复变函数与积分变换主讲：周晖杰宁波大学科技学院数学组 二零零七年六月大学数学多媒体课件
2009-7-30 2
参考用书
,复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6
,复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社
,复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5
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目 录
第二章 解析函数
第三章 复变函数的积分
第四章 解析函数的级数表示
第五章 留数及其应用
第六章 傅立叶变换
第七章 拉普拉斯变换
第一章 复数与复变函数
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第二章 解析函数
内容提要,解析函数是复变函数研究的主要对象．在理论和实际问题中有着广泛的应用，本章在介绍复变函数导数的概念和求导法则的基础上，着重讲解析函数的概念，判别方法及重要性质．
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第二章 解析函数
2.1 解析函数的概念
2.2 解析函数和调和函数的关系
2.3 初等函数
本章小结
思考题
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第一节 解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分
1．导数定义
01,( )w f z z?定义 设函数 在点 的某邻域内有定义,0zz 是该邻域内任意一点，
00( ) ( )w f z z f z函数的增量,00
0
( ) ( )l i m
z
f z z f z
z
如果极限 存在，
0()f z z则称函数 在 处可导,0()f z z此极限值称为 在 处的导数，
0
00
0
( ) ( )( ) | l i m,
zz z
f z z f zdwfz
d z z
即：
说明,( 1 ) 0,( ) 0,0 z语言描述,当 时，
( ) ( )f z D f z D(3) 若 在 内处处可导，就说 在区域 内可导.
00 ( 0 )z z z z(2) 定义中 即 的方式是任意的，定义中极限值存在的要求
00 0( ) ( ) ()f z z f z fzz都有
00z z z与 的方式无关；
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例 1,2( ),f z z?求函数 的导数解,22
0 0 0
( ) ( ) ( )l im l im l im ( 2 ) 2
z z z
f z z f z z z z z z z
zz
( ) 2,f z z所以
例 2,()f z z x i y函数 是否可导？
( ) ( )f z z f z z z z z z z z
z z z z
解,x i y
x i y
1 z z z（）若 沿平行于实轴方向趋向于,00yx即,而,
0 0,0
( ) ( )l im l im 1
z x y
f z z f z x i y
z x i y
则有
2 z z z（）若 沿平行于虚轴方向趋向于,00xy即,而,
0 0,0
( ) ( )l im l im 1
z y x
f z z f z x i y
z x i y
则有
()f z z x i y故 不可导.
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2．可导与连续关系
()f z z x i y函数 处处连续，但处处不可导，反之可导必连续.从例 2从可以看出：
00( ),w f z z z?函数 在 可导，则在 处必连续，反之不成立结论：
证明：
00 0( ) ( )0,( ) 0,0 ( )f z z f zz f z
z
当 时，都有由导数的定义可知
00
0
( ) ( )( ) l i m
z
f z z f zfz
z
存在
00 0( ) ( )( ) ( )f z z f zz f zz令
0lim ( ) 0z z那么
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f z z f z f z z z z
000l i m ( ) ( )z f z z f z所以
0( ),f z z即函数 在点 处连续
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3．求导法则
(1 ) ( ) 0,CC （其中 为常数）
1( 2 ) ( ),nnz n z n （其中 为正整数）
( 3 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )f z g z f z g z
( 4 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )f z g z f z g z f z g z
2
( ) 1( 5 ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ],( ) 0
( ) [ ( ) ]
fz f z g z f z g z g z
g z g z
( 6 ) { [ ( ) ] } ( ) ( ),( )f g z f w g z w g z
1( 7 ) ( ),( ) ( ) ( ) 0,
()f z w f z z w ww 与 是互为反函数且单值函数，
结论：由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数在形式上完全相同，而且极限的运算法则也一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中去．
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4．微分的概念
0 0 0( ) ( ) ( ) ( ),w f z z f z f z z z z
复变函数的微分在形式上与一元实函数的微分概念一样，因此类似有：
0()w f z z?设函数 在 处可导，则
0lim ( ) 0z z其中,
() z z z因此 是 的高阶无穷小量
0( ) ( )f z z w f z w而 是 改变量 主要部分，
00( ) ( )f z z f z z?结论：函数 在 处可微 在 处可导.
0 0 0( ) ( ) ( ),0w f z z f z f z z o z z0()f z z称 在 处可微,
0( ),dw f z z记作
0( ) ( )f z z w f z称 是函数 在
0z点 处的微分，
0 0 0( ) ( ) ( ),0w f z z f z f z z o z z
证明,?
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二、解析函数在复变函数理论中，重要的不是只在个别点可导的函数，而是在区域 D内内处处可导的函数，即解析函数．
1．解析函数的概念
0 0 0( ) ( ) ;f z z z f z z(1) 如果函数 在 及 的某一邻域内处处可导，那么称 在 处解析
( 2 ) ( ) ( )f z D f z D如果函数 在区域 内每一点都解析，那么称 在 内解析，
()f z D或称 是 内的一个解析函数( 全纯函数或正则函数),
00( 3 ) ( ) ( )f z z z f z若 在 处不解析，那么称 为函数 的奇点.
注意,（ 1）函数在区域内解析与在区域内可导是等价的；
（ 2）函数在一点处解析和可导是两个不等价的概念，即在一点处可导不一定在该点解析；
00zz反之函数在 点解析，必在 处可导.
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例 3,22( ) ( ) ( ) | |,f z z g z x iy h z z研究函数,,的解析性解,2()f z z?(1) 前面章节中已经讨论过函数 在整个复平面上处处可导，
所以在整个复平面处处解析,
()g z x i y(2) 已经讨论过函数 在整个复平面上处处不可导，
所以在整个复平面处处不解析,
2( 3 ) ( ) | |,h z z?讨论函数 的解析性
22
0000
00
( ) ( )l i m l i m
zz
z z zh z z h z
zz
0 0 0 0 0 0
00
( ) ( )l im l im
zz
z z z z z z z z z z z z
zz
0 0 0 000l im ( ) l im,zz
zzz z z z z
0z任取,由于
0 0 ( 0 ) 0zf当 时,；
0 0 0 0 00 ( )z z z y y k x x z当 时，让 沿直线 趋向于,
1 1
11
y i
z x i y k ix
yz x i y k ii
x
k随着 的变化而变化，
2 0( ) | | 0h z z z故 在 可导，而其它点却不可导，函数在复平面上处处不解析
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例 4,1,w
z?研究函数 的解析性解：
2
11 0 dwwz
z d z z复平面内除点 外处处可导，且,
0z?所以在除 外的复平面内，函数处处解析，
0z?而 是它的奇点.
定理 1：在区域 D内解析函数的和、差、积、商（除去分母为 0的点）在 D内解析定理 2：设函数,()h g z z D? 在 平面上的区域 内解析,()w f h h G? 在 平面上的区域 内解析,
( ),D z g z G如果对 内的每一个点,函数 的对应值都属于 [ ( ) ],w f g z G?那么复合函数 在 内解析定理 3：任何有理分式函数
() 0,0
()
Pz
Qz 在分母不为 的点的区域内是解析函数 使分母为 的点是函数奇点.
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2．函数解析的充分必要条件
( ) (,) (,)f z u x y i v x y D函数 定义在区域 内，则定理 1,()f z D z x i y在 内一点 处可导的充分必要条件是：
(1 ) (,) (,) (,)u x y v x y x y与 在点 可微；
( ),.u v u vCR x y y x(2) 在该点满足柯西——黎曼方程 方程：
证明,必要性
0
( ) ( )( ) ( ) l i m
z
f z z f zf z z x i y f z
z
在 处可导,存在
0( ) ( ) ( ) ( ),l i m ( ) 0zf z z f z f z z z z z其中
( ) ( )f z z f z u i v设，
0z x i y对充分小的,有
12( ),( )f z a ib z i
u i v所以 12( ) ( ) ( ) ( )a ib x i y i x i y
1 2 2 1( ) ( )a x b y x y i b x a y x y
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0lim ( ) 0z z由于,12
()zi而，
120,0 0,0l i m 0,l i m 0x y x y所以
2212 ( ( ) ( ) )x y o x y因此,2221 ( ( ) ( ) )x y o x y
22( ( ) ( ) ),u a x b y o x y 22( ) ( ) )v b x a y o x y
(,),(,) (,)u x y v x y x y于是 在 处可微.
