复变函数与积分变换主讲：周晖杰宁波大学科技学院数学组 二零零七年六月大学数学多媒体课件
2009-7-30 2
参考用书
,复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6
,复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社
,复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5
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目 录
第二章 解析函数
第三章 复变函数的积分
第四章 解析函数的级数表示
第五章 留数及其应用
第六章 傅立叶变换
第七章 拉普拉斯变换
第一章 复数与复变函数
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第三章 复变函数的积分
内容提要,在微积分中，当引入实变量函数的积分后，
可以解决很多的重要的问题，在复变函数中也一样，当引入复变函数的积分后，也可以解决很多理论及实际问题．如有了积分可以证明一个区域上有导数的函数就有无穷多阶导数，可以将一般的解析函数分解成一些最简单的函数的迭加，这就给研究解析函数的性质提供了强有力的工具，今后还可以看出用复变函数的积分给计算某些定积分带来很大的方便．
本章内容与实变量二元函数有紧密关系，特别是二元函数的第二类曲线积分的概念、性质和计算方法，全微分及积分与的问题，格林公式等．
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第三章 复变函数的积分
3.1 复积分的概念
3.2 柯西积分定理
3.3 柯西积分公式
3.4 解析函数的高阶导数
本章小结
思考题
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第一节 解析函数的概念
一、积分的定义有向曲线,设 C为平面给定的一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选定 C的两个可能方向的一个作为正方向（或正向），则我们就把 C称为有向曲线．与曲线 C反方向的曲线记为定义 1：
简单闭曲线正向,当曲线上的点 P顺此方向前进时，邻近 P点的曲线内部始终位于 P点的左方，这时曲线方向称为正方向．
()w f z D?设函数 定义在 内,C为区域 D内起点为 A终点为 B的一条有向光滑的简单曲线．
( 1 ) Cn把曲线 任意分成 个小弧段，设分点为：
0 1 2 1,,,,,,k k nA z z z z z z B
( 0,1,2,,)k k kz x iy k n其中,
分
1C?
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1( 2 ) ( 1,2,)k k k k kz z k n i粗：在每个弧段 上,任取一点,
1( ) ( ) ( ),k k k k kf z f z z则 1,k k k k kz z z x i y其中
1
11
( ) ( ) ( ),nnk k k k k
kk
f z z f z
(3) 和：
0n(4) 精：设 表示 个小弧段的最大长度，当 时，
kC?无论 怎样分,怎样取，
()f z C A B则称此极限值为函数 沿曲线 自 到 的复积分.
0 1( ) l i m ( ),
n
kkC
k
f z dz f z
记作：
( ),类似于微积分中的曲线积分如果和式的极限唯一存在，
C
0zA?
1z
1kz?
kz
1nz? nzB?
k?
O x
y
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( ),CC f z d z?(1) 若 为闭曲线，则沿闭曲线积分为
( 2 ) ( )C f z d z C A B?积分 表示沿曲线 自 到 的复积分，
()C f z d z C B A积分 表示沿曲线 自 到 的复积分.
二、积分存在条件及其计算方法
( ) ;C 的正方向是逆时针方向定理 1,( ) (,) (,)f z u x y i v x y C设函数 在光滑曲线 上连续，
()C f z d z?则复积分 存在，且有积分公式：
( ) (,) (,) (,) (,)C C Cf z d z u x y d x v x y d y i v x y d x u x y d y
1
( ) ( ) ( ),
nC C C
f z d z f z d z f z d z
1 2 3,,,nC C C C C(3) 若曲线 是由 等光滑曲线段依次相互连接而成，则有
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证明：
11
( ) [ (,) (,) ] ( )nnk k k k k k k k
kk
f z u i v x i y
11
[ (,) (,) ] [ (,) (,) ]nnk k k k k k k k k k k k
kk
u x v y i v x u y
()f z C由于函数 在光滑曲线 上连续，
(,),(,),u x y v x y C? 在光滑曲线 上也连续
0当 时，
( ) (,) (,) (,) (,),C C Cf z d z u x y d x v x y d y i v x y d x u x y d y
上式右端极限存在，且有注意,( 1 ) ( ) (,) (,)f z u x y i v x y C当函数 在光滑曲线 上连续，
( 2 ) ( )C f z d z? 可以通过两个二元实变函数的曲线积分来计算.
()C f z d z?则复积分 存在；
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法一计算 ()C f z dz?
( ) { [ ( ),( ) ] [ ( ),( ) ] } { ( ) ( ) }C f z d z u x t y t i v x t y t x t i y t d t
( ) [ ( ) ] ( ),C f z d z f z t z t d t
(),
()
x x tCt
y y t
光滑曲线 参数方程：
( ) ( ) ( ),C z z t x t i y t t复数形式的曲线 参数方程：
( ) (,) (,) (,) (,)C C Cf z d z u x y d x v x y d y i v x y d x u x y d y
这种计算复积分方法在已知曲线 C方程的条件下适合
( ),,( ) ( ) ( ),CCf z u i v d z d x i d y f z d z u i v d x i d y令则
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例 1．
解：
3 2
0
i z d z沿下列路线计算积分,其中
(1 ) 3 i?自原点至 的直线段；
( 2 ) 3 3,i?自原点沿实轴至,再由铅直向上直线至
3 i?(1) 连接原点至 的直线的参数方程为,(3 ),0 1z i t t
3122
00 [ ( 3 ) ] ( 3 )
i z d z i t i d t
1 32
0 (3 )i t dt
3 3 1 3
0
11( 3 ) | ( 3 ),
33i t i
( 2 ),,0 3,3,0 1O A z x x A B z i y y曲线方程为：,
3 2 2 2
0
i
O A A Bz d z z d z z d z
3122
00 ( 3 ) ( 3 )x d x iy d iy
3 3 3 10011[ ] [ ( 3 ) ]33x iy 3 3 3 31 1 1 13 ( 3 ) 3 ( 3 )3 3 3 3ii
注意：沿不同的路径积分的结果是相同的，即 积分与路径无关，
3
3i?
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例 2．
01
0
.() nC dz C z r nzz计算,其中 为以 为中心,为半径的正向圆周,为整数解,2 2 200( ) ( )x x y y r圆周 的参数方程为：0
0
c o s,0 2
s i n
x x r
y y r
00( c o s ) ( s in ),0 2z x r i y r复数形式的参数方程为：
0 0 0( ) ( c os si n ),0 2iz x i y r i z re
1
0()
nC
dz
zz
2 2 2
1 ( 1 )0 0 0
i in
n i n n in n
ir e d i id e d
r e r e r
0n?当 时,2
1 0
0
2;() nC dz i d izz
0n?当 时,2
1 0
0
( c o s sin ) 0,() nnC d z i i n dz z r
1
0
2,0
0,0() nC
indz
nzz
综上所述：
这个积分结果以后常用，它的 特点是与积分路线圆周的中心和半径无关．
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例 3．
C z d z C?计算 的值，其中 为
01( 1 ) 1 ( 1 ),0 1z i C z i t t沿从原点到点 的直线段,
12( 2 ) 1,0 1z C z t t沿从原点到点 的直线段,
1 0 3 1,0 1z z C z it t与从 到 的直线段,所接成的直线.
0 1zi
1 1z?
解,11
00(1 ) ( ) (1 ) 2 1 ;C z d z t it i d t td t
23
( 2 ) C C Cz d z z d z z d z
11
00 (1 )td t it id t
11( ) 1
22 ii
由此题可以看出，尽管起点、终点都一样，但由于沿不同的曲线积分，所以积分值也是不同的．
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三、复积分的性质因为复积分的实部和虚部都是曲线积分，因此，曲线积分的一些基本性质对复积分也成立．
(1 ) ( ) ( ) ;CCf z d z f z d z
( 2 ) ( ) ( ),( ) ;CCk f z d z k f z d z k 为常数
( 3 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ;C C Cf z g z d z f z d z g z d z
12 12
( 4 ) ( ) ( ) ( ) ) ;C C Cf z d z f z d z f z d z C C C,( 其中
( 5 ) ( ) ( ),CCf z d z f z d s
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证明性质（ 5）：
1
| ( ) |n kk
k
fz?
1
| ( ) || |n kk
k
fz?
1
| ( ) || |,n kk
k
fs?
1k k ks z z其中 是小弧段 的长,22||k k k kz x y s
22| | | |d z d x i d y d x d y d s注意：,因此
0 1lim | ( ) |
n
kk
k
fz
0
1
lim | ( ) || |n kk
k
fz
0
1
lim | ( ) || |n kk
k
fs
( ) ( )CCf z d z f z d s
( ) ( )C L f z C f z M?特别地，若曲线 的长度为,函数 在 上有界，即：
( ) ( )CCf z d z f z d s M L
（估计不等式）
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例 4,3 4,Ci?设曲线 为从原点到点 的直线段解,( 3 4 ),0 1C z i t t的参数方程为：
11
CC dz dsz i z i由估计不等式：
22
1 1 1 1
( 3 4 ) 3 ( 4 1 ) 9 ( 4 1 )z i i t i t t i tt
C因为在 上，所以
2
15
3492 5 ( )
2 5 2 5t
1 5 5 255.
