f t d
12( ) ( ) 0 1 0 1f f t t被积函数 只有在 且 时，才不为零，
01
t
即：,
01 1
1tt
解得 为,（）
讨论,1 ) 0 1t?当 时，（）式无解，
12( ) ( ) 0 ;f t f t故
2 ) 2 1t?当 时，（）式无解,12( ) ( ) 0 ;f t f t故
013 ) 0 1 0
01tt t
当 时，由 解出,
12 0
11( ) ( ) ;
22
tf t f t d t t故
014 ) 1 2 1 1
1tt tt
当 时，由 解出,
1
12 1
11( ) ( ) ( 2 ),22
tf t f t d t t故
2009-7-30 52
例 3,2 1,| | 1( ) ( ) ( ),
0,| | 1
tf t t u t g t
t
求下列函数的卷积,
解,( ) ( )f t g t? ( ) ( ) ( ) ( )f g t d g f t d
()g?
1
11?
()ft
t
1 ( ) ( ) 0t f t g t当 时,；
11t当 时,23
1
1( ) ( ) 1 ( ) ( 1 ) ;
3
tf t g t t d t
1t?当 时,1 22
1
1( ) ( ) 1 ( ) (6 2 ),
3f t g t t d t
2009-7-30 53
2．卷积定理
1 1 2 2[ ( ) ] ( ),[ ( ) ] ( )f t F f t F设,则FF
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),f t f t F FF 1 2 1 21[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),2f t f t F FF
证明,(1)由卷积定义
1 2 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]j t j tf t f t f t f t e d t f f t d e d t
F
1 2 1 2( ) ( ( ) ) ( ) [ ( ) ]jtf f t e d t d f f t d
F
12( ) [ ( ) ]jf e f t d
F
（位移性质）
2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ),jF f e d F F
2009-7-30 54
(2)由卷积定义
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )F F F F d
12( ) ( ) j t j tdt F f t e e d
212 ( ) ( ) jtf t f t e dt
()12) ( ( ) )jtF f t e dt d
21( ) ( ( ) )j t j tf t e F e d d t
122 [ ( ) ( ) ],F f t f t
1 2 1 2
1[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),
2f t f t F F于是,F
推论,( ) ( 1,2,)
kf t k n?若 满足傅氏积分定理中的条件，且
[ ( ) ] ( ),( 1,2,),kkf t F t k n 则有F
1 2 1 21
1[ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( )
( 2 )nn nf t f t f t F F FF
利用卷积定理可以简化卷积的计算及某些函数的傅氏变换．
2009-7-30 55
例 4,s i n s i n( ) ( ) 0,0,ttf t g t
tt
求函数 与 的卷积，其中解,[ ( ) ] ( ),[ ( ) ] ( )f t F g t G设，FF
由前面讨论知,
1,| |( ),
0,| |F
1,| |() 0,| |G
1,| |( ) ( ),
0,| |FG
m in (,)其中,
由卷积定理有,
1 si n( ) ( ) [ ( ) ( ) ],tf t g t F G
F
2009-7-30 56
例 5,0( ) ( ) c os 0 [ ( ) ],tf t e u t t f t设,,求 F
解：
0
1[ ( ) ] [ ( ) ] [ c o s ]
2 tf t e u t t因为,F F F
1[ ( ) ]te u t
j
而，F 0 0 0[ c o s ] [ ( ) ( ) ],tF
00
1[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2f t d tj
F
00
1 1 1[]
2 ( ) ( )jj
22
0
.() jj
利用傅氏变换性质和卷积定理求傅氏变换．
2009-7-30 57
例 6,00( ),( 3 ) ( )jtt t e tu t利用傅氏变换的性质，求(1 ),(2 ) 的傅氏变换.
解,1
(1 ) [ ( ) ] ( )ut j因为,F [ ( )] 1t及，F
由位移性质得,
000[ ( )] [ ( )],j t j tF t t e F t e
( 2 ) [1 ] 2 ( )因为,F 所以由象函数的位移性质得,
0 0[ ] 2 ( ),jteF
1( 3 ) [ ( ) ] ( )ut
j因为,F
所以由象函数的微分性质,
( ) [ ( ) ]d F jtf tdF
1[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]ddjtu t F u t
d d jF
2
1[ ( ) ] ( ),jF tu t
j
2
1[ ( ) ] ( ),jF tu t j
即
2009-7-30 58
例 7．
00
11[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ],
2f t F f tj若,求F
解：
00
1[ c o s ( ) ] [ c o s ] [ ( ) ]2t u t t u t因为,F F F
0 0 0[ c o s ] [ ( ) ( ) ],Ft及＋ 1[ ( ) ] ( )F u t j＝
00
11[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ]
2F f t j
0 0 0 0
1 1 1[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]
2 jj
根据卷积定理,1
00
11( ) { [ ( ) ] [ ] }
jjF F F
01 1{ [ ] }jte jFF
由位移性质,1
00
11{ [ ] }
( ) ( )jjFF
00( ) ( ) [ ( ) ( ) ]
1 0[ [ ( ) [ ( ) ] ]F F F
由卷积定理：
1 00[ [ ( ) ] ] ( ),FF
00
00
1 1 1[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2 ( ) ( )F f t jj
0022
0
[ ( ) ( ) ],2j
2009-7-30 59
例 8,()( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( 0 ) ( ),t FF f t f t d t F
j
若,证明FF
证明,( ) ( )t f t d t g t
令,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
tg t f t d t f t u t f t u t d
由卷积定理,[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]g t f t u t f t u tF F F F
1( ) [ ( ) ]F
j
1 ( ) ( ) ( ),FF
j
( ) ( ) l i m ( ) ( ) ( 0 ) ( ) 0F F F因为,
1 ( ) ( 0 ) ( ),FF
j
( ) ( )t f t d t g t说明：若 满足傅氏变换性质中积分性质的条件，
l i m ( ) ( ) 0t g t f t dt即 时，
00( 0) l i m ( ) l i m ( )
itF F f t e dt?
0l i m [ ( ) ] ( ) 0,
itf t e dt f t dt?