且沿平行于实轴方向：
0,0limxy
uu a
xx
沿平行于虚轴方向：
0,0limxy
vv a
yy
uv
xy
从而,,
uv
yx
同理
12u a x b y x y从而,21v b x a y x y
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充分性
( ) ( ) (,) (,) [ (,) (,) ]f z z f z u x x y y v x y i v x x y y v x y由于
u i v
(,),(,) (,)u x y v x y x y又因为 在点 可微，可知
34
vvv x y x y
xy
12
uuu x y x y
xy
00li m 0,kxy kN，其中
1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u v u vf z z f z i x i y i x i y
x x y y
因此
2,u v u v vC R i
x y y x x
根据 方程：
1 3 2 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
uvf z z f z i x i y i x i y
xx
所以
1 3 2 4
( ) ( ) ( ) ( )f z z f z u v x yi i i
z x x z z
0
( ) ( )( ) l i m,
z
f z z f z u vf z i
z x x
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定理 2：函数 ( ) (,) (,)f z u x y i v x y D 在定义域 内解析的充分必要条件是
(,),(,),u x y v x y D C R?函数 在 内可微分且满足 方程判别函数在区域解析的常用方法
(1 ) (,),(,)u x y v x y D在 内偏导数连续；
( 2),.u v u vCR x y y x满足 方程：
( ) (,) (,)f z u x y i v x y判断函数 在内是否解析，只需判断两点：
( ) (,) (,) ( ),f z u x y i v x y D C R f z D若函数 在 内不满足 方程，则 在 内不解析
例 1,判定下列函数在何处可导，在何处解析？
(1),wz? ( 2 ) ( ) ( c o s sin ),xf x e y i y(3 ) R e ( ).w z z?
解,(1 ),w z x iy,,u x v y因为 偏导数连续
1,0,0,1,u u v vx y x y
uv
xy
可知,,CR?即不满足 方程
wz?所以函数 在复平面内处处不可导，从而处处不解析.
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( 2 ) ( ) ( c o s sin ),xf x e y i y c o s,sinxxu e y v e y因此 偏导数连续，
c o s,si n,si n,c o sx x x xu u v ve y e y e y e yx y x y且，
CR?以上四个偏导数连续，且满足 方程,()fz所以 在复平面内处处可导，
( ) ( c o s s in ) ( ),xf z e y i y f z于是处处解析，且这个函数特点：其导数是本身，今后看到这个函数就是复变函数中的 指数函数,
2( 3 ) Re ( ) ( ),w z z x iy x x ix y
2,,2,0,,u u v vu x v x y x y x
x y x y
且，
0x y C R这四个偏导数连续，但只有当 时，才满足 方程,
0z?因此函数仅在 处可导，但在复平面内处处不解析.
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例 2,( ) ( ),,f z x a y i b x c y a b c若函数 在复平面上解析，试确定实常数 的值.
解：,,u x a y v b x c y 1,,,u u v va b c
x y x y
且，
()fz因为 在复平面上解析，,u v u vCR
x y y x
故需满足 方程：
1,.c b a所以有
例 3,( ) ( )f z D f z D如果 在区域 内解析，而且满足下列条件之一，则 在 内为一常数.
(1) ( ) 0,fz 2 R e ( )fz（ ） 为常数,(3 ) | ( ) |fz 为常数.
证明,(1 ) ( ) 0,u v v uf z i i
x x y y
0u u v vx y x y,
( ) 0,fz由
uv所以,为常数，
( ),f z D于是函数 在 内为一常数
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( 2 ) 0uuu xy因为 为常数，故,0vvCR xy由 方程可知：,
( ),fz所以 为常数
2 2 2( 3 ) | ( ) |f z u v 常数，,xy分别对 求偏导数，得：
0,0,u v u vu v u vx x y y
CR?由 方程知,0,0,u u u uu v u v
x y y x
0
,
0
uu
uv
xyuu
uuxy
vu
xy
解关于 的齐次线性方程组：,
22 0 0 ( ) 0 ;u v u v f z当,即,显然
22 00uuu v u
xy
当 时，,故 常数，
( ),v f z D同理,常数,在 内为常数
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例 4,(,) (,),w u x y i v x y z如果 为一解析函数，则它一定能单独用 来表示证明,11
( ),( ),22x z z y z zi1,22x y izz则，
,(,) (,),,x y w u x y i v x y w z z将 代入 中，那么 可看成是变量 的函数
0.wwz z要证明 仅依赖于,只要证明 即可由复合函数偏导数求法知：
()w u x u y v x v yix y x yz z z z z
11 ()
2 2 2 2
u i u v i vi
x y x y
1 ( ) ( )
22
u v i v u
x y x y
w C R?由于 是解析函数，由 方程得：,u v u v
x y y x
0.wz得：
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例 5,( ) ( ) 0f z u i v f z如果 为一解析函数，且,
12(,) (,),u x y C v x y C那么曲线 和 必互相正交证明,1( ) 0,u v u vfz
i y y y y
由于 故,必不全为零下面分两种情况讨论：
( 1 ) uvyy如果在曲线的交点处,和 都不为零，
因为由隐函数求导法知：
11(,),
u
xu x y C k
u
y
曲线族 中任一条曲线的斜率为
22(,),
v
xv x y C k
v
y
同理：曲线族 中任一条曲线的斜率为
()f z C R?由于函数 解析，由 方程得：
12 ( ) ( ) ( ) ( ) 1
vuuv
yyxxkk
u v u v
y y y x
12(,) (,),u x y C v x y C因此曲线 和 互相正交
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( 2 ) uvyy如果 和 中有一个为零，则另一个必不为零，
此时知曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的，它们依然互相正交．
120,ta n,0,02
uvkk
yy
若，
2 2 2 2w z x y ix y由此例可知：,
00dwz dz当 时，,
12(,) (,),u x y C v x y C所以曲线 和 必互相正交
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第二节 解析函数与调和函数关系
平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是一种特殊的二元实函数，即所谓的调和函数，它们都与某种解析函数有着密切的关系．下面给出调和函数的定义．
一、调和函数的概念定义 1,(调和函数 ) (,)xy?如果二元函变函数 满足：
D(1) 在区域 内具有二阶连续偏导数，
22
22)0L ap l ace xy
(2) 满足二维拉普拉斯( 方程：
(,)x y D?则称 为区域 内的调和函数.
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定理 1：设函数
( ) (,) (,)f z u x y v x y D则 的实部 和虚部 都是区域 内的调和函数.
( ) (,) (,)f z u x y i v x y D 在区域 内解析，
证明,()w f z u i v D因为 为 内的一个解析函数，
,u v u vD C R x y y x则在区域 内满足 方程：
2 2 2 2
22,,
u v u vxy
x y x y x y
上式分别对 求偏导，得：
解析函数有任意阶导数，并且解析函数的导数仍是解析函数,
uv则 与 具有任意阶连续的偏导数,22vv
y x x y
2 2 2 2
22 0
u u v v
x y y x x y
从而，
(,),u x y D即 是区域 内的调和函数
22
22 0.
vv
xy
同理可证，
,.uv因此二元实变函数 都是调和函数
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二、共轭调和函数定义 2,(共轭调和函数 ) (,) (,)x y x y D设函数 及 均为区域 内的调和函数，
,,CR x y x y且满足 方程：
(,) (,),x y x y则称 是 的共轭调和函数定理 2：复变函数 ( ) (,) (,)f z u x y i v x y D 在区域 内解析的充分必要条件是
( ) (,) (,),D f z v x y u x y在区域 内,的虚部 是实部 的共轭调和函数根据这个定理，可以利用一个调和函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数．
三、解析函数与调和函数的关系
(,)u x y C R?如果已知一个调和函数,则可利用 方程
(,)v x y求得它的共轭调和函数,从而构成一个解析函数
( ) (,) (,),f z u x y iv x y
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例 1,32(,) 3 (,)u x y y x y v x y证明 为调和函数，并求它的共轭调和函数
( ),f z u i v和由它们构成的解析函数解,32( 1 ) (,) 3,u x y y x y先证明 为调和函数
22 226,6,3 3,6,u u u vx y y y x y
x x y y
因为
22
22 0
uv
xx
均连续，且,
32(,) 3u x y y x y所以 为调和函数.