3 3 3CCdz dszi从而有：
1,
C dzzi试求积分 绝对值的一个上界
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例 5,3
2||0l i m 0.1zrr
z dz
z试证：
证明,0,1rr这里讨论 故不妨设,
3 3 4
2 2 2||
2| | 2
1 1 1zr
z r rdz r
z r r
0r?上式右端当 时的极限为0,故左端极限也为0,
3
2||0lim 0,1zrr
z dz
z即：
有估计不等式得：
||zr?因为在 上,3333
2222,111 1
zzzr
z z
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第二节 柯西积分定理从上一节所举的例子来看,
2()f z z?例1 中的被积函数 在复平面内是处处解析的，它沿连接起点及终点的任何路线积分值都相同，换句话说，积分是与路径无关的．
( ),,f z z u x v y C R例3中 的被积函数,它的实部 虚部 不满足 方程，
.C z d z?所以在平面上处处不解析，且积分 与路径有关
0
0
10
()n z Czz例2 中的被积函数当 时为,它在以 为中心的圆周 内部
00zz不是处处解析的，因为它在 没有定义，当然在 处不解析，而此时积分：
0
2 0,C dz izz
由此可猜想：积分的值与路径无关或沿闭曲线积分值为零的条件与 被积函数的解析性及区域的单连通性有关,究竟关系如何，下面我们讨论此问题．
00z z C如果把 除去，虽然在除去 的 的内部，函数处处解析，
但是这个区域已经不是单连通区域.
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一、柯西积分定理
()f z D设函数 在单连通区域 内定理 2：（柯西 — 古萨基本积分定理）
()f z D C那么函数 在 内沿任何一条封闭曲线 的积分为零，
( ) 0,C f z d z
D(1) 单连通区域
C(3) 闭曲线
( 2 ) ( )f z D在区域 内处处解析
( ) 0,C f z d z则柯西积分定理表明，函数满足一定的条件，则积分与路径无关．
处处解析，
即：
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证明,( ) ( ) ( ) )f z D f z f z因为函数 在区域 内解析，故 存在,( 下面在 连续的假设下证明
uv因为 与 的一阶偏导数存在且连续，故应用格林公式得：
( ) ( ) ( ) (,) (,) (,) (,)C C C Cf z d z u iv d x id y u x y d x v x y d y i v x y d x u x y d y
( ) ( )
GG
v u u vdx dy i dx dy
x y x y
( ),G C f z C R?其中 为简单闭曲线 所围区域，由于函数 解析,方程成立
( ) 0,C f z dz
(,),(,)L P x y Q x y格林公式：（1 ）曲线 封闭、正向；（2 ） 具有一阶连续偏导数；
( ),L
D
QPPdx Qdy dx dy
xy
则
( ) ( ),f z f z?以后我们会证明只要函数 解析,必连续
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说明,( 1 ) ( )C G f z G C若曲线 是 的边界，如果函数 在 内和 上解析，那么仍有：
( ) 0,C f z d z
D(1) 单连通区域
C(2) 闭曲线
( 3 ) ( )f z G C在 内和 上解析
( ) 0,C f z d z则
( 2) ( )f z G G G C若函数 在 内解析，在闭区域 上连续，仍有：
( ) 0,C f z d z
D(1) 单连通区域
C(2) 闭曲线
( 3 ) ( )f z G G G C在 内解析，在 上连续
( ) 0,C f z d z则
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定理 3：
01()f z D z z D设函数 在单连通区域 内解析,与 为 内任意两点，
1 2 0 1 1 2C C z z C C D与 为连接 与 的积分路线,与 都含于 内，则
12
( ) ( )CCf z d z f z d z
1C
2C
0z
1z
D
12
( ) ( )CCf z d z f z d z
1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0C C C Cf z d z f z d z f z d z
证明：依柯西 -古萨基本定理
12
( ) ( ),CCf z d z f z d z
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例 6．
s i n | 1 | 1 0 2,C z d z C z计算积分,其中 是圆周 的上半周，从 到解,s i n z因为函数 是全平面的解析函数，由柯西- 古萨基本定理:
1,C它的积分与路径无关，于是可以换一条路线沿实轴从0 到2 积分得：
1
s in s inCCz d z z d z
o x
y
C
1C
22
0 sin 1 c o s 2,x d x
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二、复合闭路定理定理 4,（闭路变形定理）
1 2 1 2C C C C设 与 是两条简单闭曲线,在 内部，
1 2 1 2()f z C C D D D C C函数 在 与 所围成的二连通区域 内解析，而在 上连续，
12
( ) ( ),CCf z d z f z d z
1C
12C?
A B
C
D
1,L A B B C C D D A
设
2,L B A A D D C CB
由柯西 古萨基本定理得：
12( ) 0,( ) 0LLf z d z f z d z
12( ) ( )LLf z d z f z d z
证明：
112( ) ( ) 0,CCf z d z f z d z
12( ) ( ),CCf z d z f z d z
一个解析函数沿闭曲线的积分，不会因闭曲线在区域内作连续的变形而改变它值这事实称 闭路变形定理,
则
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推论：（复合闭路定理） CD设 为多连通区域 的一条简单闭曲线，
12,,nC C C C是在 内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以
12,,,( )nC C C C D f z D为边界的区域全包含于,如果函数 在 内解析，则
1
( ) ( ),
k
n
CC kf z dz f z dz
1C
2C
nC
C
D
( ) 0f z dz
kCC其中 及 均取正方向.
( 1,2,,)kC C k n这里 为 及,
C是 按逆时针进行，
所围成的复合闭路,其方向
kC?按顺时针进行.
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0
0
2C dzC z izz在本章第一节的例2 知：当 为 为中心的正向圆周时，,
0
0
2.P dzz P izz根据闭路变形原理，对包含 的任何一条正向简单闭曲线,都有
例 1．
2 1.C
dz Cz
zz计算积分 的值，其中 为包含圆周 在内任何正向简单闭曲线
1C
2C
C
1z?
解：
2
1()fz zz因为函数 在复平面内
0,1C z z所以在 内以 为圆心分别作
2 ( 1 )CC
d z d z
z z z z 11()1C dzzz
0,1zz除 两个奇点外是处处解析的，
两个互不包含也互不相交的正向圆周
12CC与,根据复合闭路定理，得：
12
1 1 1 1( ) ( )
11CC d z d zz z z z 0 2 2 0 0ii
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三、原函数与不定积分定理 5,( ) ( )
Cf z D f z d z?设函数 在单连通区域 内处处解析，则积分 与连接
.C起点及终点的路线 无关
015 zz由定理 知：解析函数在单连通区域内积分只与曲线的起点 及终点 有关，
1
0
( ) ( ),zCzf z d z f z d z即,表示与积分路径无关.
1．积分上限函数
01z z z?若固定,让上限 变动，则积分
0
()zz f z dz?
z称为积分上限 的函数，记作：
00
( ) ( ) ( ),zzF z f z d z f d
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定理 6,( ) ( )f z D F z D设函数 在单连通区域 内解析，则函数 必为 内的一个解析函数，
0
( ) ( ) ( )zzF z f d f z
证明：
,z z k D以 为中心作一含于 的小圆
z z z k取 充分小，使 在 内，于是
00
( ) ( ) ( ) ( )z z zzzF z z F z f d f d
0 0
()zzz f d z z由于积分与路径无关，因此 的积分路线可取先从到，
z z z然后再从 沿直线段到,
00
()zzz z f d而从 到的积分路线取得与积分 的积分路线相同，于是有
( ) ( )z D f z D f z D设 为 内任意一点，因为函数 在 内解析，所以 在 内连续，
00 zD因此对,总可以找到一个,使得对于满足
( ) ( ),f f z的一切,都有且
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根据积分估值性质：
( ) ( ) 1( ) | [ ( ) ( ) ] |zz
z
F z z F z f z f f z d
zz
11( ) ( )zz
z f f z ds zzz
0
( ) ( )l im ( ) 0
z
F z z F z fz
z
也就是说，
( ) ( ).F z f z即：
0z
z
zz
k小圆
半径为 的圆周
( ) ( ) 1( ) [ ( ) ( ) ]zz
z
F z z F z f z f d z f z
zz
从而
1 [ ( ) ( ) ]z z z z
zzf d f z dz
1 [ ( ) ( ) ]zz
z f f z dz
D
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2．原函数的概念
( ) ( ) ( ) ( )F z D f z F z f z定义：如果函数 在区域 内的导数等于,即,
( ) ( ),F z f z D则称函数 为 在区域 内的原函数
0
( ) ( ) ( )zzF z f d f z(1) 积分上限函数 是 的一个原函数；
()fz(2) 函数 的任意两个原函数之差为一常数；
( ) ( )f z D F z(3) 如果函数 在区域 内有一个原,那么它
( ),F z C C?就有无穷多个原函数 ( 为任意常数),
结论：
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定理 7,( ) ( ) ( )f z D G z f z设函数 在单连通区域 内解析，函数 为 的一个原函数，则
1
0 10
( ) ( ) ( )zz f z d z G z G z 01,.z z D,其中 为区域 内的两点证明：
0
( ) ( ) ( )zzF z f z d z f z因为 是函数 的一个原函数，
0
( ) ( )zz f z d z G z C所以,
0
000
( ) ( ) 0zzz z f z d z G z C当 时，,0( ),C G z
0 0
( ) ( ) ( )zz f z d z G z G z于是,
1
0 10
( ) ( ) ( ),zz f z d z G z G z
类似于微积分学中的基本定理和 牛顿 —— 莱布尼兹公式有了定理 7，复变函数的积分就可用跟实变量函数微积分学中类似的方法计算,分部积分法,换元积分法 均可用在复变函数积分中．
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例 2．
1
l n ( 1 )I m ( ) 0,R e ( ) 0 1
1
i zz z z d z
z
试沿区域 内的圆弧,计算积分 的值.