1[ ( ) ] ( ),tF f t dt F
j
2009-7-30 60
三、综合举例
例 1,( ) [,]22TTf t T?设 是以周期为 的实值函数，且在 上满足狄利克雷条件，
22 0 0 0
0
12( ) | ( ) | ( ) ( ),T
n
f t dt F n F n f tTT
证明：,其中,为函数 的离散频谱证明,据题意，有
00( ) ( ),jn t
n
f t F n e
020
2
1( ) ( ),T jn t
TF n f t e d tT
02
0
2
1( ) ( )T jn t
TF n f t e d tT
00
0 2
02
11( ) ( )Tjn t jn t
T f t e dt f t e dtTT
00 1
2
() j n tT f t e d t t t T对于积分,作变量代换，令,
0() jn tf t e?利用函数 与 的周期性，有
2009-7-30 61
0 0 10 ()11
22
( ) ( )Tj n t j n t TTTf t e d t f t T e d t
0 0 020
002
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )TTTjn t jn t jn t
TF n f t e dt f t e dt f t e dtT T T
0 0 1 0 11 1 1 1
22
( ) ( )TTj n T j n t j n te f t e d t f t e d t
02 0
00
11 ( ) ( ) ( )TT jn t
n
f t d t f t F n e d tTT
00
0
1( ) ( )T jn t
n
F n f t e d tT
2
0 0 0( ) ( ) | ( ) |,
nn
F n F n F n
2009-7-30 62
例 2,( ) (,) ( ) [ ( ) ]f t F f t设 是定义在 上的实值函数，且存在傅氏变换,F
220
0
| ( ) | | ( ) |,
| | | |
FFdd
证明：
证明,( ) [ ( ) ] ( ) jtF f t f t e d t
F
( ) ( ) ( )jtF f t e d t F
2
00
| ( ) | ( ) ( )
| | | |
F F Fdd
1 0 11
10
1
( ) ( )( ) ( )
| | | |
FFFF dd
20 | ( ) |,
||
F d
2009-7-30 63
例 3,2 ||
40
22 c o s c o s,
4
ttd e t
证明：
证明,||( ) c o s ( ) [ ( ) ]tf t e t F f t令,,则F
||( ) ( ) c o sj t t j tF f t e d t e te d t
0
0 c o s c o s
t j t t j te te d t e te d t
0
1c o st j te te d t t t对于上式第二个积分 作变量代换,有
11 1100( ) c o s c o st j tt j tF e te d t e t e d t
( ) c os ( ) c ost j t t j te u t te dt e u t te dt
1 1 1( ) ( ) c os ( ) [ ( ) ]tf t e u t t F f t令,,则F1 1 1( ) ( ) ( ) 2 R e ( )F F F F
1 2
1()
( 1 ) 1
jF
j
由前面的例题可知：,
2
1 4
2( ) 2 Re ( ) 2
4FF
21
4
12[ ( ) ] 2
24 jtF e d?
F
2
4
12 ( c o s si n )
4 t j t d
2 ||
40
22 c o s c o s,
4
ttd e t
2009-7-30 64
例 4,22 ()tte d t f t e
已知,求函数 的傅氏变换.
解,( ) [ ( ) ]F f t设,则F
2 2( 2 ) ( ) j t t j tF f t e d t e e d t
2 2 2 2 2[ 2 ( ) ( ) ] ( ) ]t j t j j t je d t e e d t
2 2 2 2l i mz t j jjzze e d z e e d z
21 2 3 4 xC C C C C e z如图所示矩形闭曲线,由于 在 平面上解析，有
22
1 2 3 4
0,zzC C C C Ce dz e dz
2 2 2 2
4
( ) 2
00 0)
z j y y j y
C e d z e j d y e e e j d y
其中,(
2009-7-30 65
2
2
0 ( )zC e d z同理,,又有已知条件，有
22
3
,( )zxC e d z e d x
2
1
l im 0,zC e dz
2l i m j z
j e d z
即：,
2 2 2( 2 ) l i m,j z
jF e e d z e
于是，
2
2 4[ ] ( ),te F e故 F
2009-7-30 2
参考用书
,复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6
,复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社
,复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5
2009-7-30 3
目 录
第二章 解析函数
第三章 复变函数的积分
第四章 解析函数的级数表示
第五章 留数及其应用
第六章 傅立叶变换
第七章 拉普拉斯变换
第一章 复数与复变函数
2009-7-30 4
第六章 傅里叶变换
2009-7-30 5
第六章 傅里叶变换
6.1 傅里叶变换的概念
6.2 单位脉冲函数
6.3 傅里叶变换 性质
本章小结
思考题
2009-7-30 6
第一节 傅立叶变换的概念
一、周期函数展为傅立叶级数的三角式
()Tf t T设 是以 为周期的函数,[,]22TT?若在 上满足狄利克雷条件：
(1 ) 连续或只有有限个第一类间断点； ( 2 ) 至多只有有限个极值点；
( ) [,],22T TTft?则 在区间 上可展开为傅立叶级数
()Tt f t1,当 为函数 的连续点时,0 00
1
( ) ( c o s sin ),( 1 )2T n n
n
af t a n t b n t
200
2
22 ( ),T
T Ta f t d tTT
其中,
2 0
2
2 ( ) c o sT
TnTa f t n td tT
2 0
2
2 ( ) s i n,1,2,.T
TnTb f t n td t nT
1( ) [ ( 0 ) ( 0 ) ],
2T T Tt f t f t f t2,当 为函数 的间断点时，( 1 ) 式左端为三角形式
2009-7-30 7
为应用方便，将傅立叶级数的三角形式转化为复指数形式：
利用欧拉公式,00
0
1c o s ( ),
2 jn t jn tn t e e
0 0 0 00 11si n ( ) ( )22jn t jn t jn t jn tn t e e j e ej
(1 )于是 式可化为：
0 0 0 00
1
1( ) ( [ ( ) ] [ ( ) ]
2 2 2
jn t jn t jn t jn t
T n n
n
a jf t a e e b e e
000
1
( ),2 2 2jn t jn tn n n n
n
a a jb a jbee
00
2
ac?令 2
2
1 ( ),T
T Tf t d tT
2009-7-30 8
2 00
2
1 ( ) [ c o s s i n ]T
T Tf t n t j n t d tT
2nnn
a jbc令 22
00
1 [ ( ) c o s ( ) s i n ]TT
TTf t n t d t j f t n t d tT
02
2
1 ( ),( 1,2,3,)T j n t
T Tf t e d t nT
02
2
1 ( ) ( 1,2,3,)
2
T
j n tnn
TnT
a j bc f t e d t n
T
同理：,,
合成一个式子得,02
2
1 ( ),( 1,2,3,)T j n t
TnTc f t e d t nT
0 2
2
1 ( ),n nTn jt
TnTc f t e d tT
(1 )这样 式可以写成,0
1
( ) [ ]nnj t j tT n n
n
f t c c e c e
( ),( 0,1,2,3,) ( 2)njtTn
n
f t c e n
即：
上式称为 傅氏级数的复指数形式,
指数形式
2009-7-30 9
(1)傅立叶级数的物理含义：由 式，
00,2aA?令 22,n n nA a b c o s,sin,( 1,2,)nn
nn
ab n
AA
0 0 01( ) ( c os c os si n si n )T n n nnf t A A n t n t
则，
001( ) c os ( ) 3T n nnf t A A n t
（）
()Tft若 表示信号,T则上式说名，一个周期为的信号可以分解为简谐波之和.