( 2 ) (,),v x y用偏积分法求函数
226 3 3u v u vC R x y y x
x y y x
由 方程，有,,得：
2(,) 6 3 ( )v x y x y d y x y g x
2 2 23 ( ) 3 3,v y g x y xx又
23( ) 3g x x d x x C
23(,) 3,v x y x y x C因此
3 2 3 2 3( ) 3 ( 3 ) ( ) ( ),w f z y x y i x x y C w f z i z C从而
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( 2 ) CR用不定积分法求复变函数（ 方程）
( ) ( )f z u i v f z由于解析函数 的导数 仍为解析函数，
( ),u v u u v vf z i i ix x x y y x且
uuiz
xy
把 还原成 的函数，得：
( ) ( )uuf z i U zxy 凑 ( ) ( )vvf z i V zyx 凑与
( ) ( )f z U z d z上式积分得：,( ) ( ),f z V z d z及
( ) ( ) ( )f z f z U z d z已知实部，求 可用：,
( ) ( ) ( )f z f z V z d z已知虚部，求 可用：,
323u y x y上例中，,226,3 3,
xyu x y u y x故
22( ) 6 ( 3 3 )f z x y i y x2 2 2 23 ( 2 ) 3 ( ) 3,i x x y i y i x iy iz
23 1( ) 3,f z iz d z iz C故
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( 2 ) 用线积分法求函数(二维拉普拉斯方程）
(,) ( )u x y D f z设函数 为区域 内的解析函数 的实部，
22
22 0
uu
xy
由于它是调和函数，故有：,
22
22
uu
yx
即：,
,u u P QPQ y x y x令,则,
(,)uuP d x Q d y d x d y v x yyx由此可知,必为某一函数 的全微分，即：
u u v vd v d x d y d x d y
y x x y
全 微 分定 义
v u v u
x y y x
由上式有：,,
,u v C R u i v即 满足 方程，从而 为一解析函数，
00
(,)
(,)
xy
xy
uuv d x d y C
yx
而积分：,00
(,),C x y D其中 为常数,为 中的某一点
(,) 2 2 3 2
( 0,0 ) ( 3 3 ) ( 6 ) 3,
xyv x y d x x y d y C x x y C上例，
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例 2,(,) ( c o s s in ),xv x y e y y x y x y已知一调和函数
( ) (0 ) 0,f z u i v f求一解析函数,使解,用不定积分法
( c o s s in )xv e y y x y x y因为,
( c o s s i n s i n ) 1,( c o s s i n c o s ) 1xxxyv e y y x y y v e y y y x y
() u v v vf z i ix x y x
( c o s s in c o s ) 1 [ ( c o s s in s in ) 1 ]xxe y y y x y i e y y x y y
( c o s s in ) ( ) s in ( ) c o s 1x x xe y i y i x iy e y x iy e y i
( ) 1x iy x iye x iy e i
1zze ze i
( ) ( 1 ) ( 1 )z z zf z e z e i d z z e i z C积分，得：
( ) (1 ) ( 0 ) 0,zf z ze i z f所以,
凑 x+iy形式
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例 3,22( ) ( ) 1,f z u iv u x y x y f i i求解析函数,已知,
解,u容易验证函数 是全复平面上的调和函数，
C R v?利用 方程，先求出 的两个偏导数:
2,2v u v uy x x yx y y x
(,)
( 0,0 ) ( 2 ) ( 2 ),
xyv y x d x x y d y C
为什么与积分路径无关？
00( ) ( 2 )
xyx d x x y d y C 22112
22x x y y C
2 2 2 211( ) ( ) ( 2 )
22f z x y x y i x x y y C
221( ) ( )
2x iy i x iy iC
21(1 ),
2 i z iC
1( ) 1
2f i i C又因为,所以,
21( ) (1 ),
22
if z i z于是
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作业 习题二
2.1 (1)(2) 2.2 (1)(3)
2.3 (1) 2.4 (1) (2)
2.7 2.8
2.9 (1)（ 2） (3) 2.10
P52
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第三节 初等函数本节将把实变函数中的一些初等函数推广到复变函数中，研究它们的性质，并讨论它们的解析性．
一、指数函数
1.定义,()fz在复平面内定义一个函数,满足下列三个条件：
(1 ) ( )fz 在复平面内处处解析；
( 2 ) ( ) ( );f z f z
( 3 ) I m ( ) 0 ( ) R e ( ),xz f z e x z当 时，,其中
z则称它们为复变量的指数函数，
e x p ( c o s s in ),xw z e y i y记做：
e xp,zze z e 代 这里 没有幂的定义，只是一种符号.
( c o s s in ),zxe e y i y即：
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2．性质：
(1) exp 0,z? e x p ( e x p ) 2,0,1,2,xz e A r g z y k k模：,辐角：
1 2 1 2( 2 ) e x p e x p e x p ( )z z z z加法定理：
22( 3 ) ( c o s 2 s in 2 ) 2z k i z k i z ze e e e k i k e T k i周期性：,即 ；
( 4 ) ( ) ' ;z z ze e e?指数函数 是整个复平面上的解析函数，且
( 5 ) zez复变量指数函数,当 时没有极限；
0
l i m l i mzxzx
zx
z e e
当 沿着实轴正向趋向于 时，有,
0
l i m l i m 0zxzx
zx
z e e
当 沿着实轴负向趋向于 时，有,
1 1 1 2 2 2,z x iy z x iy设,则
121 2 1 1 2 2e xp e xp ( c os sin ) ( c os sin )xxz z e y i y e y i y
12 1 2 1 2 1 2 1 2[ ( c os c os sin sin ) ( sin c os c os sin ) ]xxe y y y y i y y y y
12 1 2 1 2 1 2[ ( c os( ) ( si n( ) ] e xp( ),xxe y y i y y z z
(5)
(2)
2009-7-30 35
例 1,3 4 ie计算 的值.
解,据指数的定义，有
3 34 ( c o s sin )
44
ie e i 3 22( si n ),ei
例 2,132,
12
i
i
利用复数的指数表示计算
1
111 3( a r c t a n )
1 323 ( a r c t a n a r c t a n 2 )
2
a r c t a n 2
25
12 5
i
i
i
ie e
i e
解,因为
1 ( 2 )
32,0,1,2ikek
5
66 23 1 3 1,2 2 2 2ii ie i e i e i
于是所求之值有3个：,,
2009-7-30 36
二、对数函数与实变量函数一样，对数函数的定义为指数函数的反函数．
1.定义,( 0 ) ( ),
we z z w f z w Ln z称满足方程 的函数 为对数函数，记做
w L n z?现在来认识它：,
,iw u iv z re令 wez?代入 中，得,u iv ie re
,2ue r v k比较得：,ln 2u r v k即：,,
l n ( 2 ) l n 0,1,2,w L n z z i k z i A r g z k因此，,
( 1 ) 2 i?它是一多值函数，每两值相差 的整数倍；
(2 ) l n a r gz i z?其中 为一单值函数，
l n l n a r gz z i z w L n z记：,称为 的主值,
l n 2 0,1,2,L n z z k i k其它各值表示为：,
( 3 ) 0 l n l n,z x L n z z x当 时,的主值 是实数中对数函数
2009-7-30 37
例 3,2 ( 1 ),( 2 3 )L n L n L n i求,及其相应的主值.
解,2 ln 2 2,L n k i ln 2主值是,
( 1 ) l n 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 2 1 ),L n i A r g i k k iln ( 1) i主值是 ；
( 2 3 ) l n 2 3 ( 2 3 )L n i i iA r g i
13l n 1 3 ( a r c t a n ( 2 1 ) ),0,1,2,
22 i k k
13l n ( 2 3 ) l n 1 3 ( a r c t a n ),
22ii主值是
13l n 1 3 ( a r c t a n 2 )
22ik
2009-7-30 38
2．性质：
11 2 1 2 1 2
2
( 1 ) ( ) zL n z z L n z L n z L n L n z L n zz运算性质：,,
1,n nL n z L n z n L n z L n z L n zn是多值函数，
l n l n a r g,z z i z(2) 解析性，研究主值,ln z模,除原点外在其它点都连续；
a r g z辐角,在原点与负实轴上不连续.
0000 R e R e R e R eI m 0 0 I m 0 0
0 l i m a r g l i m a r gz z z z
zz
z x x z z
因为对负实轴上任意一点 =,则当 时，
l n,z所以，除原点与负实轴外，在复平面内其它点对数函数 处处连续
a r g l nwz e v z w z综合上述，指数函数 在区域 内反函数对数函数 是单值的，
l n 1 1 1
w w
dz
ded z e z
dw
由反函数求导法则可知：
L n z因此,的各个分支在除原点及负实轴的复平面内也解析，
并且有相同的导数值.