解,l n ( 1 )
() 1zfz z因为函数 在所设区域内解析，
2 1
11
l n ( 1 ) 1l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n ( 1 ) |
12
ii iz d z z d z z
z
221 [ ln (1 ) ln 2 ]
2 i
2211[ ( ln 2 ) ln 2 ]2 2 4 i
23 ln 2 ln 2,3 2 8 8i
例 3．
1
1
i zz e d z求积分 的值.
解,()
zf z z e?函数 在全复平面内解析，
11 1
1|
iiz z i zz e d z z e e d z 11
1(1 ) |i z ii e e e
1 1 1(1 ) i i ii e e ie ( c o s 1 sin 1 )ie e i i
( s in 1 c o s 1 ),ei
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第三节 柯西积分公式
一、柯西积分公式
0 ( ) ( ) 0,CD z D f z D f z d z设 为一单连通区域,为 中一点，如果 在 内解析，则
00
0
()fz z D z C
zz?但函数 在 处不解析，所以在 内沿围绕 的一条封闭曲线 的积分
0
()
C
fz dz
zz 一般不为零，那它又为多少呢？
0z根据闭路变形定理，这个积分沿着任何一条围绕 的简单闭曲线都是相同的，
00z z z我们取以 为中心，半径为 的很小的圆周 （取其正向）作为积分
( ) ( )C f z C f z?曲线,由于函数 的连续性，在 上函数 的值将随 的缩小
0
0
()
C
fzz dz
zz而逐渐接近于它的圆心 的值，从而可以猜想：积分
的值也将随 的缩小而逐渐接近于
0000
( ) 1( ) 2 ( )
CC
fz dz f z dz if zz z z z
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0z
C
0
0
()fz z
zz? 在 处不解析
100
( ) ( )
CC
f z f zdz dzz z z z由闭路变形定理：
1C
2C
3C
nC
2 00
( ) ( )
nCC
f z f zd z d z
z z z z
()fz由于函数 的连续性,0( ) ( ),f z f z?
0 0
00
()() 2 ( ),
CC
fzfz dz dz if zz z z z
猜想：
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定理 8,(柯西积分公式） ()f z C设函数 在简单闭曲线 所围成的区域
0D D D C z D内解析，在 上连续,为 内任意一点，则
0
0
1 ( )( ),
2 C
fzf z d z
i z z
证明,00()f z z z由于函数 在 解析，当然在 点连续，
000,( ) 0,( ) ( ),z z f z f z当 时，都有
00z k z z C作以 为中心,为半径的圆周,,使其全部在 的内部,且,则
00
( ) ( )
Ck
f z f zd z d z
z z z z
00( ) ( ) ( )
kk
f z f z f zdz dz
z z z z
00
0
( ) ( )2 ( )
k
f z f zif z dz
zz?
00
00
( ) ( )( ) ( ) 2
k k C
f z f zf z f z d z d s d s
z z z z
而
0
0
() 2 ( ) 2,
k
fz d z if z
zz
0
0
() 2 ( ),
C
fz d z if z
zz于是
0z
L
2009-7-30 36
说明,( 1 ) ( )f z C C如果 在 所围区域内及 上解析，则上式仍成立；
( 2 ) C这个公式把一个函数在 内部任一点的值用它在边界上的积分值表示，
这是解析函数的又一特征.
推论 1：（平均值公式） 00( ) | | | |f z z z R z z R设函数 在 内解析，在 上连续，则
2
000
1( ) ( R e ),
2 if z f z d
这表明解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.
推论 2：
12( ),f z C C D设函数 在简单闭曲线 所围成的二连通域,12,CC并在
2 1 0C C z D上连续,在 的内部,为 内一点，则
120 00
1 ( ) 1 ( )( ),
22CC
f z f zf z d z d z
i z z i z z
2009-7-30 37
例 1,计算下列积分
| | 4
1 s in(1 ),
2 z
z dz
iz 4
12( 2 ) ( ),
13z dzzz
解：
4
1 s in(1)
2 z
z dz
iz 0sin | 0.zz
4
12( 2 ) ( )
13z dzzz
44
12
13zzd z d zzz
2 2 2 6,i i i
例 2,( ) ( )f z g z D C D设函数 与 在区域 内解析,为 内任意一条简单
( ) ( )D f z g z C?闭曲线，它的内部完全属于,如果 在 上所有的点
( ) ( ),C f z g z?都成立，试证明在 内所有的点处 也成立
2009-7-30 38
0 0 0( ) ( ),C z f z g z?在 内部任意取一点,只需证明 即可
( ) ( ) ( )F z f z g z设，
( ) ( ) ( ) 0C f z g z F z因为在 上有,则,
()F z D而又 是 内的解析函数，由柯西积分公式，得：
0
00
1 ( ) 1 ( ) ( )( ) 0
22CC
F z f z g zF z d z d z
i z z i z z
0( ) 0,Fz
00( ) ( ).f z g z?从而
0 ( ) ( ),z C f z g z?由于 的任意性知：在 内部有 成立证明,( ) ( )C D C f z g z?因为 为 内任意一条简单闭曲线，在 上,
( ) ( ),C f z g z?现在证明在 内部
2009-7-30 39
例 3,计算下列积分
2,( 1)C
dz
zz
3,
2C z i其中,的正向解：
2
1 0
( 1 ) C z z izz因为函数 在 内有两个奇点,及,
12
10
4z z i C C所以分别以 及 为圆心，以 为半径作圆周 及,
由复合闭路定理，得：
122 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )C C C
d z d z d z
z z z z z z
12
2
11
( 1 ) ( )
()CC
z z z idz dz
z z i
122 ( 0) 2 ( )if if i
12 2 ( ),
2i i i
2009-7-30 40
二、最大模原理由平均值公式还可以推出解析函数的一个重要性质,即解析函数的最大模原理.
定理 9,（最大模原理） ( ) ( )f z D f z设函数 在区域 内解析，又函数 不是常数，
| ( ) |D f z则在 内 没有最大值.
这个定理表明一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数．这是 解析函数一个非常重要的原理,推论 1：
DD区域 内解析的函数，若其模在 的内点达到最大值，
则此函数必恒为常数.
推论 2,()f z D D若函数 在有界区域 内解析，在 上连续，
| ( ) |f z D则 必在 的边界上达到最大值.