0,?这些简谐波的( 角) 频率分别为一个基频 的倍数 换句话说，
()Tft信号 并不含有各种频率成分,而仅是一系列具有离散频率的谐波组成，
0 ()nTA n f t?其中 反映了频率为 的谐波在 中所占的份额,称为振幅；
0n n则反映了频率为 的谐波沿着轴移动的大小，称为相位.
0 00
1
( ) ( c os si n )2T n n
n
af t a n t b n t
nA 为振幅,n? 为相位.
2009-7-30 10
( 2 ) n n nc a b由 式，据 与 及 关系可得：
00,a r g a r g,n n nc A c c 1| | | | ( 1,2,)
22 nn n n n
Ac c a b n
0()nTc f t n?因此 作为一个复数，其模与辐角正好反映了信号 中频率为 的简谐波的振幅与相位,nA其中振幅 被平均分配到正负频率上,而负频率的出现则完全是为了数学表示的方便，它与正频率一起构成同一个简谐波.
( ),nTc f t由此可见，仅有系数 就可以完全刻画信号 的频率特性
( ) | | a r gn T n nc f t c c为周期函数 的离散频谱,为离散振幅谱,为离散相位谱，
因此，称
0ncn?为了进一步明确 与频率 的对应关系，常常记
( ) ( c os si n )2 2 2n n n n n nn n n
nn
a j b A a b Ac j i
AA
0( ),nF n c
( ) ( c os( si n( ) )2 2 2n n n n n nn n n
nn
a j b A a b Ac j i
AA
）
2009-7-30 11
例 1,()Tf t T设函数 为周期性矩形脉冲，在一个周期 内的表达式为0,
22
( ),,
22
0,
22
T
T
t
f t E t
T
t
求它的傅立叶级数的复指数形式.
解：
220 11 ( ),T Ec f t d t E d t
T T T
22 2
2
1 1 1( ) [ ]n n nj t j t j t
nT
n
Ec f t e d t E e d t e
T T T j
0 2
2
1 ()n nTn jt
TnTc f t e d tT
2222 s i n
22
nnjj
n
nn
E j e e E
jT j T
0 2s i n,(,1,2,)nE n nnnn T T
()Tft? 傅氏级数的复指数形式为,2( ) si n,njtTT
n
E E nf t e
T n T
2009-7-30 12
例 2,T求以 为周期的函数 0,02()
2,0
2
T
T
t
ft
T
t
的离散频谱和傅立叶级数的复指数形式.
解：
220
02
11(0 ) ( ) 2 1,TT
T Tc F f t d t d tTT
00220
02
12( ) ( )TT j n t j n t
TnTc F n f t e d t e d tTT
0
2
0,
( 1 ) ( 1 ) 2
,
Tjn
jn
njj
ee jnn
nn
当 为 偶 数当 为 奇 数
()Tft函数 傅立叶级数的复指数形式为,0( 2 1 )2( ) 1 ( 2 1 ) j n tT
n
jf t e
n
0
1,0
| ( ) | | | 0,2,4,
2
,1,3,
n
n
F n c n
n
n
振幅频谱为：,0
0,0
,0,2,4,
a r g ( ),1,3,5,7
2
,1,3,
2
n
n
F n n
n
无意义相位频谱：
2009-7-30 13
二、傅立叶积分与傅立叶变换定理 1 傅立叶积分 ( ) (,)ft若函数 在区间 内满足下列条件：
(1) 在任一有限区间上满足狄利克雷条件；
( 2 ) (,) | ( ) | )f t d t在无限区间 上绝对可积( 即积分 收敛,则
()t f t当 为函数 的连续点时,1( ) [ ( ) ] 4
2 j t j tf t f t e d t e d
（）
()t f t当 为函数 的间断点时,( 0 ) ( 0 ) 1 [ ( ) ]
22
j t j tf t f t f t e d t e d
上式 (4)称为 傅立叶积分公式的复指数形式,
2009-7-30 14
()ft若 满足傅立叶积分定理中的条件,()ft则在函数 的连续点处，有
1( ) [ ( ) ],
2 j t j tf t f t e d t e d
( ) ( ) jtF f t e dt若令：,1( ) ( ),2 jtf t F e d
则
( ) ( ),f t F?从上面两式看出,和 通过指定的积分运算可相互表达
( ) ( ) jtF f t e d t ()ft称为 的傅立叶变换，记作：
( ) [ ( )]F F f t ( ) ( 5 )jtf t e dt
( ) ( )F f t?而函数 称为 的象函数，
1( ) ( )
2 jtf t F e d
()F?称为 的傅立叶逆变换，记作：
1( ) [ ( )]f t F F w 1 ( ) ( 6 )
2 jtF e d
( ) ( ),f t F?称函数 的象原函数傅立叶变换傅立叶逆变换
2009-7-30 15
( ) ( )F f t?象函数 和象原函数 构成一个傅立叶变换对,与傅立叶级数一样傅立叶变换也有明确的物理含义,1( ) ( )
2 jtf t F e d
从 式，
可以说非周期函数与周期函数一样，也是由许多不同频率的正、余弦分量合成，
所不同的是，非周期函数包含了从零到无穷大的所有频率分量.