2009-7-30 39
三．乘幂与幂函数
1,ab乘幂
ln0,,a a bb a b e在实数中，若 为实数，则 现将其推广到复数中.
定义 1,ba设 为不等于零的一个复数,为任一复数,a a L n bbe定义 为,
.a a L n bbe?即：
l n ( a r g 2 )L n b b i b k由于 是多值的，ab因而 也是多值的，
有多少值呢？
(1 ) a当 为正整数时,[ l n ( a r g 2 ) ]a b i b ka a L n bb e e
( l n a r g ) 2 ln,a b i b k ai abee ab所以 是单值的.
( 2 ) ( 0 )pa p q qq当 和 为互质的整数,时，
2009-7-30 40
l n ( a r g 2 )p p pb i b kq q qbe
ln [ c o s ( a r g 2 ) s i n ( a r g 2 ) ],0,1,2,( 1 )p bq ppe b k i b k k q
qq
0,1,2,( 1 )ab q k q所以 具有 个值，即当 时相应的各值.
( 3 ) aab当 是无理数或复数时,具有无穷多个值.
例 2,211 (1 )ii求,和 的值.
解,2 2 1 2 21 c o s (2 2 ) s i n (2 2 ),0,1,2,L n k ie e k i k k
( 2 ) ( 2 )22,0,1,2,i i k i ki iLn ii e e e k
( 1 ) [ l n 2 ( 2 ) ]1 ( 1 ) ( 1 ) 4( 1 ) i i ki i Ln ii e e
( ln 2 2 ) ( 2 ln 2 )44k i ke
242 [ c o s( 2 l n 2 ) sin ( 2 l n 2 ) ],0,1,2,.
44
ke k i k k
2009-7-30 41
2．幂函数定义 2：,( 0 )a a a L n zw z z e a z函数 规定为,为复数,
.z称为复变量 的幂函数,a L n zLn z e由于 是多值函数，所以一般 也是多值函数
[ l n | | ( a r g 2 ) ] a r g( 1 ) | |n n L n z n z i z k n i za w z e e z e当 为正整数时，
1() nnz n z在复平面内是单值解析函数，且导数 ；
1( 2 ) ( )an
n?当 为正整数时，
1 1 1 1 a r g 2[ l n | | ( a r g 2 ) ] | |,0,1,2,,( 1 )zkLn z z i z k in n n n nw z e e z e k n
它的各分支除去原点和负实轴外在复平面上是解析的，
11 11
.nnzz n?
且其导数为：
( 3 ) ( 0 )pa a p q qq当 为有理数 和 为互质的整数 时，
l n ( a r g 2 ),0,1,2,( 1 )p p pz i z kq q qw z e k q 是一个多值函数.
( 4 ) aa w z?当 为无理数或复数时,有多穷多值，
1( ),aaz a z各分支除去原点和负实轴外在复平面是解析的，且
2009-7-30 42
四、三角函数和双曲函数
1．三角函数
c o s s in,c o s s iniy iye y i y e y i y据欧拉公式：
两式相加与相减，分别得：
c o s,sin22iy iy iy iye e e eyy i
（ 1）三角函数定义
2
iz izee z称 为复变量 的余弦函数，
2
iz izee z
i
称 为复变量 的正弦函数，
c o s,s i nzz分别记做：,即：
c o s,si n22
iz iz iz ize e e e
zz i
2009-7-30 43
（ 2）性质
(1 ) c o s,s i nzz单值性,均为单值函数；
( 2 ) c o s s i n 2,( )z z i?周期性：,是以 为周期的函数 含有
( 3 ) c o s s i nzz奇偶性,为偶函数,奇函数；
( 4 ) ( c o s ) s i n ( s i n ) c o s,z z z z解析性：在整个复平面内处处解析，且,
( c o s ) 2
iz izee
z
证明,sin22iz iz iz izie ie e e zi
（ 3）三角公式
1 2 1 2 1 2( 1 ) c o s( ) c o s c o s sin sin ;z z z z z z
1 2 1 2 2 1( 2 ) sin ( ) sin c o s sin c o s ;z z z z z z
22( 3 ) s in c o s 1zz ；
( 5 ),c o s 2
yy
yeez iy iy
无界性：取
11si n ( ),
22 yy y y yi y e e e ei
s i n c o s 1 1( 4 ) t a n,c o t,s e c,c s c,
c o s s i n c o s s i n
zzz z z z
z z z z
2009-7-30 44
2．双曲函数
c osh 2zzeez双曲余弦,c o sh ;2xxeex
sin h 2zzeez双曲正弦,si nh ;2xxeex
si n hta n h ;
c o sh
zz
zz
z e ez
z e e
双曲正切：
c o shc o th,
si n h
zz
zz
z e ez
z e e
双曲余切：
性质：
( 1 ) c o s h s i n h 2 ;z z i?和 是以 为周期的函数
( 2 ) c o s h s i n hzz是偶函数,是奇函数；
( 3 ) c o s h,s i n hzz 在复平面上处处解析，
( c o s h ) s i n h,( s i n h ) c o s h,z z z z且
2009-7-30 45
公式：
c o s ( ) c o s c o s s i n s i nx i y x i y x i y
s i n ( ) s i n c o s s i n c o sx i y x i y i y x
c o s h c o s,s i n h s i niy y iy i y
c o s h ( ) c o s h c o s s i n h s i nx i y x y i x y
s i n h ( ) s i n h c o s c o s h s i nx i y x y i x y
c o s c o s h,s i n s i n hiy y iy i y
c o s c o s h s i n s i n hx y i x y
s i n c o s h s i n h c o sx y i y x
2009-7-30 46
五、反三角函数和反双曲函数
1．反三角函数
1c o s ( )
2 i w i wz w e e w z设,称 为 的反余弦函数，
c o s,w A r c z?记做：
1c o s ( )
2 i w i wz w e e由于,则得二次方程：
2 2 1 0iw iwe z e
2 1iwe z z根为：,
2c o s ( 1 )w A r c z i L n z z两边取对数，得：
2s i n ( 1 )w A r c z i L n i z z同理可得：
1t a n
21
i izw A r c z L n
iz
2009-7-30 47
2．反双曲函数
2( 1 ) ;w A r s h z L n z z(1) 反双曲正弦函数：
2( 1 ) ;w A r c h z L n z z(2) 反双曲余弦函数：
11 ( ),
21
zw A r t h z L n
z
(3) 反双曲正切函数：
2009-7-30 48
例 3,求下列方程的解 (1) 1,ze? ( 2 ) s in c o s 0,zz
解,21 0,1,2,z k ie e k（1 ）因为,
2,0,1,2,z k i k所以方程的解为：
( 2 ) s i n c o s 0zz由 得：
11( ) ( ) 0,
22iz iz iz ize e e ei ( ) 0iz iz iz ize e i e e即：,
221 ( 1 ) 0,iz ize i e 2(1 ) 1izi e i即有：,
222 1 ( 1 ) ( 1 ),
1 ( 1 ) ( 1 ) 2
iz i i iei
i i i
( 2 )2 2,0,1,2,kiize i e k所以,
2 ( 2 )2iz k i从而,
,0,1,2,.4z k k于是方程的解为：
2009-7-30 49
思考题
1 2 1 2(1 ),,,;k k k k k k Z（多值函数相等定义）
1 2 1 2( 5 ) ( ) ;L n z z L n z L n z
(（1）式成立)
1 2 1 2( 6 ) ( ) ;ln z z ln z ln z
1 2 1 2( 3 ) ( ) ;A rg z z A rg z A rg z
1 2 1 2( 4 ) ( ) ;a rg z z a rg z a rg z( 考虑取值范围或特殊值)
(（2）式成立)
( （3）式不成立)
( 7 ) ;nL n z L n z L n z L n z n L n z
1(8 ),nL n z L n z
n?