说明：最大模原理不仅是复变函数论一个很重要的原理，而且在实际上也是很有用的原理，它在流体力学上反映了平面稳定流动在无源无旋的区域内流体的最大值不能在区域内达到，而只能在边界上达到，除非它是等速流体．
2009-7-30 41
例
3,||( ) 0 ( ) m a x | ( ) |zrf z r M r f z设 在全平面为解析函数，又对任意,令,
( ),M r r求证 是 的单调上升证明,0 ( ) | |r f z z r因为对于任意的,函数 在 上解析，
( ) | | | |f z z r z r所以由最大值原理及其推论2知，函数 在 上的最大值必在 上取得，
| | | |( ) m a x | ( ) | m a x | ( ) |z r z rM r f z f z即：,
12rr?因此，当 时，有：
12| | | |
( ) m a x | ( ) | m a x | ( ) | ( )z r z rM r f z f z M r
( ),M r r即 是 的单调上升函数
2009-7-30 42
第四节 解析函数的高阶导数
一、解析函数高阶导数公式一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导数，它的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表示．这一点跟实变函数完全不同，一个实变函数在某一区间上可导，它的导数在这个区间上是否连续也不一定,更不要说有高阶导数存在了．下面我们讨论解析函数的各阶导数的解析问题．
1 ( )()
2 C
ff z d z
iz
我们将柯西公式,形式在积分号下对 求导得：
2
1 ( )( ),
2 ( )C
ff z d
iz
再继续又可得：
3
2 ! ( )( ),
2 ( )C
ff z d
iz
() ()nn f z依次类推,阶导数 的可能形式是：
()
1
! ( )( ),
2 ( )
n
nC
nff z d
iz
这是求导与积分两种运算允许交换的条件下推出的，这样作是否可行呢？我们对此加以讨论．
2009-7-30 43
定理 10,()f z C D D D C设函数 在简单闭曲线 所围成的区域 内解析，而且在
()f z D D z上解析，则函数 的各阶导数均在 内解析，对 内任一点,有
()
1
! ( )( ),( 1,2,),
2 ( )
n
nC
nff z d n
iz
证明,1z D n?设 为 内的任意一点，先证明 的情况，即
2
1 ( )( ),
2 ( )C
ff z d
iz
0
( ) ( )( ) l i m
z
f z z f zfz
z
根据导数定义：,
由柯西积分公式得：
1 ( )( ),
2 C
ff z d
iz
1 ( )() 2 C ff z z di z z
0
1 1 1( ) l im ( ) [ ]
2 Czf z f di z z z z
0
1 ( )l im
2 ( ) ( )Cz
f d
i z z z
2009-7-30 44
2
1 ( ) ( )
2 ( ) ( )C
f z z z d
i z z z
22
1 ( ) 1 ( )
2 ( ) 2 ( ) ( )CC
f zfdd
i z i z z z
设后一个积分为,那么
2
1 ( )
2 ( ) ( )C
zf d
z z z
2
()1
2 ( ) ( )C
zf ds
z z z
( ),f z C C C因为 在 上解析，所以 上连续，故在 上有界
0 ( ),M f z M因此一定存在一个,使
1
2d z C z z d设 为从 到曲线 各点的最短距离，并且取 适当小，使满足,
11,zd
zd那么有,
| | | | | |,2dz z z z于是 12||z z d
3,( )
MLz L C
d所以 为 之长
2009-7-30 45
00z当 时，,从而有
2
1 ( )( ),
2 ( )C
ff z d
iz
.这证明了解析函数仍是解析函数
nk?要完成定理的证明，只需应用数学归纳法，设 时公式成立，
1nk证明 时也成立，即证明下式：
( ) ( )( ) ( )kkf z z f z
z
22
1 ( 1 ) ! ( ) ( 1 ) ! ( )[]
2 ( ) 2 ( )kkCC
k f k fdd
z i z z i z
1
0 2
( 1 ) ! ( )0 ( ),
2 ( )
k
kC
kfz f z d
iz
当 时，有说明：（ 1）此公式可理解为把柯西公式 1 ( )()
2 C
ff z d
iz
zn两边对 求 阶导，右边在积分号内求导，即 ()
1
! ( )()
2 ( )n nC
nff z d
iz
（ 2）高阶导数公式的作用不在于通过积分来求导，而在于通过求导来积分，即
()
01
0
( ) 2 ( ),
( ) !
n
nC
f z idz f z
z z n
2009-7-30 46
例
1．
1.C z r求下列积分的值，其中为正向圆周：
5
c o s(1),
( 1)C
z dz
z
22( 2 ),( 1 )
z
C
e dz
z
解：
5
c o s 1 c o s
( 1 )
z C z z C
z
(1) 函数 在 内除 外处处解析，而 在 内处处解析，因此有：
5
cos
( 1)C
z dz
z
( 4 ) 41122( c o s ) | c o s |( 5 1 ) ! 4 !zziizz 5,
12i
22( 2 ) ( 1 )
ze C z i
z函数 在 内的 处不解析，
12C i C i C?我们在 内作以为中心的正向圆周,以 为中心的正向圆周,
1222( 1 )
ze C C C
z?那么函数 在由,和 所围成的区域内是解析的，
根据复合闭路定理：
122 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
z z z
C C C
e e edz dz dz
z z z
2009-7-30 47
12
22( ) ( )
( ) ( )
zz
CC
ee
z i z id z d z
z i z i
22
22
( 2 1 ) ! ( ) ( 2 1 ) ! ( )
zz
z i z i
i e i e
z i z i
22
44
( ) 2( ) ( ) 2( )2 [ ] 2 [ ]
( ) ( )
z z z z
z i z i
e z i e z i e z i e z iii
z i z i
( 4 4 ) ( 4 4 )2 ( ) 2 ( )
16 16
iie i e iii
( 1 ) ( 1 ) []
2 2 2 2
i i i i i ii e i e e e e eii
i
22[ sin 1 c o s 1 ] 2 [ sin 1 c o s 1 ]
22i i i
2 s in (1 ).4i
2009-7-30 48
例
2,3
,1,2,( 1 ) ( 2 )C dz C z r rz z z计算积分 的值，其中 为解,(1 ) 0 1 ( )
( 1 ) ( 2 )
dzr f z
zz当 时，设,
()f z C则 在 内解析,根据高阶导数公式：
3
( ) 2 ( 0 ) ( 0 ),
( 3 1 ) !C
f z id z f if
z
1 2
2
23
6 6 6 3( ),( 0),
( 2) 4
zzf z f
zz
而 3,4 i于是,=
12( 2 ) 1 2 0 1r C C C当 时，在 内以 为中心作,以 为中心作圆周,
根据复合闭路定理有：
1233( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )CC
d z d z
z z z z z z 12
3
3
11
( 1 ) ( 2) ( 2)
( 1 )CC
z z z zdz dz
zz
13
3 1 3 2 12 [ ],
4 ( 2 ) 4 3 1 2zi i i i izz
2009-7-30 49
12( 3 ) 2 0 1r C C C当 时，在 内以 为中心作圆周,以 为中心作圆周,
32 C以 为中心作圆周,则
1 2 33 3 3( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )C C C
d z d z d z
z z z z z z z z z
1 2 3
33
3
1 1 1
( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 )
( 1 ) ( 2 )C C C
z z z z z zd z d z d z
z z z
3
3
1
1 ( 1 )
12 ( 2)C
zzi dz
z?
23
112 [ ]
1 2 ( 1 ) zii zz
11 0.
1 2 1 2ii
2009-7-30 50
例
3,3 0 1,( 1 )
z
C
e dz C
zz计算积分,其中 是不经过 与的简单光滑闭曲线解：
10
1C
2C 3C
4C
3 0(1 )
z
C
e dz
zz
(1) 根据柯西 古萨基本定理得：
(2) 根据柯西积分公式得：
3
3
(1 )
(1 )
z
z
CC
e
e zd z d z
z z z
032 [ ] 2,(1 )
z
z
eii
z
(3) 根据高阶导数公式得：
33(1 ) ( 1 )
zz
CC
ee
d z d zzz
1
2,
2!
z
z
e ei
z
(4) 根据复合闭路定理得：
12
3
3 3 3
( 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
z z
zz
C C C C
e e
ee z zd z d z d z d z
z z z z z z
2 ( 2 ),i e i e i
2009-7-30 51
二、刘维尔（ Liouville） 定理由高阶导数公式我们可以推出几个重要结果．
定理 11：
00( ) | | | | | ( ) |f z z z R z z R f z M设函数 在 内解析，由当 时，,则有
() 0 !| ( ) |,1,2,n
n
nMf z n
R(柯西不等式)
证明,00 ) ( ) | |R R R f z z z R对于任意的,(,函数 在 上解析，
故由高阶导数公式：
0
() 0
1| | ' 0
! ( )( ),1,2,
2 ( )n nz z R
n f zf z dz n
i z z
0
()
0 1| | '
0
! | ( ) | !| ( ) | | |
2 | | n
n
n Rz z R
n f z n Mf z d z
zz由条件：
() 0 !' | ( ) |,n
n
nMR R f z
R令,便得：
.由该不等式可以推出另一个重要定理
2009-7-30 52
刘维尔（ Liouville） 定理,()fz设函数 在全平面上解析且有界，
()fz则函数 为常数.