中各频率分量的分布密度,()F?因此称 为频谱密度函数( 简称频率或连续频谱),
( ) ( )F f t?而是
| ( ) | a r g ( )FF称 为振幅频谱,为相位频谱.
因为傅立叶变换这种特殊的物理含义,因而在工程实际中得到了广泛的应用.
2009-7-30 16
例 3,1,| |( ),( 0 )
0,| |
tft
t
求矩形脉冲函数 的傅氏变换及傅氏积分表达式.
解：
[ ( ) ] ( ) ( ) j t j tF f t F f t e d t e d t
1 1 sin( ) 2j t j je e e
jj
sin2
si n| ( ) | 2F
振幅频谱为：,
2 ( 2 1 )
0,| |
a r g ( )
( 2 1 ) ( 2 2)
,| |
nn
F
nn
相位频谱为：,
2009-7-30 17
()ft傅氏逆变换，即函数 的傅氏积分表达式为：
1 1 1 2 s i n( ) [ ( ) ] ( )
22 j t j tf t F F F e d e d
1 2 s i n 2 s i nc o s s i n
22
jt d t d
0
2 s i n c o s td
1,| |
1
,| |,
2
0,| |
t
t
t
0t?上式中令,可以得到一个重要积分公式：
0
s in,
2
x dx
x
2009-7-30 18
例 4,0,| |( ) ( ) ( ),
1,| |
af t F f t
a
已知函数 的频谱为,求象原函数解,1 11( ) [ ( ) ] ( )
22
aj t j t
af t F F F e d e d
s in s in( ),a t a a t
t a t
例 5,0,0( ) 0,
,0t
tft
et
求函数 的傅氏变换及积分表达式，其中解：
()ft( 这个 称为指数衰减函数，是工程技术中经常碰到的一个函数),
()( ) [ ( ) ] ( ) j t t j t j tF F f t f t e d t e e d t e d t
() 0
22
11[ ],jt je
jj
傅氏积分表达式为：
2009-7-30 19
1
22
11( ) [ ( ) ] ( )
22 j t j t
jf t F F F e d e d
22
1 ( c o s sin )
2
j t j t d
2 2 2 2 2 2 2 2
1 c o s sin sin c o s[ ( ) ( ) ]
2
t t t td j d
2 2 2 2
1 c os sin()
2
tt d
( 利用 奇、偶函数，在主值定义下后一项为0 ),
220
1 c os sin,tt d
22
0
( ),
c o s si n 0
( 0 0 ) ( 0 0 ),0
2
t
ft
tt td
ff t
0,0
.0
2
,0t
t
t
et?
22
1| ( ) |F?
振幅频谱为：,
a r g ( ) a r c ta n ( ),F相位频谱为：
根据傅氏定理可以得到含参变量的广义积分的结果：
2009-7-30 20
例 6,2( ),0tf t A e A求函数 的傅氏变换及其积分表达式，其中,
).( 这个函数叫钟形脉冲函数，是工程技术中经常碰到的函数解：
2( ) [ ( ) ] ( ) j t t j tF F f t f t e d t A e e d t
2 2 2 2( ) [ ( ) ( ) ]
22
j j jt t j t t
A e d t A e d t
2222()
( ) ( )2 4 4 2j j jttA e d t A e e d t
2
24 1,( ( ) )
2
x jA e e d x x t d x d t
；
22
44A e A e
2xe d x
普阿松积分公式：
钟形函数的傅氏变换仍是钟形函数
2009-7-30 21
积分表达式为：
1 1( ) [ ( ) ] ( )
2
jtf t F f F e d t
2
4 ( c o s s in )
2
A e t j t d
2
4
0
c o sA e td
（由奇偶性）
根据傅氏定理可以得到含参变量的广义积分的结果：
2
24
0 c o s ( ),
te t d f t e
A
2009-7-30 22
第二节 单位脉冲函数及其傅氏变换
一、引言傅立叶级数与傅立叶变换以不同形式反映了周期函数与非周期函数的频谱特性，是否可以借助某种手段将它们统一起来？更具体的说，是否能够将离散频谱以连续频谱的方式表现出来？这就需要引入下面将要介绍的 单位脉冲函数与广义傅立叶变换,在工程实际中，有许多物理现象具有一种脉冲特征，它们仅在某一瞬间或某一点出发，
在物理学中常常有质点、点电荷、瞬时力等抽象模型．如：
瞬时冲击力、脉冲电流、质点的质量等等，这些物理量都不能用通常的函数形式去描述，为了描述这一类抽象的概念．我们介绍单位脉冲函数．
2009-7-30 23
0t?引力：在原来电流为零的电路中，某一瞬间（设为 ）进入一单位
( ),it电量的脉冲，确定电路上的电流电路中的电荷函数为,0,0()
1,0
tqt
t
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率，即：
0
( ) ( ) ( )( ) l i m,
t
d q t q t t q tit
d t t
0 ( ) 0t i t当 时,；
00
(0 ) (0 ) 10 ( ) l i m l i m ( )
tt
q t qt i t
tt
当 时，,
( ) ( )q t q t注意,是不连续函数，在普通导数意义下，函数 在这点不能求导，
.上面只是形式地计算这个导数
1 0,0()
1,0
tqt
t
这就表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度，为了确定电流强度，我们引入一个新函数，称为 单位脉冲函数,( ),D i r a c又称为狄拉克函数或 者 函数
2009-7-30 24
二、单位脉冲函数的概念及其性质
1.定义 ()t?对于任何一个无穷次可微的函数,如果满足两个条件：
(1 ) 0 ( ) 0tt当 时,；
( 2) ( ) 1t dt ；
()t dt
.这是狄拉克给出的一种直观的 函数定义说明：它可以直观理解为:
()t
1,0
( ),
0,
tt
令其它
1
()t 函数
0lim ( )t
0,0
,0
t
t
0lim ( )t dt
00
1lim 1,dt?
2009-7-30 25
2, 函数的性质性质 1（ 函数的筛选性质 ） ()f t R设函数 是定义在实数域 上的有界函数，
0t?且在 处连续，则 ( ) ( ) ( 0),t f t dt f
证明：
0( ) ( ) l i m ( ) ( )t f t dt t f t dt
0000
11l i m ( ) l i m ( )f t d t f t d t
0l i m ( ) ( 0 ),( 0 1 ),ff
更一般地:
00( ) ( ) ( ),t t f t d t f t?