1 2 1 2( 2 ) 2,,,;k k k k k k Z（多值函数相等定义）
2009-7-30 50
作业 习题二
2.13 (1)(2)(3)
P53
2.14 (1)(2)(3)(4)
2.15 (3)(6) 2.16 (1)
2.18 (1)(2) 2.19
2009-7-30 2
参考用书
,复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6
,复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社
,复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5
2009-7-30 3
目 录
第二章 解析函数
第三章 复变函数的积分
第四章 解析函数的级数表示
第五章 留数及其应用
第六章 傅立叶变换
第七章 拉普拉斯变换
第一章 复数与复变函数
2009-7-30 4
第二章 解析函数
内容提要,解析函数是复变函数研究的主要对象．在理论和实际问题中有着广泛的应用，本章在介绍复变函数导数的概念和求导法则的基础上，着重讲解析函数的概念，判别方法及重要性质．
2009-7-30 5
第二章 解析函数
2.1 解析函数的概念
2.2 解析函数和调和函数的关系
2.3 初等函数
本章小结
思考题
2009-7-30 6
第一节 解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分
1．导数定义
01,( )w f z z?定义 设函数 在点 的某邻域内有定义,0zz 是该邻域内任意一点，
00( ) ( )w f z z f z函数的增量,00
0
( ) ( )l i m
z
f z z f z
z
如果极限 存在，
0()f z z则称函数 在 处可导,0()f z z此极限值称为 在 处的导数，
0
00
0
( ) ( )( ) | l i m,
zz z
f z z f zdwfz
d z z
即：
说明,( 1 ) 0,( ) 0,0 z语言描述,当 时，
( ) ( )f z D f z D(3) 若 在 内处处可导，就说 在区域 内可导.
00 ( 0 )z z z z(2) 定义中 即 的方式是任意的，定义中极限值存在的要求
00 0( ) ( ) ()f z z f z fzz都有
00z z z与 的方式无关；
2009-7-30 7
例 1,2( ),f z z?求函数 的导数解,22
0 0 0
( ) ( ) ( )l im l im l im ( 2 ) 2
z z z
f z z f z z z z z z z
zz
( ) 2,f z z所以
例 2,()f z z x i y函数 是否可导？
( ) ( )f z z f z z z z z z z z
z z z z
解,x i y
x i y
1 z z z（）若 沿平行于实轴方向趋向于,00yx即,而,
0 0,0
( ) ( )l im l im 1
z x y
f z z f z x i y
z x i y
则有
2 z z z（）若 沿平行于虚轴方向趋向于,00xy即,而,
0 0,0
( ) ( )l im l im 1
z y x
f z z f z x i y
z x i y
则有
()f z z x i y故 不可导.
2009-7-30 8
2．可导与连续关系
()f z z x i y函数 处处连续，但处处不可导，反之可导必连续.从例 2从可以看出：
00( ),w f z z z?函数 在 可导，则在 处必连续，反之不成立结论：
证明：
00 0( ) ( )0,( ) 0,0 ( )f z z f zz f z
z
当 时，都有由导数的定义可知
00
0
( ) ( )( ) l i m
z
f z z f zfz
z
存在
00 0( ) ( )( ) ( )f z z f zz f zz令
0lim ( ) 0z z那么
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f z z f z f z z z z
000l i m ( ) ( )z f z z f z所以
0( ),f z z即函数 在点 处连续
2009-7-30 9
3．求导法则
(1 ) ( ) 0,CC （其中 为常数）
1( 2 ) ( ),nnz n z n （其中 为正整数）
( 3 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )f z g z f z g z
( 4 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )f z g z f z g z f z g z
2
( ) 1( 5 ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ],( ) 0
( ) [ ( ) ]
fz f z g z f z g z g z
g z g z
( 6 ) { [ ( ) ] } ( ) ( ),( )f g z f w g z w g z
1( 7 ) ( ),( ) ( ) ( ) 0,
()f z w f z z w ww 与 是互为反函数且单值函数，
结论：由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数在形式上完全相同，而且极限的运算法则也一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中去．
2009-7-30 10
4．微分的概念
0 0 0( ) ( ) ( ) ( ),w f z z f z f z z z z
复变函数的微分在形式上与一元实函数的微分概念一样，因此类似有：
0()w f z z?设函数 在 处可导，则
0lim ( ) 0z z其中,
() z z z因此 是 的高阶无穷小量
0( ) ( )f z z w f z w而 是 改变量 主要部分，
00( ) ( )f z z f z z?结论：函数 在 处可微 在 处可导.
0 0 0( ) ( ) ( ),0w f z z f z f z z o z z0()f z z称 在 处可微,
0( ),dw f z z记作
0( ) ( )f z z w f z称 是函数 在
0z点 处的微分，
0 0 0( ) ( ) ( ),0w f z z f z f z z o z z
证明,?
2009-7-30 11
二、解析函数在复变函数理论中，重要的不是只在个别点可导的函数，而是在区域 D内内处处可导的函数，即解析函数．
1．解析函数的概念
0 0 0( ) ( ) ;f z z z f z z(1) 如果函数 在 及 的某一邻域内处处可导，那么称 在 处解析
( 2 ) ( ) ( )f z D f z D如果函数 在区域 内每一点都解析，那么称 在 内解析，
()f z D或称 是 内的一个解析函数( 全纯函数或正则函数),
00( 3 ) ( ) ( )f z z z f z若 在 处不解析，那么称 为函数 的奇点.
注意,（ 1）函数在区域内解析与在区域内可导是等价的；
（ 2）函数在一点处解析和可导是两个不等价的概念，即在一点处可导不一定在该点解析；
00zz反之函数在 点解析，必在 处可导.
2009-7-30 12
例 3,22( ) ( ) ( ) | |,f z z g z x iy h z z研究函数,,的解析性解,2()f z z?(1) 前面章节中已经讨论过函数 在整个复平面上处处可导，
所以在整个复平面处处解析,
()g z x i y(2) 已经讨论过函数 在整个复平面上处处不可导，
所以在整个复平面处处不解析,
2( 3 ) ( ) | |,h z z?讨论函数 的解析性
22
0000
00
( ) ( )l i m l i m
zz
z z zh z z h z
zz
0 0 0 0 0 0
00
( ) ( )l im l im
zz
z z z z z z z z z z z z
zz
0 0 0 000l im ( ) l im,zz
zzz z z z z
0z任取,由于
0 0 ( 0 ) 0zf当 时,；
0 0 0 0 00 ( )z z z y y k x x z当 时，让 沿直线 趋向于,
1 1
11
y i
z x i y k ix
yz x i y k ii
x
k随着 的变化而变化，
2 0( ) | | 0h z z z故 在 可导，而其它点却不可导，函数在复平面上处处不解析
2009-7-30 13
例 4,1,w
z?研究函数 的解析性解：
2
11 0 dwwz
z d z z复平面内除点 外处处可导，且,
0z?所以在除 外的复平面内，函数处处解析，
0z?而 是它的奇点.
定理 1：在区域 D内解析函数的和、差、积、商（除去分母为 0的点）在 D内解析定理 2：设函数,()h g z z D? 在 平面上的区域 内解析,()w f h h G? 在 平面上的区域 内解析,
( ),D z g z G如果对 内的每一个点,函数 的对应值都属于 [ ( ) ],w f g z G?那么复合函数 在 内解析定理 3：任何有理分式函数
() 0,0
()
Pz
Qz 在分母不为 的点的区域内是解析函数 使分母为 的点是函数奇点.
2009-7-30 14
2．函数解析的充分必要条件
( ) (,) (,)f z u x y i v x y D函数 定义在区域 内，则定理 1,()f z D z x i y在 内一点 处可导的充分必要条件是：
(1 ) (,) (,) (,)u x y v x y x y与 在点 可微；
( ),.u v u vCR x y y x(2) 在该点满足柯西——黎曼方程 方程：
证明,必要性
0
( ) ( )( ) ( ) l i m
z
f z z f zf z z x i y f z
z
在 处可导,存在
0( ) ( ) ( ) ( ),l i m ( ) 0zf z z f z f z z z z z其中
( ) ( )f z z f z u i v设，
0z x i y对充分小的,有
12( ),( )f z a ib z i
u i v所以 12( ) ( ) ( ) ( )a ib x i y i x i y
1 2 2 1( ) ( )a x b y x y i b x a y x y
2009-7-30 15
0lim ( ) 0z z由于,12
()zi而，
120,0 0,0l i m 0,l i m 0x y x y所以
2212 ( ( ) ( ) )x y o x y因此,2221 ( ( ) ( ) )x y o x y
22( ( ) ( ) ),u a x b y o x y 22( ) ( ) )v b x a y o x y
(,),(,) (,)u x y v x y x y于是 在 处可微.