证明：
0zR设 为平面上任意一点，对任意正数,
0( ) | |f z z z R函数 在 内为解析，
( ) | ( ) |f z f z M?由函数 的全平面有界，设,
0| ( ) |
Mfz
R由柯西不等式得到：,
0( ) 0R f z令,即得,
0 ( ) 0z f z由 的任意性，知在全平面上有,
( ),fz故函数 为常数
2009-7-30 2
参考用书
,复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6
,复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社
,复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5
2009-7-30 3
目 录
第二章 解析函数
第三章 复变函数的积分
第四章 解析函数的级数表示
第五章 留数及其应用
第六章 傅立叶变换
第七章 拉普拉斯变换
第一章 复数与复变函数
2009-7-30 4
第三章 复变函数的积分
内容提要,在微积分中，当引入实变量函数的积分后，
可以解决很多的重要的问题，在复变函数中也一样，当引入复变函数的积分后，也可以解决很多理论及实际问题．如有了积分可以证明一个区域上有导数的函数就有无穷多阶导数，可以将一般的解析函数分解成一些最简单的函数的迭加，这就给研究解析函数的性质提供了强有力的工具，今后还可以看出用复变函数的积分给计算某些定积分带来很大的方便．
本章内容与实变量二元函数有紧密关系，特别是二元函数的第二类曲线积分的概念、性质和计算方法，全微分及积分与的问题，格林公式等．
2009-7-30 5
第三章 复变函数的积分
3.1 复积分的概念
3.2 柯西积分定理
3.3 柯西积分公式
3.4 解析函数的高阶导数
本章小结
思考题
2009-7-30 6
第一节 解析函数的概念
一、积分的定义有向曲线,设 C为平面给定的一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选定 C的两个可能方向的一个作为正方向（或正向），则我们就把 C称为有向曲线．与曲线 C反方向的曲线记为定义 1：
简单闭曲线正向,当曲线上的点 P顺此方向前进时，邻近 P点的曲线内部始终位于 P点的左方，这时曲线方向称为正方向．
()w f z D?设函数 定义在 内,C为区域 D内起点为 A终点为 B的一条有向光滑的简单曲线．
( 1 ) Cn把曲线 任意分成 个小弧段，设分点为：
0 1 2 1,,,,,,k k nA z z z z z z B
( 0,1,2,,)k k kz x iy k n其中,
分
1C?
2009-7-30 7
1( 2 ) ( 1,2,)k k k k kz z k n i粗：在每个弧段 上,任取一点,
1( ) ( ) ( ),k k k k kf z f z z则 1,k k k k kz z z x i y其中
1
11
( ) ( ) ( ),nnk k k k k
kk
f z z f z
(3) 和：
0n(4) 精：设 表示 个小弧段的最大长度，当 时，
kC?无论 怎样分,怎样取，
()f z C A B则称此极限值为函数 沿曲线 自 到 的复积分.
0 1( ) l i m ( ),
n
kkC
k
f z dz f z
记作：
( ),类似于微积分中的曲线积分如果和式的极限唯一存在，
C
0zA?
1z
1kz?
kz
1nz? nzB?
k?
O x
y
2009-7-30 8
( ),CC f z d z?(1) 若 为闭曲线，则沿闭曲线积分为
( 2 ) ( )C f z d z C A B?积分 表示沿曲线 自 到 的复积分，
()C f z d z C B A积分 表示沿曲线 自 到 的复积分.
二、积分存在条件及其计算方法
( ) ;C 的正方向是逆时针方向定理 1,( ) (,) (,)f z u x y i v x y C设函数 在光滑曲线 上连续，
()C f z d z?则复积分 存在，且有积分公式：
( ) (,) (,) (,) (,)C C Cf z d z u x y d x v x y d y i v x y d x u x y d y
1
( ) ( ) ( ),
nC C C
f z d z f z d z f z d z
1 2 3,,,nC C C C C(3) 若曲线 是由 等光滑曲线段依次相互连接而成，则有
2009-7-30 9
证明：
11
( ) [ (,) (,) ] ( )nnk k k k k k k k
kk
f z u i v x i y
11
[ (,) (,) ] [ (,) (,) ]nnk k k k k k k k k k k k
kk
u x v y i v x u y
()f z C由于函数 在光滑曲线 上连续，
(,),(,),u x y v x y C? 在光滑曲线 上也连续
0当 时，
( ) (,) (,) (,) (,),C C Cf z d z u x y d x v x y d y i v x y d x u x y d y
上式右端极限存在，且有注意,( 1 ) ( ) (,) (,)f z u x y i v x y C当函数 在光滑曲线 上连续，
( 2 ) ( )C f z d z? 可以通过两个二元实变函数的曲线积分来计算.
()C f z d z?则复积分 存在；
2009-7-30 10
法一计算 ()C f z dz?
( ) { [ ( ),( ) ] [ ( ),( ) ] } { ( ) ( ) }C f z d z u x t y t i v x t y t x t i y t d t
( ) [ ( ) ] ( ),C f z d z f z t z t d t
(),
()
x x tCt
y y t
光滑曲线 参数方程：
( ) ( ) ( ),C z z t x t i y t t复数形式的曲线 参数方程：
( ) (,) (,) (,) (,)C C Cf z d z u x y d x v x y d y i v x y d x u x y d y
这种计算复积分方法在已知曲线 C方程的条件下适合
( ),,( ) ( ) ( ),CCf z u i v d z d x i d y f z d z u i v d x i d y令则
2009-7-30 11
例 1．
解：
3 2
0
i z d z沿下列路线计算积分,其中
(1 ) 3 i?自原点至 的直线段；
( 2 ) 3 3,i?自原点沿实轴至,再由铅直向上直线至
3 i?(1) 连接原点至 的直线的参数方程为,(3 ),0 1z i t t
3122
00 [ ( 3 ) ] ( 3 )
i z d z i t i d t
1 32
0 (3 )i t dt
3 3 1 3
0
11( 3 ) | ( 3 ),
33i t i
( 2 ),,0 3,3,0 1O A z x x A B z i y y曲线方程为：,
3 2 2 2
0
i
O A A Bz d z z d z z d z
3122
00 ( 3 ) ( 3 )x d x iy d iy
3 3 3 10011[ ] [ ( 3 ) ]33x iy 3 3 3 31 1 1 13 ( 3 ) 3 ( 3 )3 3 3 3ii
注意：沿不同的路径积分的结果是相同的，即 积分与路径无关，
3
3i?
2009-7-30 12
例 2．
01
0
.() nC dz C z r nzz计算,其中 为以 为中心,为半径的正向圆周,为整数解,2 2 200( ) ( )x x y y r圆周 的参数方程为：0
0
c o s,0 2
s i n
x x r
y y r
00( c o s ) ( s in ),0 2z x r i y r复数形式的参数方程为：
0 0 0( ) ( c os si n ),0 2iz x i y r i z re
1
0()
nC
dz
zz
2 2 2
1 ( 1 )0 0 0
i in
n i n n in n
ir e d i id e d
r e r e r
0n?当 时,2
1 0
0
2;() nC dz i d izz
0n?当 时,2
1 0
0
( c o s sin ) 0,() nnC d z i i n dz z r
1
0
2,0
0,0() nC
indz
nzz
综上所述：
这个积分结果以后常用，它的 特点是与积分路线圆周的中心和半径无关．
2009-7-30 13
例 3．
C z d z C?计算 的值，其中 为
01( 1 ) 1 ( 1 ),0 1z i C z i t t沿从原点到点 的直线段,
12( 2 ) 1,0 1z C z t t沿从原点到点 的直线段,
1 0 3 1,0 1z z C z it t与从 到 的直线段,所接成的直线.
0 1zi
1 1z?
解,11
00(1 ) ( ) (1 ) 2 1 ;C z d z t it i d t td t
23
( 2 ) C C Cz d z z d z z d z
11
00 (1 )td t it id t
11( ) 1
22 ii
由此题可以看出，尽管起点、终点都一样，但由于沿不同的曲线积分，所以积分值也是不同的．
2009-7-30 14
三、复积分的性质因为复积分的实部和虚部都是曲线积分，因此，曲线积分的一些基本性质对复积分也成立．
(1 ) ( ) ( ) ;CCf z d z f z d z
( 2 ) ( ) ( ),( ) ;CCk f z d z k f z d z k 为常数
( 3 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ;C C Cf z g z d z f z d z g z d z
12 12
( 4 ) ( ) ( ) ( ) ) ;C C Cf z d z f z d z f z d z C C C,( 其中
( 5 ) ( ) ( ),CCf z d z f z d s
2009-7-30 15
证明性质（ 5）：
1
| ( ) |n kk
k
fz?
1
| ( ) || |n kk
k
fz?
1
| ( ) || |,n kk
k
fs?
1k k ks z z其中 是小弧段 的长,22||k k k kz x y s
22| | | |d z d x i d y d x d y d s注意：,因此
0 1lim | ( ) |
n
kk
k
fz
0
1
lim | ( ) || |n kk
k
fz
0
1
lim | ( ) || |n kk
k
fs
( ) ( )CCf z d z f z d s
( ) ( )C L f z C f z M?特别地，若曲线 的长度为,函数 在 上有界，即：
( ) ( )CCf z d z f z d s M L
（估计不等式）
2009-7-30 16
例 4,3 4,Ci?设曲线 为从原点到点 的直线段解,( 3 4 ),0 1C z i t t的参数方程为：
11
CC dz dsz i z i由估计不等式：
22
1 1 1 1
( 3 4 ) 3 ( 4 1 ) 9 ( 4 1 )z i i t i t t i tt
C因为在 上，所以
2
15
3492 5 ( )
2 5 2 5t
1 5 5 255.