这个性质也常常被人们用来定义- 函数，即采用检验的
方式来考察某个函数是否为- 函数.
0()f t t t?在 处连续时，
2009-7-30 26
性质 2 ( ) ( )tt- 函数为偶函数，即,
性质 3 ()ut设 为单位阶跃函数，即 1,0()
0,0
tut
t
则有,( ) ( ),t t d t u t?
() ( ).du t t
dt
1
()t?
t
函数的几何解释：
1人们常用一个从出发长度为的有向线段来表示 函数，
其中有向线段的长度代表 函数的积分值,称为冲激强度.
()At?
t
A
0()tt
t
1
0t
2009-7-30 27
三、单位脉冲函数的傅氏变换
0( ) [ ( ) ] ( ) 1j t j t tF F t t e d t e
即单位脉冲函数包含各种频率分量且它们具有相等的幅度，称此为均匀频率或白色频率.
1 1[1 ] ( ),
2
jtF e d t
2 ( ),jte d t即：
0
000[ ( ) ] ( )
jtj t j t ttF t t t t e d t e e
001 () 01[ ] ( )2j t j t tF e e d t t
0() 02 ( ),j t te d t t
即：
更一般地：
( ) 1t
00() jtt t e
2009-7-30 28
例 1,012( ) 1 ( ) jtf t f t e分别求函数 与 的傅氏变换.
解：
11( ) [ ( ) ] jtF F f t e d t
2 ( ),
jed
00 ()22( ) [ ( ) ] j t j tjtF F f t e e d t e d t
002 ( ) 2 ( ),
1 2 ( )
0 02 ( )jte
2009-7-30 29
例 2,0,0 1
( ) ( ),1,0tut t j证明单位阶跃函数 的傅氏变换为证明：
1 11( ) [ ( ) ] [ ( ) ]
2
jtf t F F e d
j
11()
22
jt
jt ee d d
j
1 1 c o s s i n()
22 jt
t j te d d
i?
0
1 1 s in,
2
t d
0
,0
2
sin
0,0
,0
2
t
t
dt t
t
t
而
1 1( ) [ ( ) ] ( )f t F u t
j
2009-7-30 30
例 3．
0( ) s inf t t求正弦函数 的傅氏变换.
解：
0( ) [ ( ) ] sin jtF F f t te dt
00
2
j t j t
jtee e d t
00( ) ( )1 []
2
j t j te e d t
00
1 [ 2 ( ) 2 ( ) ]
2
00[ ( ) ( ) ],
在这个例子中显示，在广义傅氏变换意义下，周期函数也可以进行傅氏变换，其频谱仍然是离散的，这一点与傅氏级数展开是一致的．所不同的是，这里用冲激强度来表示各频率分量的幅值的相对大小．
2009-7-30 31
定理（对一般的周期函数 ）
( ) [,]22TTf t T?设 是以 为周期的实值函数，且在上满足狄氏条件，
00( ) ( ) 2 ( ) ( )
n
n
f t F F n n
则函数 和 是一组傅氏变换对，
00
2,( ) ( )F n f t
T
其中 是函数 的离散频谱.
证明,()ft 展开为傅氏级数的复指数形式为：
00( ) ( )
n jn t
n
f t F n e
00[ ( ) ] ( ) ( )
n jn tj t j t
n
f t f t e dt F n e e dt
F
0()0 0 0( ) 2 ( ) ( ) ( )
nn j n tF n e dt F n n F
1
00
1[ ( ) ] ( ) ( ) ( )
2
nj t j t
n
F F e d F n n e d
F
00( ) ( )
n jn t
n
F n e f t
( ) ( )f t F?即得 与 是一组傅氏变换对.
2009-7-30 32
例 4,s i n( ) ( ),F f t
已知某函数的傅氏变换为,求该函数解,1 s i n 1 s i n( ) [ ]
2 jtf t F e d?
1 s i n ( c o s s i n )
2 t j t d
0
1 s in c o s t d
0
11 [ s i n (1 ) s i n (1 ) ]
2 t t d
由单位阶跃函数的傅氏积分表达式,
0
1 s i n 1( ),0
2
t d u t t
0
0
1 s i n ( 1 ) 1
( 1 )
22
1 s i n ( 1 ) 1
( 1 )
22
t
d u t
t
d u t
0
1 1 s i n ( 1 ) s i n ( 1 )( ) [ ]
2
ttf t d
1 [ (1 ) (1 ) 1 ],
2 u t u t
2009-7-30 33
例 5,()t?作单位脉冲函数 的频谱图.
解,( ) ( ) 1,
jtF t e d t
| ( ) | 1,F
( ) ( )f t t当 时,( ) 1F则，
0( ) ( )f t t t当 时,0() jtFe则,| ( ) | 1F所以,
( ) 1ft?当 时,( ) 2 ( )F则，
2009-7-30 34
重要公式
( ) ( ) ( 0 ),t f t d t f
2 ( ),jte d t
1 s in 1()
2
t d t u t?
00( ) ( ) ( ),t t f t d t f t?
0() 02 ( )j t te d t t
( ) 1,jtt e d t 00() jtjtt t e d t e
2 ( ),jte dt 0() 02 ( )jte d t
2009-7-30 35
第三节 傅立叶变换的性质
一、基本性质
1,线性性质
( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],F f t G g t设,为常数，则FF
[ ( ) ( ) ] ( ) ( )F f t g t F G
同样傅氏逆变换也具有类似的性质：
1 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )F G f t g tF
2009-7-30 36
2,位移性质
00( ) [ ( ) ],F f t t设,为实常数，则F 00[ ( )] ( ).jtf t t e FF
00[ ( ) ],jtt t e如,F
证明：
00[ ( ) ] ( ) jtf t t f t t e d t?