且沿平行于实轴方向：
0,0limxy
uu a
xx
沿平行于虚轴方向：
0,0limxy
vv a
yy
uv
xy
从而,,
uv
yx
同理
12u a x b y x y从而,21v b x a y x y
2009-7-30 16
充分性
( ) ( ) (,) (,) [ (,) (,) ]f z z f z u x x y y v x y i v x x y y v x y由于
u i v
(,),(,) (,)u x y v x y x y又因为 在点 可微，可知
34
vvv x y x y
xy
12
uuu x y x y
xy
00li m 0,kxy kN，其中
1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u v u vf z z f z i x i y i x i y
x x y y
因此
2,u v u v vC R i
x y y x x
根据 方程：
1 3 2 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
uvf z z f z i x i y i x i y
xx
所以
1 3 2 4
( ) ( ) ( ) ( )f z z f z u v x yi i i
z x x z z
0
( ) ( )( ) l i m,
z
f z z f z u vf z i
z x x
2009-7-30 17
定理 2：函数 ( ) (,) (,)f z u x y i v x y D 在定义域 内解析的充分必要条件是
(,),(,),u x y v x y D C R?函数 在 内可微分且满足 方程判别函数在区域解析的常用方法
(1 ) (,),(,)u x y v x y D在 内偏导数连续；
( 2),.u v u vCR x y y x满足 方程：
( ) (,) (,)f z u x y i v x y判断函数 在内是否解析，只需判断两点：
( ) (,) (,) ( ),f z u x y i v x y D C R f z D若函数 在 内不满足 方程，则 在 内不解析
例 1,判定下列函数在何处可导，在何处解析？
(1),wz? ( 2 ) ( ) ( c o s sin ),xf x e y i y(3 ) R e ( ).w z z?
解,(1 ),w z x iy,,u x v y因为 偏导数连续
1,0,0,1,u u v vx y x y
uv
xy
可知,,CR?即不满足 方程
wz?所以函数 在复平面内处处不可导，从而处处不解析.
2009-7-30 18
( 2 ) ( ) ( c o s sin ),xf x e y i y c o s,sinxxu e y v e y因此 偏导数连续，
c o s,si n,si n,c o sx x x xu u v ve y e y e y e yx y x y且，
CR?以上四个偏导数连续，且满足 方程,()fz所以 在复平面内处处可导，
( ) ( c o s s in ) ( ),xf z e y i y f z于是处处解析，且这个函数特点：其导数是本身，今后看到这个函数就是复变函数中的 指数函数,
2( 3 ) Re ( ) ( ),w z z x iy x x ix y
2,,2,0,,u u v vu x v x y x y x
x y x y
且，
0x y C R这四个偏导数连续，但只有当 时，才满足 方程,
0z?因此函数仅在 处可导，但在复平面内处处不解析.
2009-7-30 19
例 2,( ) ( ),,f z x a y i b x c y a b c若函数 在复平面上解析，试确定实常数 的值.
解：,,u x a y v b x c y 1,,,u u v va b c
x y x y
且，
()fz因为 在复平面上解析，,u v u vCR
x y y x
故需满足 方程：
1,.c b a所以有
例 3,( ) ( )f z D f z D如果 在区域 内解析，而且满足下列条件之一，则 在 内为一常数.
(1) ( ) 0,fz 2 R e ( )fz（ ） 为常数,(3 ) | ( ) |fz 为常数.
证明,(1 ) ( ) 0,u v v uf z i i
x x y y
0u u v vx y x y,
( ) 0,fz由
uv所以,为常数，
( ),f z D于是函数 在 内为一常数
2009-7-30 20
( 2 ) 0uuu xy因为 为常数，故,0vvCR xy由 方程可知：,
( ),fz所以 为常数
2 2 2( 3 ) | ( ) |f z u v 常数，,xy分别对 求偏导数，得：
0,0,u v u vu v u vx x y y
CR?由 方程知,0,0,u u u uu v u v
x y y x
0
,
0
uu
uv
xyuu
uuxy
vu
xy
解关于 的齐次线性方程组：,
22 0 0 ( ) 0 ;u v u v f z当,即,显然
22 00uuu v u
xy
当 时，,故 常数，
( ),v f z D同理,常数,在 内为常数
2009-7-30 21
例 4,(,) (,),w u x y i v x y z如果 为一解析函数，则它一定能单独用 来表示证明,11
( ),( ),22x z z y z zi1,22x y izz则，
,(,) (,),,x y w u x y i v x y w z z将 代入 中，那么 可看成是变量 的函数
0.wwz z要证明 仅依赖于,只要证明 即可由复合函数偏导数求法知：
()w u x u y v x v yix y x yz z z z z
11 ()
2 2 2 2
u i u v i vi
x y x y
1 ( ) ( )
22
u v i v u
x y x y
w C R?由于 是解析函数，由 方程得：,u v u v
x y y x
0.wz得：
2009-7-30 22
例 5,( ) ( ) 0f z u i v f z如果 为一解析函数，且,
12(,) (,),u x y C v x y C那么曲线 和 必互相正交证明,1( ) 0,u v u vfz
i y y y y
由于 故,必不全为零下面分两种情况讨论：
( 1 ) uvyy如果在曲线的交点处,和 都不为零，
因为由隐函数求导法知：
11(,),
u
xu x y C k
u
y
曲线族 中任一条曲线的斜率为
22(,),
v
xv x y C k
v
y
同理：曲线族 中任一条曲线的斜率为
()f z C R?由于函数 解析，由 方程得：
12 ( ) ( ) ( ) ( ) 1
vuuv
yyxxkk
u v u v
y y y x
12(,) (,),u x y C v x y C因此曲线 和 互相正交
2009-7-30 23
( 2 ) uvyy如果 和 中有一个为零，则另一个必不为零，
此时知曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的，它们依然互相正交．
120,ta n,0,02
uvkk
yy
若，
2 2 2 2w z x y ix y由此例可知：,
00dwz dz当 时，,
12(,) (,),u x y C v x y C所以曲线 和 必互相正交
2009-7-30 24
第二节 解析函数与调和函数关系
平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是一种特殊的二元实函数，即所谓的调和函数，它们都与某种解析函数有着密切的关系．下面给出调和函数的定义．
一、调和函数的概念定义 1,(调和函数 ) (,)xy?如果二元函变函数 满足：
D(1) 在区域 内具有二阶连续偏导数，
22
22)0L ap l ace xy
(2) 满足二维拉普拉斯( 方程：
(,)x y D?则称 为区域 内的调和函数.
2009-7-30 25
定理 1：设函数
( ) (,) (,)f z u x y v x y D则 的实部 和虚部 都是区域 内的调和函数.
( ) (,) (,)f z u x y i v x y D 在区域 内解析，
证明,()w f z u i v D因为 为 内的一个解析函数，
,u v u vD C R x y y x则在区域 内满足 方程：
2 2 2 2
22,,
u v u vxy
x y x y x y
上式分别对 求偏导，得：
解析函数有任意阶导数，并且解析函数的导数仍是解析函数,
uv则 与 具有任意阶连续的偏导数,22vv
y x x y
2 2 2 2
22 0
u u v v
x y y x x y
从而，
(,),u x y D即 是区域 内的调和函数
22
22 0.
vv
xy
同理可证，
,.uv因此二元实变函数 都是调和函数
2009-7-30 26
二、共轭调和函数定义 2,(共轭调和函数 ) (,) (,)x y x y D设函数 及 均为区域 内的调和函数，
,,CR x y x y且满足 方程：
(,) (,),x y x y则称 是 的共轭调和函数定理 2：复变函数 ( ) (,) (,)f z u x y i v x y D 在区域 内解析的充分必要条件是
( ) (,) (,),D f z v x y u x y在区域 内,的虚部 是实部 的共轭调和函数根据这个定理，可以利用一个调和函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数．
三、解析函数与调和函数的关系
(,)u x y C R?如果已知一个调和函数,则可利用 方程
(,)v x y求得它的共轭调和函数,从而构成一个解析函数
( ) (,) (,),f z u x y iv x y
2009-7-30 27
例 1,32(,) 3 (,)u x y y x y v x y证明 为调和函数，并求它的共轭调和函数
( ),f z u i v和由它们构成的解析函数解,32( 1 ) (,) 3,u x y y x y先证明 为调和函数
22 226,6,3 3,6,u u u vx y y y x y
x x y y
因为
22
22 0
uv
xx
均连续，且,
32(,) 3u x y y x y所以 为调和函数.