3 3 3CCdz dszi从而有：
1,
C dzzi试求积分 绝对值的一个上界
2009-7-30 17
例 5,3
2||0l i m 0.1zrr
z dz
z试证：
证明,0,1rr这里讨论 故不妨设,
3 3 4
2 2 2||
2| | 2
1 1 1zr
z r rdz r
z r r
0r?上式右端当 时的极限为0,故左端极限也为0,
3
2||0lim 0,1zrr
z dz
z即：
有估计不等式得：
||zr?因为在 上,3333
2222,111 1
zzzr
z z
2009-7-30 18
第二节 柯西积分定理从上一节所举的例子来看,
2()f z z?例1 中的被积函数 在复平面内是处处解析的，它沿连接起点及终点的任何路线积分值都相同，换句话说，积分是与路径无关的．
( ),,f z z u x v y C R例3中 的被积函数,它的实部 虚部 不满足 方程，
.C z d z?所以在平面上处处不解析，且积分 与路径有关
0
0
10
()n z Czz例2 中的被积函数当 时为,它在以 为中心的圆周 内部
00zz不是处处解析的，因为它在 没有定义，当然在 处不解析，而此时积分：
0
2 0,C dz izz
由此可猜想：积分的值与路径无关或沿闭曲线积分值为零的条件与 被积函数的解析性及区域的单连通性有关,究竟关系如何，下面我们讨论此问题．
00z z C如果把 除去，虽然在除去 的 的内部，函数处处解析，
但是这个区域已经不是单连通区域.
2009-7-30 19
一、柯西积分定理
()f z D设函数 在单连通区域 内定理 2：（柯西 — 古萨基本积分定理）
()f z D C那么函数 在 内沿任何一条封闭曲线 的积分为零，
( ) 0,C f z d z
D(1) 单连通区域
C(3) 闭曲线
( 2 ) ( )f z D在区域 内处处解析
( ) 0,C f z d z则柯西积分定理表明，函数满足一定的条件，则积分与路径无关．
处处解析，
即：
2009-7-30 20
证明,( ) ( ) ( ) )f z D f z f z因为函数 在区域 内解析，故 存在,( 下面在 连续的假设下证明
uv因为 与 的一阶偏导数存在且连续，故应用格林公式得：
( ) ( ) ( ) (,) (,) (,) (,)C C C Cf z d z u iv d x id y u x y d x v x y d y i v x y d x u x y d y
( ) ( )
GG
v u u vdx dy i dx dy
x y x y
( ),G C f z C R?其中 为简单闭曲线 所围区域，由于函数 解析,方程成立
( ) 0,C f z dz
(,),(,)L P x y Q x y格林公式：（1 ）曲线 封闭、正向；（2 ） 具有一阶连续偏导数；
( ),L
D
QPPdx Qdy dx dy
xy
则
( ) ( ),f z f z?以后我们会证明只要函数 解析,必连续
2009-7-30 21
说明,( 1 ) ( )C G f z G C若曲线 是 的边界，如果函数 在 内和 上解析，那么仍有：
( ) 0,C f z d z
D(1) 单连通区域
C(2) 闭曲线
( 3 ) ( )f z G C在 内和 上解析
( ) 0,C f z d z则
( 2) ( )f z G G G C若函数 在 内解析，在闭区域 上连续，仍有：
( ) 0,C f z d z
D(1) 单连通区域
C(2) 闭曲线
( 3 ) ( )f z G G G C在 内解析，在 上连续
( ) 0,C f z d z则
2009-7-30 22
定理 3：
01()f z D z z D设函数 在单连通区域 内解析,与 为 内任意两点，
1 2 0 1 1 2C C z z C C D与 为连接 与 的积分路线,与 都含于 内，则
12
( ) ( )CCf z d z f z d z
1C
2C
0z
1z
D
12
( ) ( )CCf z d z f z d z
1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0C C C Cf z d z f z d z f z d z
证明：依柯西 -古萨基本定理
12
( ) ( ),CCf z d z f z d z
2009-7-30 23
例 6．
s i n | 1 | 1 0 2,C z d z C z计算积分,其中 是圆周 的上半周，从 到解,s i n z因为函数 是全平面的解析函数，由柯西- 古萨基本定理:
1,C它的积分与路径无关，于是可以换一条路线沿实轴从0 到2 积分得：
1
s in s inCCz d z z d z
o x
y
C
1C
22
0 sin 1 c o s 2,x d x
2009-7-30 24
二、复合闭路定理定理 4,（闭路变形定理）
1 2 1 2C C C C设 与 是两条简单闭曲线,在 内部，
1 2 1 2()f z C C D D D C C函数 在 与 所围成的二连通区域 内解析，而在 上连续，
12
( ) ( ),CCf z d z f z d z
1C
12C?
A B
C
D
1,L A B B C C D D A
设
2,L B A A D D C CB
由柯西 古萨基本定理得：
12( ) 0,( ) 0LLf z d z f z d z
12( ) ( )LLf z d z f z d z
证明：
112( ) ( ) 0,CCf z d z f z d z
12( ) ( ),CCf z d z f z d z
一个解析函数沿闭曲线的积分，不会因闭曲线在区域内作连续的变形而改变它值这事实称 闭路变形定理,
则
2009-7-30 25
推论：（复合闭路定理） CD设 为多连通区域 的一条简单闭曲线，
12,,nC C C C是在 内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以
12,,,( )nC C C C D f z D为边界的区域全包含于,如果函数 在 内解析，则
1
( ) ( ),
k
n
CC kf z dz f z dz
1C
2C
nC
C
D
( ) 0f z dz
kCC其中 及 均取正方向.
( 1,2,,)kC C k n这里 为 及,
C是 按逆时针进行，
所围成的复合闭路,其方向
kC?按顺时针进行.
2009-7-30 26
0
0
2C dzC z izz在本章第一节的例2 知：当 为 为中心的正向圆周时，,
0
0
2.P dzz P izz根据闭路变形原理，对包含 的任何一条正向简单闭曲线,都有
例 1．
2 1.C
dz Cz
zz计算积分 的值，其中 为包含圆周 在内任何正向简单闭曲线
1C
2C
C
1z?
解：
2
1()fz zz因为函数 在复平面内
0,1C z z所以在 内以 为圆心分别作
2 ( 1 )CC
d z d z
z z z z 11()1C dzzz
0,1zz除 两个奇点外是处处解析的，
两个互不包含也互不相交的正向圆周
12CC与,根据复合闭路定理，得：
12
1 1 1 1( ) ( )
11CC d z d zz z z z 0 2 2 0 0ii
2009-7-30 27
三、原函数与不定积分定理 5,( ) ( )
Cf z D f z d z?设函数 在单连通区域 内处处解析，则积分 与连接
.C起点及终点的路线 无关
015 zz由定理 知：解析函数在单连通区域内积分只与曲线的起点 及终点 有关，
1
0
( ) ( ),zCzf z d z f z d z即,表示与积分路径无关.
1．积分上限函数
01z z z?若固定,让上限 变动，则积分
0
()zz f z dz?