＋
－F
0() 0( ),(,)j u tf u e du t t u dt du ＋－
0 ()jt jue f u e d u 0 ( ).jteF
同样傅氏逆变换也具有类似的性质：
01 0[ ( ) ] ( )jtF e f tF 0 0[ ( ) ] ( )jte f t F或 F
2009-7-30 37
傅氏变换的位移性质的物理意义：
00[ ( ) ] ( )jtf t t e FF
说明当一个函数（或信号）沿时间轴移动后，它的各频率成分的大小不发生改变，但是相位发生了变化；
01 0[ ( ) ] ( )jtF e f tF
被用来进行频谱搬移，这一技术在通信系统中得到了广泛的应用．
例 1．,0()
0,
Etft
求矩形单位脉冲函数 的频谱函数,其它解：
11
,2( ) ( ) si n22
20,
Et Ef t F
前面已知 的频谱函数为,
其它
2211 2( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) si n22ii EF F f t f t e F e
F
1
2( ) ( ) si n,
2
EFF
且频谱函数
2009-7-30 38
例 2,1
0
0
1( ) 0,( ) [ ( ) ],
()G g t Gj
已知,为实常数，求 F
解,0,0 1( ) ( )
,0t
tf t F
et j
的傅氏变换为,
0011 1( ) [ ( ) ] [ ] ( )j t j tg t G e e f tjFF
0(),0
0,0
jtet
t
2009-7-30 39
3,相似性质
( ) [ ( ) ]F f t a设,为非零常数，则F 1[ ( ) ] ( )
||f a t Faa
F
证明,[ ( ) ] ( ) jtf at f at e dt
＋
－,F
x a t?令,则有
0a?当 时,11[ ( ) ] ( ) ( ) ( )jxjt af a t f a t e d t f x e d x Fa a a＋ ＋
－ －F
0a?当 时,11[ ( ) ] ( ) ( ) ( )jxjt af a t f a t e d t f x e d x Fa a a
＋
－F
1[ ( ) ] ( ),
||f a t Faa
F
1a?物理意义：函数（或信号）被压缩,则其频谱被扩展；
1a?反之，若函数被扩展（ ），则其频谱被压缩.
2009-7-30 40
例 3,1,| | 2s i n 2( ) ( )
0,| | 2
tf t F
t
已知抽样信号 的频谱为,
( ) ( ) ( ),2tg t f G求信号 的频谱解,2,| | 1
( ) [ ( ) ] [ ( ) ] 2 ( 2 ) 0,| | 12tG g t f FFF
实际意义见图,( ) ( )f t g t由 扩展后的信号 变平缓，频率变低，
| | 2 | | 1,即频率范围由原来的 变为
2009-7-30 41
证明,| ( ) | | ( ) | 0jtt f t e f t当 时，,( ) 0jtf t e可得：
[ ( ) ] ( ) jtF f t f t e d t
[ ( ) ] ( )j t j tf t e j f t e d t
[ ( )]j F f t
.j?它表明一个函数导数的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换乘以因子
4,微分性质
( ) (,) l i m ( ) 0tf t f t如果 在 上连续或有有限个可去间断点，且,
[ ( ) ] [ ( ) ],f t j f tFF则
2009-7-30 42
推论,() ( ) ( 1,2,3,) (,)kf t k n若,在 上连续或有有限个
()l im ( ) 0 ( 0,1,2,( 1 ) )k
t f t k n可去间断点，且,,则
()[ ( ) ] ( ) [ ( ) ],knf t j f tFF
同样，有象函数的导数公式,() [ ( ) ] [ ( ) ],dF jtf t j tf t
d
FF
一般地，有 () ( ) [ ( ) ],n nn
n
dF j F t f t
d
证明,() ( ) ( ) [ ( ) ],
j t j td F d f t e d t j t f t e d t j t f tdd
F
常用公式,[ ( ) ] ( ),dF tf t j F
d [ ( ) ] ( ),
nnn
n
dF t f t j F
d
2009-7-30 43
5,积分性质
li m ( ) 0tt f t dt若,则 1[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ],tg t f t d t f tjF F F
证明：
( ) ( )td f t d t f tdt
[ ( ) ] [ ( ) ]td f t d t f tdtFF
[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]ttd f t d t j f t d t j f tdtF F F由微分性质：
1[ ( ) ] [ ( ) ],t f t dt f t
jFF
.j?表明一个函数积分后的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换除以因子
1l im ( ) 0 [ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( ),tt
t f t d t F f t d t F Fj注意：当 时，
(后面证明）
2009-7-30 44
例 4,( ) ( ) ( ) ( ),ta x t b x t c x t d t h t t
求微分积分方程,其中
,,.abc 均为常数解,[ ( ) ] ( ),[ ( ) ] ( )x t G h t H设，FF
方程两边取傅氏变换，得：
[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ],ta x t b x t c x t d t h tF F F F
( ) ( ) ( ) ( ),caj G bG G Hj
()( ),
()
HG
cb j a
求上述傅氏逆变换，可以得到,1( ) ( ),
2 jtx t G e d
运用傅氏变换的线性性质，微分性质及其积分性质可以把线性常系数微分积分方程，通过解代数方程与求傅氏逆变换，
可以得到此微分积分方程的解．
2009-7-30 45
6,乘积定理
1 1 2 2( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ]F f t F f t若,,则FF
1 2 1 2
1( ) ( ) ( ) ( )
2f t f t F F d
12
1 ( ) ( ),
2 F F d
1 2 1 2( ),( ) ( ),( ),f t f t F F其中 均为实函数，而 分别为共轭函数
7,能量积分
( ) [ ( ) ]F F f t若,则 22 1[ ( ) ] ( ),2f t d t F d t
这一等式称为帕赛瓦尔（ Parseval） 等式．
证明,( ) [ ( ) ] ( )
jtF f t f t e d t
F ( ) ( ),
jtF f t e dt
211( ) ( ) ( )22F d t F F d t
1 ( ) [ ( ) ]
2 jtF f t e d t d
1( ) [ ( ) ]
2 jtf t F e d d t
2 ( ),f t dt
2009-7-30 46
例 5,2
2
si n x dx
x
求积分 的值.
解,22 1[ ( ) ] ( )
2f t d x F d
因为,s in() tft t?所以设,
1,| |( ) 0 )
0,| |
tft
t
前面已知函数,( 所对应的象函数为：
1s i n s i n( ) 2 2,F
22 1[ ( ) ] ( )
2f t d t F d t
并由公式 得：
12 22
1
2 s i n( ) ( ) 2 1 4F d d d
22
2
sin sin() td d t
t
即有,
由于被积函数是偶函数，所以又有 2
20
si n,
2
x dx
x
2009-7-30 47
例 6,4
2
sin x dx
x
计算积分 的值.