( 2 ) (,),v x y用偏积分法求函数
226 3 3u v u vC R x y y x
x y y x
由 方程，有,,得：
2(,) 6 3 ( )v x y x y d y x y g x
2 2 23 ( ) 3 3,v y g x y xx又
23( ) 3g x x d x x C
23(,) 3,v x y x y x C因此
3 2 3 2 3( ) 3 ( 3 ) ( ) ( ),w f z y x y i x x y C w f z i z C从而
2009-7-30 28
( 2 ) CR用不定积分法求复变函数（ 方程）
( ) ( )f z u i v f z由于解析函数 的导数 仍为解析函数，
( ),u v u u v vf z i i ix x x y y x且
uuiz
xy
把 还原成 的函数，得：
( ) ( )uuf z i U zxy 凑 ( ) ( )vvf z i V zyx 凑与
( ) ( )f z U z d z上式积分得：,( ) ( ),f z V z d z及
( ) ( ) ( )f z f z U z d z已知实部，求 可用：,
( ) ( ) ( )f z f z V z d z已知虚部，求 可用：,
323u y x y上例中，,226,3 3,
xyu x y u y x故
22( ) 6 ( 3 3 )f z x y i y x2 2 2 23 ( 2 ) 3 ( ) 3,i x x y i y i x iy iz
23 1( ) 3,f z iz d z iz C故
2009-7-30 29
( 2 ) 用线积分法求函数(二维拉普拉斯方程）
(,) ( )u x y D f z设函数 为区域 内的解析函数 的实部，
22
22 0
uu
xy
由于它是调和函数，故有：,
22
22
uu
yx
即：,
,u u P QPQ y x y x令,则,
(,)uuP d x Q d y d x d y v x yyx由此可知,必为某一函数 的全微分，即：
u u v vd v d x d y d x d y
y x x y
全 微 分定 义
v u v u
x y y x
由上式有：,,
,u v C R u i v即 满足 方程，从而 为一解析函数，
00
(,)
(,)
xy
xy
uuv d x d y C
yx
而积分：,00
(,),C x y D其中 为常数,为 中的某一点
(,) 2 2 3 2
( 0,0 ) ( 3 3 ) ( 6 ) 3,
xyv x y d x x y d y C x x y C上例，
2009-7-30 30
例 2,(,) ( c o s s in ),xv x y e y y x y x y已知一调和函数
( ) (0 ) 0,f z u i v f求一解析函数,使解,用不定积分法
( c o s s in )xv e y y x y x y因为,
( c o s s i n s i n ) 1,( c o s s i n c o s ) 1xxxyv e y y x y y v e y y y x y
() u v v vf z i ix x y x
( c o s s in c o s ) 1 [ ( c o s s in s in ) 1 ]xxe y y y x y i e y y x y y
( c o s s in ) ( ) s in ( ) c o s 1x x xe y i y i x iy e y x iy e y i
( ) 1x iy x iye x iy e i
1zze ze i
( ) ( 1 ) ( 1 )z z zf z e z e i d z z e i z C积分，得：
( ) (1 ) ( 0 ) 0,zf z ze i z f所以,
凑 x+iy形式
2009-7-30 31
例 3,22( ) ( ) 1,f z u iv u x y x y f i i求解析函数,已知,
解,u容易验证函数 是全复平面上的调和函数，
C R v?利用 方程，先求出 的两个偏导数:
2,2v u v uy x x yx y y x
(,)
( 0,0 ) ( 2 ) ( 2 ),
xyv y x d x x y d y C
为什么与积分路径无关？
00( ) ( 2 )
xyx d x x y d y C 22112
22x x y y C
2 2 2 211( ) ( ) ( 2 )
22f z x y x y i x x y y C
221( ) ( )
2x iy i x iy iC
21(1 ),
2 i z iC
1( ) 1
2f i i C又因为,所以,
21( ) (1 ),
22
if z i z于是
2009-7-30 32
作业 习题二
2.1 (1)(2) 2.2 (1)(3)
2.3 (1) 2.4 (1) (2)
2.7 2.8
2.9 (1)（ 2） (3) 2.10
P52
2009-7-30 33
第三节 初等函数本节将把实变函数中的一些初等函数推广到复变函数中，研究它们的性质，并讨论它们的解析性．
一、指数函数
1.定义,()fz在复平面内定义一个函数,满足下列三个条件：
(1 ) ( )fz 在复平面内处处解析；
( 2 ) ( ) ( );f z f z
( 3 ) I m ( ) 0 ( ) R e ( ),xz f z e x z当 时，,其中
z则称它们为复变量的指数函数，
e x p ( c o s s in ),xw z e y i y记做：
e xp,zze z e 代 这里 没有幂的定义，只是一种符号.
( c o s s in ),zxe e y i y即：
2009-7-30 34
2．性质：
(1) exp 0,z? e x p ( e x p ) 2,0,1,2,xz e A r g z y k k模：,辐角：
1 2 1 2( 2 ) e x p e x p e x p ( )z z z z加法定理：
22( 3 ) ( c o s 2 s in 2 ) 2z k i z k i z ze e e e k i k e T k i周期性：,即 ；
( 4 ) ( ) ' ;z z ze e e?指数函数 是整个复平面上的解析函数，且
( 5 ) zez复变量指数函数,当 时没有极限；
0
l i m l i mzxzx
zx
z e e
当 沿着实轴正向趋向于 时，有,
0
l i m l i m 0zxzx
zx
z e e
当 沿着实轴负向趋向于 时，有,
1 1 1 2 2 2,z x iy z x iy设,则
121 2 1 1 2 2e xp e xp ( c os sin ) ( c os sin )xxz z e y i y e y i y
12 1 2 1 2 1 2 1 2[ ( c os c os sin sin ) ( sin c os c os sin ) ]xxe y y y y i y y y y
12 1 2 1 2 1 2[ ( c os( ) ( si n( ) ] e xp( ),xxe y y i y y z z
(5)
(2)
2009-7-30 35
例 1,3 4 ie计算 的值.
解,据指数的定义，有
3 34 ( c o s sin )
44
ie e i 3 22( si n ),ei
例 2,132,
12
i
i
利用复数的指数表示计算
1
111 3( a r c t a n )
1 323 ( a r c t a n a r c t a n 2 )
2
a r c t a n 2
25
12 5
i
i
i
ie e
i e
解,因为
1 ( 2 )
32,0,1,2ikek
5
66 23 1 3 1,2 2 2 2ii ie i e i e i
于是所求之值有3个：,,
2009-7-30 36
二、对数函数与实变量函数一样，对数函数的定义为指数函数的反函数．
1.定义,( 0 ) ( ),
we z z w f z w Ln z称满足方程 的函数 为对数函数，记做
w L n z?现在来认识它：,
,iw u iv z re令 wez?代入 中，得,u iv ie re
,2ue r v k比较得：,ln 2u r v k即：,,
l n ( 2 ) l n 0,1,2,w L n z z i k z i A r g z k因此，,
( 1 ) 2 i?它是一多值函数，每两值相差 的整数倍；
(2 ) l n a r gz i z?其中 为一单值函数，
l n l n a r gz z i z w L n z记：,称为 的主值,
l n 2 0,1,2,L n z z k i k其它各值表示为：,
( 3 ) 0 l n l n,z x L n z z x当 时,的主值 是实数中对数函数
2009-7-30 37
例 3,2 ( 1 ),( 2 3 )L n L n L n i求,及其相应的主值.
解,2 ln 2 2,L n k i ln 2主值是,
( 1 ) l n 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 2 1 ),L n i A r g i k k iln ( 1) i主值是 ；
( 2 3 ) l n 2 3 ( 2 3 )L n i i iA r g i
13l n 1 3 ( a r c t a n ( 2 1 ) ),0,1,2,
22 i k k
13l n ( 2 3 ) l n 1 3 ( a r c t a n ),
22ii主值是
13l n 1 3 ( a r c t a n 2 )
22ik
2009-7-30 38
2．性质：
11 2 1 2 1 2
2
( 1 ) ( ) zL n z z L n z L n z L n L n z L n zz运算性质：,,
1,n nL n z L n z n L n z L n z L n zn是多值函数，
l n l n a r g,z z i z(2) 解析性，研究主值,ln z模,除原点外在其它点都连续；
a r g z辐角,在原点与负实轴上不连续.