z称为积分上限 的函数，记作：
00
( ) ( ) ( ),zzF z f z d z f d
2009-7-30 28
定理 6,( ) ( )f z D F z D设函数 在单连通区域 内解析，则函数 必为 内的一个解析函数，
0
( ) ( ) ( )zzF z f d f z
证明：
,z z k D以 为中心作一含于 的小圆
z z z k取 充分小，使 在 内，于是
00
( ) ( ) ( ) ( )z z zzzF z z F z f d f d
0 0
()zzz f d z z由于积分与路径无关，因此 的积分路线可取先从到，
z z z然后再从 沿直线段到,
00
()zzz z f d而从 到的积分路线取得与积分 的积分路线相同，于是有
( ) ( )z D f z D f z D设 为 内任意一点，因为函数 在 内解析，所以 在 内连续，
00 zD因此对,总可以找到一个,使得对于满足
( ) ( ),f f z的一切,都有且
2009-7-30 29
根据积分估值性质：
( ) ( ) 1( ) | [ ( ) ( ) ] |zz
z
F z z F z f z f f z d
zz
11( ) ( )zz
z f f z ds zzz
0
( ) ( )l im ( ) 0
z
F z z F z fz
z
也就是说，
( ) ( ).F z f z即：
0z
z
zz
k小圆
半径为 的圆周
( ) ( ) 1( ) [ ( ) ( ) ]zz
z
F z z F z f z f d z f z
zz
从而
1 [ ( ) ( ) ]z z z z
zzf d f z dz
1 [ ( ) ( ) ]zz
z f f z dz
D
2009-7-30 30
2．原函数的概念
( ) ( ) ( ) ( )F z D f z F z f z定义：如果函数 在区域 内的导数等于,即,
( ) ( ),F z f z D则称函数 为 在区域 内的原函数
0
( ) ( ) ( )zzF z f d f z(1) 积分上限函数 是 的一个原函数；
()fz(2) 函数 的任意两个原函数之差为一常数；
( ) ( )f z D F z(3) 如果函数 在区域 内有一个原,那么它
( ),F z C C?就有无穷多个原函数 ( 为任意常数),
结论：
2009-7-30 31
定理 7,( ) ( ) ( )f z D G z f z设函数 在单连通区域 内解析，函数 为 的一个原函数，则
1
0 10
( ) ( ) ( )zz f z d z G z G z 01,.z z D,其中 为区域 内的两点证明：
0
( ) ( ) ( )zzF z f z d z f z因为 是函数 的一个原函数，
0
( ) ( )zz f z d z G z C所以,
0
000
( ) ( ) 0zzz z f z d z G z C当 时，,0( ),C G z
0 0
( ) ( ) ( )zz f z d z G z G z于是,
1
0 10
( ) ( ) ( ),zz f z d z G z G z
类似于微积分学中的基本定理和 牛顿 —— 莱布尼兹公式有了定理 7，复变函数的积分就可用跟实变量函数微积分学中类似的方法计算,分部积分法,换元积分法 均可用在复变函数积分中．
2009-7-30 32
例 2．
1
l n ( 1 )I m ( ) 0,R e ( ) 0 1
1
i zz z z d z
z
试沿区域 内的圆弧,计算积分 的值.
解,l n ( 1 )
() 1zfz z因为函数 在所设区域内解析，
2 1
11
l n ( 1 ) 1l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n ( 1 ) |
12
ii iz d z z d z z
z
221 [ ln (1 ) ln 2 ]
2 i
2211[ ( ln 2 ) ln 2 ]2 2 4 i
23 ln 2 ln 2,3 2 8 8i
例 3．
1
1
i zz e d z求积分 的值.
解,()
zf z z e?函数 在全复平面内解析，
11 1
1|
iiz z i zz e d z z e e d z 11
1(1 ) |i z ii e e e
1 1 1(1 ) i i ii e e ie ( c o s 1 sin 1 )ie e i i
( s in 1 c o s 1 ),ei
2009-7-30 33
第三节 柯西积分公式
一、柯西积分公式
0 ( ) ( ) 0,CD z D f z D f z d z设 为一单连通区域,为 中一点，如果 在 内解析，则
00
0
()fz z D z C
zz?但函数 在 处不解析，所以在 内沿围绕 的一条封闭曲线 的积分
0
()
C
fz dz
zz 一般不为零，那它又为多少呢？
0z根据闭路变形定理，这个积分沿着任何一条围绕 的简单闭曲线都是相同的，
00z z z我们取以 为中心，半径为 的很小的圆周 （取其正向）作为积分
( ) ( )C f z C f z?曲线,由于函数 的连续性，在 上函数 的值将随 的缩小
0
0
()
C
fzz dz
zz而逐渐接近于它的圆心 的值，从而可以猜想：积分
的值也将随 的缩小而逐渐接近于
0000
( ) 1( ) 2 ( )
CC
fz dz f z dz if zz z z z
2009-7-30 34
0z
C
0
0
()fz z
zz? 在 处不解析
100
( ) ( )
CC
f z f zdz dzz z z z由闭路变形定理：
1C
2C
3C
nC
2 00
( ) ( )
nCC
f z f zd z d z
z z z z
()fz由于函数 的连续性,0( ) ( ),f z f z?
0 0
00
()() 2 ( ),
CC
fzfz dz dz if zz z z z
猜想：
2009-7-30 35
定理 8,(柯西积分公式） ()f z C设函数 在简单闭曲线 所围成的区域
0D D D C z D内解析，在 上连续,为 内任意一点，则
0
0
1 ( )( ),
2 C
fzf z d z
i z z
证明,00()f z z z由于函数 在 解析，当然在 点连续，
000,( ) 0,( ) ( ),z z f z f z当 时，都有
00z k z z C作以 为中心,为半径的圆周,,使其全部在 的内部,且,则
00
( ) ( )
Ck
f z f zd z d z
z z z z
00( ) ( ) ( )
kk
f z f z f zdz dz
z z z z
00
0
( ) ( )2 ( )
k
f z f zif z dz
zz?
00
00
( ) ( )( ) ( ) 2
k k C
f z f zf z f z d z d s d s
z z z z
而
0
0
() 2 ( ) 2,
k
fz d z if z
zz
0
0
() 2 ( ),
C
fz d z if z
zz于是
0z
L
2009-7-30 36
说明,( 1 ) ( )f z C C如果 在 所围区域内及 上解析，则上式仍成立；
( 2 ) C这个公式把一个函数在 内部任一点的值用它在边界上的积分值表示，
这是解析函数的又一特征.
推论 1：（平均值公式） 00( ) | | | |f z z z R z z R设函数 在 内解析，在 上连续，则
2
000
1( ) ( R e ),
2 if z f z d
这表明解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.
推论 2：
12( ),f z C C D设函数 在简单闭曲线 所围成的二连通域,12,CC并在
2 1 0C C z D上连续,在 的内部,为 内一点，则
120 00
1 ( ) 1 ( )( ),
22CC
f z f zf z d z d z
i z z i z z
2009-7-30 37
例 1,计算下列积分
| | 4
1 s in(1 ),
2 z
z dz
iz 4
12( 2 ) ( ),
13z dzzz
解：
4
1 s in(1)
2 z
z dz
iz 0sin | 0.zz
4
12( 2 ) ( )
13z dzzz
44
12
13zzd z d zzz
2 2 2 6,i i i
例 2,( ) ( )f z g z D C D设函数 与 在区域 内解析,为 内任意一条简单
( ) ( )D f z g z C?闭曲线，它的内部完全属于,如果 在 上所有的点
( ) ( ),C f z g z?都成立，试证明在 内所有的点处 也成立
2009-7-30 38
0 0 0( ) ( ),C z f z g z?在 内部任意取一点,只需证明 即可
( ) ( ) ( )F z f z g z设，
( ) ( ) ( ) 0C f z g z F z因为在 上有,则,
()F z D而又 是 内的解析函数，由柯西积分公式，得：
0
00
1 ( ) 1 ( ) ( )( ) 0
22CC
F z f z g zF z d z d z
i z z i z z
0( ) 0,Fz
00( ) ( ).f z g z?从而
0 ( ) ( ),z C f z g z?由于 的任意性知：在 内部有 成立证明,( ) ( )C D C f z g z?因为 为 内任意一条简单闭曲线，在 上,
( ) ( ),C f z g z?现在证明在 内部
2009-7-30 39
例 3,计算下列积分
2,( 1)C
dz
zz
3,
2C z i其中,的正向解：
2
1 0
( 1 ) C z z izz因为函数 在 内有两个奇点,及,
12
10
4z z i C C所以分别以 及 为圆心，以 为半径作圆周 及,
由复合闭路定理，得：
122 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )C C C
d z d z d z
z z z z z z
12
2
11
( 1 ) ( )
()CC
z z z idz dz
z z i
122 ( 0) 2 ( )if if i
12 2 ( ),
2i i i
2009-7-30 40
二、最大模原理由平均值公式还可以推出解析函数的一个重要性质,即解析函数的最大模原理.
定理 9,（最大模原理） ( ) ( )f z D f z设函数 在区域 内解析，又函数 不是常数，
| ( ) |D f z则在 内 没有最大值.
这个定理表明一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数．这是 解析函数一个非常重要的原理,推论 1：
DD区域 内解析的函数，若其模在 的内点达到最大值，
则此函数必恒为常数.
推论 2,()f z D D若函数 在有界区域 内解析，在 上连续，
| ( ) |f z D则 必在 的边界上达到最大值.