解,sin
() tft t?设，
2 2 2
22
sin sin sin( ) [ ] [ ] [ ]t t tF t j jt
t t t因为 F F F
2
12
sin[ ] [ ],d t dj j F
d t dF
2
1 2
(1 ),2s in[ ] [ ]
2
0,2
tF
t
而，F
1
,0 2
2
[ ] [ ],
,2 0
2
0,2
j
d
F j F
jd
224 2 02
2 20
si n 1 1( ) [ ]
2 2 4 4
x dx F d d d
x
21 ( 2 2 ),
2 4 2
2009-7-30 48
二、卷积与卷积定理本节介绍傅氏变换的另一类重要性质：卷积与卷积定理．
1.卷积的概念
12( ),( ) (,)f t f t若已知函数 在 内有定义，若广义积分
12( ) ( )f f t d
t对任何实数 都收敛,则它定义了一个
t自变量为的函数,12( ) ( )f f t d
即积分 称为函数
12( ) ( )f t f t和 的卷积,12( ) ( ).f t f t?记为
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t f f t d
即：
2009-7-30 49
2．卷积的性质
（ 1）交换律
1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t
证明,12( ) ( )f t f t?
12( ) ( )f f t d
1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )f t u f u d u f u f t u d u
,t u d d u令，
21( ) ( ).f t f t
（ 2）结合律
1 2 3 1 2 3( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( )f t f t f t f t f t f t
（ 3）分配律
1 2 3 ] 1 2 1 3( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t f t f t f t
证明：
1 2 3 ] 1 2 3( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]f t f t f t f f t f t d
1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( )f f t d f f t d
1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( ),f t f t f t f t
2009-7-30 50
例 1．
1 2 1 2
0,0 0,0( ),( ) ( ) ( ),
1,0,0t
ttf t f t f t f t
t e t?
若函数,求解,12( ) ( )f t f t?
12( ) ( )f f t d
()12
00( ) ( )
ttttf t f t e d e e d
10 ( ) 0ft当 时,； 2 ( ) 0t f t当 时,；
( 1 ) 1,t t te e e
1()f?
1
2()ft
t
1
2009-7-30 51
例 2．
1 1 1 2
11,0 1,0 1
( ),( ) ( ) ( ),20,
0,
t tf t f t f t f t
设函数,求其它其它解,12( ) ( )f t f t?
12( ) ( )f f t d
12( ) ( ) 0 1 0 1f f t t被积函数 只有在 且 时，才不为零，
01
t
即：,
01 1
1tt
解得 为,（）
讨论,1 ) 0 1t?当 时，（）式无解，
12( ) ( ) 0 ;f t f t故
2 ) 2 1t?当 时，（）式无解,12( ) ( ) 0 ;f t f t故
013 ) 0 1 0
01tt t
当 时，由 解出,
12 0
11( ) ( ) ;
22
tf t f t d t t故
014 ) 1 2 1 1
1tt tt
当 时，由 解出,
1
12 1
11( ) ( ) ( 2 ),22
tf t f t d t t故
2009-7-30 52
例 3,2 1,| | 1( ) ( ) ( ),
0,| | 1
tf t t u t g t
t
求下列函数的卷积,
解,( ) ( )f t g t? ( ) ( ) ( ) ( )f g t d g f t d
()g?
1
11?
()ft
t
1 ( ) ( ) 0t f t g t当 时,；
11t当 时,23
1
1( ) ( ) 1 ( ) ( 1 ) ;
3
tf t g t t d t
1t?当 时,1 22
1
1( ) ( ) 1 ( ) (6 2 ),
3f t g t t d t
2009-7-30 53
2．卷积定理
1 1 2 2[ ( ) ] ( ),[ ( ) ] ( )f t F f t F设,则FF
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),f t f t F FF 1 2 1 21[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),2f t f t F FF
证明,(1)由卷积定义
1 2 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]j t j tf t f t f t f t e d t f f t d e d t
F
1 2 1 2( ) ( ( ) ) ( ) [ ( ) ]jtf f t e d t d f f t d
F
12( ) [ ( ) ]jf e f t d
F
（位移性质）
2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ),jF f e d F F
2009-7-30 54
(2)由卷积定义
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )F F F F d
12( ) ( ) j t j tdt F f t e e d
212 ( ) ( ) jtf t f t e dt
()12) ( ( ) )jtF f t e dt d
21( ) ( ( ) )j t j tf t e F e d d t
122 [ ( ) ( ) ],F f t f t
1 2 1 2
1[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),
2f t f t F F于是,F
推论,( ) ( 1,2,)
kf t k n?若 满足傅氏积分定理中的条件，且
[ ( ) ] ( ),( 1,2,),kkf t F t k n 则有F
1 2 1 21
1[ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( )
( 2 )nn nf t f t f t F F FF
利用卷积定理可以简化卷积的计算及某些函数的傅氏变换．
2009-7-30 55
例 4,s i n s i n( ) ( ) 0,0,ttf t g t
tt
求函数 与 的卷积，其中解,[ ( ) ] ( ),[ ( ) ] ( )f t F g t G设，FF
由前面讨论知,
1,| |( ),
0,| |F
1,| |() 0,| |G
1,| |( ) ( ),
0,| |FG
m in (,)其中,
由卷积定理有,
1 si n( ) ( ) [ ( ) ( ) ],tf t g t F G
F
2009-7-30 56
例 5,0( ) ( ) c os 0 [ ( ) ],tf t e u t t f t设,,求 F
解：
0
1[ ( ) ] [ ( ) ] [ c o s ]
2 tf t e u t t因为,F F F
1[ ( ) ]te u t
j
而，F 0 0 0[ c o s ] [ ( ) ( ) ],tF
00
1[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2f t d tj
F
00
1 1 1[]
2 ( ) ( )jj
22
0
.() jj
利用傅氏变换性质和卷积定理求傅氏变换．
2009-7-30 57
例 6,00( ),( 3 ) ( )jtt t e tu t利用傅氏变换的性质，求(1 ),(2 ) 的傅氏变换.