0000 R e R e R e R eI m 0 0 I m 0 0
0 l i m a r g l i m a r gz z z z
zz
z x x z z
因为对负实轴上任意一点 =,则当 时，
l n,z所以，除原点与负实轴外，在复平面内其它点对数函数 处处连续
a r g l nwz e v z w z综合上述，指数函数 在区域 内反函数对数函数 是单值的，
l n 1 1 1
w w
dz
ded z e z
dw
由反函数求导法则可知：
L n z因此,的各个分支在除原点及负实轴的复平面内也解析，
并且有相同的导数值.
2009-7-30 39
三．乘幂与幂函数
1,ab乘幂
ln0,,a a bb a b e在实数中，若 为实数，则 现将其推广到复数中.
定义 1,ba设 为不等于零的一个复数,为任一复数,a a L n bbe定义 为,
.a a L n bbe?即：
l n ( a r g 2 )L n b b i b k由于 是多值的，ab因而 也是多值的，
有多少值呢？
(1 ) a当 为正整数时,[ l n ( a r g 2 ) ]a b i b ka a L n bb e e
( l n a r g ) 2 ln,a b i b k ai abee ab所以 是单值的.
( 2 ) ( 0 )pa p q qq当 和 为互质的整数,时，
2009-7-30 40
l n ( a r g 2 )p p pb i b kq q qbe
ln [ c o s ( a r g 2 ) s i n ( a r g 2 ) ],0,1,2,( 1 )p bq ppe b k i b k k q
0,1,2,( 1 )ab q k q所以 具有 个值，即当 时相应的各值.
( 3 ) aab当 是无理数或复数时,具有无穷多个值.
例 2,211 (1 )ii求,和 的值.
解,2 2 1 2 21 c o s (2 2 ) s i n (2 2 ),0,1,2,L n k ie e k i k k
( 2 ) ( 2 )22,0,1,2,i i k i ki iLn ii e e e k
( 1 ) [ l n 2 ( 2 ) ]1 ( 1 ) ( 1 ) 4( 1 ) i i ki i Ln ii e e
( ln 2 2 ) ( 2 ln 2 )44k i ke
242 [ c o s( 2 l n 2 ) sin ( 2 l n 2 ) ],0,1,2,.
44
ke k i k k
2009-7-30 41
2．幂函数定义 2：,( 0 )a a a L n zw z z e a z函数 规定为,为复数,
.z称为复变量 的幂函数,a L n zLn z e由于 是多值函数，所以一般 也是多值函数
[ l n | | ( a r g 2 ) ] a r g( 1 ) | |n n L n z n z i z k n i za w z e e z e当 为正整数时，
1() nnz n z在复平面内是单值解析函数，且导数 ；
1( 2 ) ( )an
n?当 为正整数时，
1 1 1 1 a r g 2[ l n | | ( a r g 2 ) ] | |,0,1,2,,( 1 )zkLn z z i z k in n n n nw z e e z e k n
它的各分支除去原点和负实轴外在复平面上是解析的，
11 11
.nnzz n?
且其导数为：
( 3 ) ( 0 )pa a p q qq当 为有理数 和 为互质的整数 时，
l n ( a r g 2 ),0,1,2,( 1 )p p pz i z kq q qw z e k q 是一个多值函数.
( 4 ) aa w z?当 为无理数或复数时,有多穷多值，
1( ),aaz a z各分支除去原点和负实轴外在复平面是解析的，且
2009-7-30 42
四、三角函数和双曲函数
1．三角函数
c o s s in,c o s s iniy iye y i y e y i y据欧拉公式：
两式相加与相减，分别得：
c o s,sin22iy iy iy iye e e eyy i
（ 1）三角函数定义
2
iz izee z称 为复变量 的余弦函数，
2
iz izee z
i
称 为复变量 的正弦函数，
c o s,s i nzz分别记做：,即：
c o s,si n22
iz iz iz ize e e e
zz i
2009-7-30 43
（ 2）性质
(1 ) c o s,s i nzz单值性,均为单值函数；
( 2 ) c o s s i n 2,( )z z i?周期性：,是以 为周期的函数 含有
( 3 ) c o s s i nzz奇偶性,为偶函数,奇函数；
( 4 ) ( c o s ) s i n ( s i n ) c o s,z z z z解析性：在整个复平面内处处解析，且,
( c o s ) 2
iz izee
z
证明,sin22iz iz iz izie ie e e zi
（ 3）三角公式
1 2 1 2 1 2( 1 ) c o s( ) c o s c o s sin sin ;z z z z z z
1 2 1 2 2 1( 2 ) sin ( ) sin c o s sin c o s ;z z z z z z
22( 3 ) s in c o s 1zz ；
( 5 ),c o s 2
yy
yeez iy iy
无界性：取
11si n ( ),
22 yy y y yi y e e e ei
s i n c o s 1 1( 4 ) t a n,c o t,s e c,c s c,
c o s s i n c o s s i n
zzz z z z
z z z z
2009-7-30 44
2．双曲函数
c osh 2zzeez双曲余弦,c o sh ;2xxeex
sin h 2zzeez双曲正弦,si nh ;2xxeex
si n hta n h ;
c o sh
zz
zz
z e ez
z e e
双曲正切：
c o shc o th,
si n h
zz
zz
z e ez
z e e
双曲余切：
性质：
( 1 ) c o s h s i n h 2 ;z z i?和 是以 为周期的函数
( 2 ) c o s h s i n hzz是偶函数,是奇函数；
( 3 ) c o s h,s i n hzz 在复平面上处处解析，
( c o s h ) s i n h,( s i n h ) c o s h,z z z z且
2009-7-30 45
公式：
c o s ( ) c o s c o s s i n s i nx i y x i y x i y
s i n ( ) s i n c o s s i n c o sx i y x i y i y x
c o s h c o s,s i n h s i niy y iy i y
c o s h ( ) c o s h c o s s i n h s i nx i y x y i x y
s i n h ( ) s i n h c o s c o s h s i nx i y x y i x y
c o s c o s h,s i n s i n hiy y iy i y
c o s c o s h s i n s i n hx y i x y
s i n c o s h s i n h c o sx y i y x
2009-7-30 46
五、反三角函数和反双曲函数
1．反三角函数
1c o s ( )
2 i w i wz w e e w z设,称 为 的反余弦函数，
c o s,w A r c z?记做：
1c o s ( )
2 i w i wz w e e由于,则得二次方程：
2 2 1 0iw iwe z e
2 1iwe z z根为：,
2c o s ( 1 )w A r c z i L n z z两边取对数，得：
2s i n ( 1 )w A r c z i L n i z z同理可得：
1t a n
21
i izw A r c z L n
iz
2009-7-30 47
2．反双曲函数
2( 1 ) ;w A r s h z L n z z(1) 反双曲正弦函数：
2( 1 ) ;w A r c h z L n z z(2) 反双曲余弦函数：
11 ( ),
21
zw A r t h z L n
z
(3) 反双曲正切函数：
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例 3,求下列方程的解 (1) 1,ze? ( 2 ) s in c o s 0,zz
解,21 0,1,2,z k ie e k（1 ）因为,
2,0,1,2,z k i k所以方程的解为：
( 2 ) s i n c o s 0zz由 得：
11( ) ( ) 0,
22iz iz iz ize e e ei ( ) 0iz iz iz ize e i e e即：,
221 ( 1 ) 0,iz ize i e 2(1 ) 1izi e i即有：,
222 1 ( 1 ) ( 1 ),
1 ( 1 ) ( 1 ) 2
iz i i iei
i i i
( 2 )2 2,0,1,2,kiize i e k所以,
2 ( 2 )2iz k i从而,
,0,1,2,.4z k k于是方程的解为：
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思考题
1 2 1 2(1 ),,,;k k k k k k Z（多值函数相等定义）
1 2 1 2( 5 ) ( ) ;L n z z L n z L n z
(（1）式成立)
1 2 1 2( 6 ) ( ) ;ln z z ln z ln z
1 2 1 2( 3 ) ( ) ;A rg z z A rg z A rg z
1 2 1 2( 4 ) ( ) ;a rg z z a rg z a rg z( 考虑取值范围或特殊值)
(（2）式成立)
( （3）式不成立)
( 7 ) ;nL n z L n z L n z L n z n L n z
1(8 ),nL n z L n z
n?
1 2 1 2( 2 ) 2,,,;k k k k k k Z（多值函数相等定义）
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作业 习题二
2.13 (1)(2)(3)
P53
2.14 (1)(2)(3)(4)
2.15 (3)(6) 2.16 (1)
2.18 (1)(2) 2.19