说明：最大模原理不仅是复变函数论一个很重要的原理，而且在实际上也是很有用的原理，它在流体力学上反映了平面稳定流动在无源无旋的区域内流体的最大值不能在区域内达到，而只能在边界上达到，除非它是等速流体．
2009-7-30 41
例
3,||( ) 0 ( ) m a x | ( ) |zrf z r M r f z设 在全平面为解析函数，又对任意,令,
( ),M r r求证 是 的单调上升证明,0 ( ) | |r f z z r因为对于任意的,函数 在 上解析，
( ) | | | |f z z r z r所以由最大值原理及其推论2知，函数 在 上的最大值必在 上取得，
| | | |( ) m a x | ( ) | m a x | ( ) |z r z rM r f z f z即：,
12rr?因此，当 时，有：
12| | | |
( ) m a x | ( ) | m a x | ( ) | ( )z r z rM r f z f z M r
( ),M r r即 是 的单调上升函数
2009-7-30 42
第四节 解析函数的高阶导数
一、解析函数高阶导数公式一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导数，它的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表示．这一点跟实变函数完全不同，一个实变函数在某一区间上可导，它的导数在这个区间上是否连续也不一定,更不要说有高阶导数存在了．下面我们讨论解析函数的各阶导数的解析问题．
1 ( )()
2 C
ff z d z
iz
我们将柯西公式,形式在积分号下对 求导得：
2
1 ( )( ),
2 ( )C
ff z d
iz
再继续又可得：
3
2 ! ( )( ),
2 ( )C
ff z d
iz
() ()nn f z依次类推,阶导数 的可能形式是：
()
1
! ( )( ),
2 ( )
n
nC
nff z d
iz
这是求导与积分两种运算允许交换的条件下推出的，这样作是否可行呢？我们对此加以讨论．
2009-7-30 43
定理 10,()f z C D D D C设函数 在简单闭曲线 所围成的区域 内解析，而且在
()f z D D z上解析，则函数 的各阶导数均在 内解析，对 内任一点,有
()
1
! ( )( ),( 1,2,),
2 ( )
n
nC
nff z d n
iz
证明,1z D n?设 为 内的任意一点，先证明 的情况，即
2
1 ( )( ),
2 ( )C
ff z d
iz
0
( ) ( )( ) l i m
z
f z z f zfz
z
根据导数定义：,
由柯西积分公式得：
1 ( )( ),
2 C
ff z d
iz
1 ( )() 2 C ff z z di z z
0
1 1 1( ) l im ( ) [ ]
2 Czf z f di z z z z
0
1 ( )l im
2 ( ) ( )Cz
f d
i z z z
2009-7-30 44
2
1 ( ) ( )
2 ( ) ( )C
f z z z d
i z z z
22
1 ( ) 1 ( )
2 ( ) 2 ( ) ( )CC
f zfdd
i z i z z z
设后一个积分为,那么
2
1 ( )
2 ( ) ( )C
zf d
z z z
2
()1
2 ( ) ( )C
zf ds
z z z
( ),f z C C C因为 在 上解析，所以 上连续，故在 上有界
0 ( ),M f z M因此一定存在一个,使
1
2d z C z z d设 为从 到曲线 各点的最短距离，并且取 适当小，使满足,
11,zd
zd那么有,
| | | | | |,2dz z z z于是 12||z z d
3,( )
MLz L C
d所以 为 之长
2009-7-30 45
00z当 时，,从而有
2
1 ( )( ),
2 ( )C
ff z d
iz
.这证明了解析函数仍是解析函数
nk?要完成定理的证明，只需应用数学归纳法，设 时公式成立，
1nk证明 时也成立，即证明下式：
( ) ( )( ) ( )kkf z z f z
z
22
1 ( 1 ) ! ( ) ( 1 ) ! ( )[]
2 ( ) 2 ( )kkCC
k f k fdd
z i z z i z
1
0 2
( 1 ) ! ( )0 ( ),
2 ( )
k
kC
kfz f z d
iz
当 时，有说明：（ 1）此公式可理解为把柯西公式 1 ( )()
2 C
ff z d
iz
zn两边对 求 阶导，右边在积分号内求导，即 ()
1
! ( )()
2 ( )n nC
nff z d
iz
（ 2）高阶导数公式的作用不在于通过积分来求导，而在于通过求导来积分，即
()
01
0
( ) 2 ( ),
( ) !
n
nC
f z idz f z
z z n
2009-7-30 46
例
1．
1.C z r求下列积分的值，其中为正向圆周：
5
c o s(1),
( 1)C
z dz
z
22( 2 ),( 1 )
z
C
e dz
z
解：
5
c o s 1 c o s
( 1 )
z C z z C
z
(1) 函数 在 内除 外处处解析，而 在 内处处解析，因此有：
5
cos
( 1)C
z dz
z
( 4 ) 41122( c o s ) | c o s |( 5 1 ) ! 4 !zziizz 5,
12i
22( 2 ) ( 1 )
ze C z i
z函数 在 内的 处不解析，
12C i C i C?我们在 内作以为中心的正向圆周,以 为中心的正向圆周,
1222( 1 )
ze C C C
z?那么函数 在由,和 所围成的区域内是解析的，
根据复合闭路定理：
122 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
z z z
C C C
e e edz dz dz
z z z
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12
22( ) ( )
( ) ( )
zz
CC
ee
z i z id z d z
z i z i
22
22
( 2 1 ) ! ( ) ( 2 1 ) ! ( )
zz
z i z i
i e i e
z i z i
22
44
( ) 2( ) ( ) 2( )2 [ ] 2 [ ]
( ) ( )
z z z z
z i z i
e z i e z i e z i e z iii
z i z i
( 4 4 ) ( 4 4 )2 ( ) 2 ( )
16 16
iie i e iii
( 1 ) ( 1 ) []
2 2 2 2
i i i i i ii e i e e e e eii
i
22[ sin 1 c o s 1 ] 2 [ sin 1 c o s 1 ]
22i i i
2 s in (1 ).4i
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例
2,3
,1,2,( 1 ) ( 2 )C dz C z r rz z z计算积分 的值，其中 为解,(1 ) 0 1 ( )
( 1 ) ( 2 )
dzr f z
zz当 时，设,
()f z C则 在 内解析,根据高阶导数公式：
3
( ) 2 ( 0 ) ( 0 ),
( 3 1 ) !C
f z id z f if
z
1 2
2
23
6 6 6 3( ),( 0),
( 2) 4
zzf z f
zz
而 3,4 i于是,=
12( 2 ) 1 2 0 1r C C C当 时，在 内以 为中心作,以 为中心作圆周,
根据复合闭路定理有：
1233( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )CC
d z d z
z z z z z z 12
3
3
11
( 1 ) ( 2) ( 2)
( 1 )CC
z z z zdz dz
zz
13
3 1 3 2 12 [ ],
4 ( 2 ) 4 3 1 2zi i i i izz
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12( 3 ) 2 0 1r C C C当 时，在 内以 为中心作圆周,以 为中心作圆周,
32 C以 为中心作圆周,则
1 2 33 3 3( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )C C C
d z d z d z
z z z z z z z z z
1 2 3
33
3
1 1 1
( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 )
( 1 ) ( 2 )C C C
z z z z z zd z d z d z
z z z
3
3
1
1 ( 1 )
12 ( 2)C
zzi dz
z?
23
112 [ ]
1 2 ( 1 ) zii zz
11 0.
1 2 1 2ii
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例
3,3 0 1,( 1 )
z
C
e dz C
zz计算积分,其中 是不经过 与的简单光滑闭曲线解：
10
1C
2C 3C
4C
3 0(1 )
z
C
e dz
zz
(1) 根据柯西 古萨基本定理得：
(2) 根据柯西积分公式得：
3
3
(1 )
(1 )
z
z
CC
e
e zd z d z
z z z
032 [ ] 2,(1 )
z
z
eii
z
(3) 根据高阶导数公式得：
33(1 ) ( 1 )
zz
CC
ee
d z d zzz
1
2,
2!
z
z
e ei
z
(4) 根据复合闭路定理得：
12
3
3 3 3
( 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
z z
zz
C C C C
e e
ee z zd z d z d z d z
z z z z z z
2 ( 2 ),i e i e i
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二、刘维尔（ Liouville） 定理由高阶导数公式我们可以推出几个重要结果．
定理 11：
00( ) | | | | | ( ) |f z z z R z z R f z M设函数 在 内解析，由当 时，,则有
() 0 !| ( ) |,1,2,n
n
nMf z n
R(柯西不等式)
证明,00 ) ( ) | |R R R f z z z R对于任意的,(,函数 在 上解析，
故由高阶导数公式：
0
() 0
1| | ' 0
! ( )( ),1,2,
2 ( )n nz z R
n f zf z dz n
i z z
0
()
0 1| | '
0
! | ( ) | !| ( ) | | |
2 | | n
n
n Rz z R
n f z n Mf z d z
zz由条件：
() 0 !' | ( ) |,n
n
nMR R f z
R令,便得：
.由该不等式可以推出另一个重要定理
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刘维尔（ Liouville） 定理,()fz设函数 在全平面上解析且有界，
()fz则函数 为常数.
证明：
0zR设 为平面上任意一点，对任意正数,
0( ) | |f z z z R函数 在 内为解析，
( ) | ( ) |f z f z M?由函数 的全平面有界，设,
0| ( ) |
Mfz
R由柯西不等式得到：,
0( ) 0R f z令,即得,
0 ( ) 0z f z由 的任意性，知在全平面上有,
( ),fz故函数 为常数