解,1
(1 ) [ ( ) ] ( )ut j因为,F [ ( )] 1t及，F
由位移性质得,
000[ ( )] [ ( )],j t j tF t t e F t e
( 2 ) [1 ] 2 ( )因为,F 所以由象函数的位移性质得,
0 0[ ] 2 ( ),jteF
1( 3 ) [ ( ) ] ( )ut
j因为,F
所以由象函数的微分性质,
( ) [ ( ) ]d F jtf tdF
1[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]ddjtu t F u t
d d jF
2
1[ ( ) ] ( ),jF tu t
j
2
1[ ( ) ] ( ),jF tu t j
即
2009-7-30 58
例 7．
00
11[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ],
2f t F f tj若,求F
解：
00
1[ c o s ( ) ] [ c o s ] [ ( ) ]2t u t t u t因为,F F F
0 0 0[ c o s ] [ ( ) ( ) ],Ft及＋ 1[ ( ) ] ( )F u t j＝
00
11[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ]
2F f t j
0 0 0 0
1 1 1[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]
2 jj
根据卷积定理,1
00
11( ) { [ ( ) ] [ ] }
jjF F F
01 1{ [ ] }jte jFF
由位移性质,1
00
11{ [ ] }
( ) ( )jjFF
00( ) ( ) [ ( ) ( ) ]
1 0[ [ ( ) [ ( ) ] ]F F F
由卷积定理：
1 00[ [ ( ) ] ] ( ),FF
00
00
1 1 1[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2 ( ) ( )F f t jj
0022
0
[ ( ) ( ) ],2j
2009-7-30 59
例 8,()( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( 0 ) ( ),t FF f t f t d t F
j
若,证明FF
证明,( ) ( )t f t d t g t
令,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
tg t f t d t f t u t f t u t d
由卷积定理,[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]g t f t u t f t u tF F F F
1( ) [ ( ) ]F
j
1 ( ) ( ) ( ),FF
j
( ) ( ) l i m ( ) ( ) ( 0 ) ( ) 0F F F因为,
1 ( ) ( 0 ) ( ),FF
j
( ) ( )t f t d t g t说明：若 满足傅氏变换性质中积分性质的条件，
l i m ( ) ( ) 0t g t f t dt即 时，
00( 0) l i m ( ) l i m ( )
itF F f t e dt?
0l i m [ ( ) ] ( ) 0,
itf t e dt f t dt?
1[ ( ) ] ( ),tF f t dt F
j
2009-7-30 60
三、综合举例
例 1,( ) [,]22TTf t T?设 是以周期为 的实值函数，且在 上满足狄利克雷条件，
22 0 0 0
0
12( ) | ( ) | ( ) ( ),T
n
f t dt F n F n f tTT
证明：,其中,为函数 的离散频谱证明,据题意，有
00( ) ( ),jn t
n
f t F n e
020
2
1( ) ( ),T jn t
TF n f t e d tT
02
0
2
1( ) ( )T jn t
TF n f t e d tT
00
0 2
02
11( ) ( )Tjn t jn t
T f t e dt f t e dtTT
00 1
2
() j n tT f t e d t t t T对于积分,作变量代换，令,
0() jn tf t e?利用函数 与 的周期性，有
2009-7-30 61
0 0 10 ()11
22
( ) ( )Tj n t j n t TTTf t e d t f t T e d t
0 0 020
002
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )TTTjn t jn t jn t
TF n f t e dt f t e dt f t e dtT T T
0 0 1 0 11 1 1 1
22
( ) ( )TTj n T j n t j n te f t e d t f t e d t
02 0
00
11 ( ) ( ) ( )TT jn t
n
f t d t f t F n e d tTT
00
0
1( ) ( )T jn t
n
F n f t e d tT
2
0 0 0( ) ( ) | ( ) |,
nn
F n F n F n
2009-7-30 62
例 2,( ) (,) ( ) [ ( ) ]f t F f t设 是定义在 上的实值函数，且存在傅氏变换,F
220
0
| ( ) | | ( ) |,
| | | |
FFdd
证明：
证明,( ) [ ( ) ] ( ) jtF f t f t e d t
F
( ) ( ) ( )jtF f t e d t F
2
00
| ( ) | ( ) ( )
| | | |
F F Fdd
1 0 11
10
1
( ) ( )( ) ( )
| | | |
FFFF dd
20 | ( ) |,
||
F d
2009-7-30 63
例 3,2 ||
40
22 c o s c o s,
4
ttd e t
证明：
证明,||( ) c o s ( ) [ ( ) ]tf t e t F f t令,,则F
||( ) ( ) c o sj t t j tF f t e d t e te d t
0
0 c o s c o s
t j t t j te te d t e te d t
0
1c o st j te te d t t t对于上式第二个积分 作变量代换,有
11 1100( ) c o s c o st j tt j tF e te d t e t e d t
( ) c os ( ) c ost j t t j te u t te dt e u t te dt
1 1 1( ) ( ) c os ( ) [ ( ) ]tf t e u t t F f t令,,则F1 1 1( ) ( ) ( ) 2 R e ( )F F F F
1 2
1()
( 1 ) 1
jF
j
由前面的例题可知：,
2
1 4
2( ) 2 Re ( ) 2
4FF
21
4
12[ ( ) ] 2
24 jtF e d?
F
2
4
12 ( c o s si n )
4 t j t d
2 ||
40
22 c o s c o s,
4
ttd e t
2009-7-30 64
例 4,22 ()tte d t f t e
已知,求函数 的傅氏变换.
解,( ) [ ( ) ]F f t设,则F
2 2( 2 ) ( ) j t t j tF f t e d t e e d t
2 2 2 2 2[ 2 ( ) ( ) ] ( ) ]t j t j j t je d t e e d t
2 2 2 2l i mz t j jjzze e d z e e d z
21 2 3 4 xC C C C C e z如图所示矩形闭曲线,由于 在 平面上解析，有
22
1 2 3 4
0,zzC C C C Ce dz e dz
2 2 2 2
4
( ) 2
00 0)
z j y y j y
C e d z e j d y e e e j d y
其中,(
2009-7-30 65
2
2
0 ( )zC e d z同理,,又有已知条件，有
22
3
,( )zxC e d z e d x
2
1
l im 0,zC e dz
2l i m j z
j e d z
即：,
2 2 2( 2 ) l i m,j z
jF e e d z e
于是，
2
2 4[ ] ( ),te F e故 F
