第三章 模态分析
3.1 为什么要计算固有频率和模态评估结构的动力学特性。如安装在结构上的旋转设备，为避免其过大的振动，必须看转动部件的频率是否接近结构的任何一阶固有频率。
评估载荷的可能放大因子。
使用固有频率和正交模态，可以指导后续动态分析（如瞬态分析、响应谱分析、瞬态分析中时间步长的选取等）
使用固有频率和正交模态，在结构瞬态分析时，可以用模态扩张法指导实验分析，如加速度传感器的布置位置。
评估设计
3.2 模态分析理论考虑假设其解为代入得到特征方程或其中，
对N自由度系统，有N个固有频率（，j=1,2,…,N）,特征频率，基本频率或共振频率。
与固有频率对应的特征向量称为自然模态或模态形状，模态形状对应于结构扰度图当结构振动时，在任意时刻，结构的形状为它的模态的线性组合
例子：
3.3 自然模态与固有频率性质正交性
（2）的单位
单位为rad/s,也可以表示为Hz (cycles/seconds),二者换算关系为
（3）刚体模态
图为一未约束结构，有刚体模态
如果结构完全未约束，有刚体模态存在（应力-自由模态）或机构运动，至少有一固有频率为0。
（4）自然模态的倍数依然为自然模态如：
代表相同的振动模态
（5）模态的标准化
3.4 模态能量
（1）应变-位移关系
（2）应力-应变关系
（3）静力-位移关系
（4）单元应变能因此，对给定的模态位移模态应变为模态应力为模态力为模态应变能为
3.5 特征值解法对于方程
MSC/NASTRAN提供三类解法
跟踪法 （Tracking method）
变换法 （Tromsformation method）
兰索士法（Lamczos method）
3.5.1 跟踪法跟踪法解特征值问题，实质是迭代法。
对仅求几个特征值（或固有频率）的问题是一种方便方法。
MSC/NASTRAN中，提供两种迭代解法，即为逆幂法（INV）和移位逆幂法（SINV）
前者存在丢根现象；后者采用STRUM系列，避免丢根，改善收敛性。
逆幂法和移位逆幂法均用模型数据卡EIGR来定义，并用情况控制指令METHOD来选取。
3.5.2 变换法特征方程变换为：
式中矩阵[A]是用Givens法或Householder法变换得到的三角矩阵，一次求解可得全部特征值。
对于维数小、元素满的矩阵，且需求全部或大部分特征值问题十分有效；
MSC/NASTRAN提供Givens法（GIV）和修正MGIV法；
MSC/NASTRAN提供郝斯厚德(HOU)法和修正郝斯厚德(MHOU)法；
吉文斯（GIV）法和郝斯厚德 (HOU) 法要求[M]矩阵正定；修正吉文斯法（MGIV）与修正的郝斯厚德法(MHOU)允许[M]是奇异的，从而可求解刚体模态；
变换法用模型数据卡EIGR来描述，用情况控制METHOD选取。
5.3.3兰索士(Lanczos)法兰索士(Lanczos)法是一种将跟踪法和变换组合起来的新的特征值解法;
对计算非常大的稀疏矩阵几个特征值问题最有效;
兰索士法用模型数据卡EIGRL描述，用情况控制METHOD选取。
5.3.4 特征值方法比较上面介绍特征值解法各有用处。比较而言，兰索士法首先推荐的
变换法
跟踪法
兰索士法
最有效的应用
小的密的矩阵许多特征值
大而稀疏的矩阵许多特征值
非常大的特征值问题
会丢根吗？
HOU
GIV
MHOU
MGIV
INV
SINV
不会
不会
不会
会
不会
允许奇异质量矩阵吗？
否
是
是
是
是
得到的特征值数量
一次求解得全部特征值
一个，接近移位点
几个，接近移位点
计算量级
N为刚度矩阵的维数，B为半带宽，E为特征值个数
5.3.5 Lanczos法卡片
5.3.6 模态分析求解控制执行控制情况控制数据模型
（4）输出控制
a)结点输出
b)单元输出
c)其他
5.3.7 模态分析例子问题：平板的模态分析
（1）结点与单元载荷与边界条件
（3）材料与几何
（4）输入文件
（a）几何模型文件plate.bdf
$ geometric input file for plate model
PSHELL 1 1,1 1 1
CQUAD4 1 1 1 2 13 12
CQUAD4 2 1 2 3 14 13
CQUAD4 3 1 3 4 15 14
CQUAD4 4 1 4 5 16 15
CQUAD4 5 1 5 6 17 16
CQUAD4 6 1 6 7 18 17
CQUAD4 7 1 7 8 19 18
CQUAD4 8 1 8 9 20 19
CQUAD4 9 1 9 10 21 20
CQUAD4 10 1 10 11 22 21
CQUAD4 11 1 12 13 24 23
CQUAD4 12 1 13 14 25 24
CQUAD4 13 1 14 15 26 25
CQUAD4 14 1 15 16 27 26
CQUAD4 15 1 16 17 28 27
CQUAD4 16 1 17 18 29 28
CQUAD4 17 1 18 19 30 29
CQUAD4 18 1 19 20 31 30
CQUAD4 19 1 20 21 32 31
CQUAD4 20 1 21 22 33 32
CQUAD4 21 1 23 24 35 34
CQUAD4 22 1 24 25 36 35
CQUAD4 23 1 25 26 37 36
CQUAD4 24 1 26 27 38 37
CQUAD4 25 1 27 28 39 38
CQUAD4 26 1 28 29 40 39
CQUAD4 27 1 29 30 41 40
CQUAD4 28 1 30 31 42 41
CQUAD4 29 1 31 32 43 42
CQUAD4 30 1 32 33 44 43
CQUAD4 31 1 34 35 46 45
CQUAD4 32 1 35 36 47 46
CQUAD4 33 1 36 37 48 47
CQUAD4 34 1 37 38 49 48
CQUAD4 35 1 38 39 50 49
CQUAD4 36 1 39 40 51 50
CQUAD4 37 1 40 41 52 51
CQUAD4 38 1 41 42 53 52
CQUAD4 39 1 42 43 54 53
CQUAD4 40 1 43 44 55 54
MAT1 1 3.+7,3,282
GRID 1 0,0,0.
GRID 2,5 0,0.
GRID 3 1,0,0.
GRID 4 1.5 0,0.
GRID 5 2,0,0.
GRID 6 2.5 0,0.
GRID 7 3,0,0.
GRID 8 3.5 0,0.
GRID 9 4,0,0.
GRID 10 4.5 0,0.
GRID 11 5,0,0.
GRID 12 0.,5 0.
GRID 13,5,5 0.
GRID 14 1.,5 0.
GRID 15 1.5,5 0.
GRID 16 2.,5 0.
GRID 17 2.5,5 0.
GRID 18 3.,5 0.
GRID 19 3.5,5 0.
GRID 20 4.,5 0.
GRID 21 4.5,5 0.
GRID 22 5.,5 0.
GRID 23 0,1,0.
GRID 24,5 1,0.
GRID 25 1,1,0.
GRID 26 1.5 1,0.
GRID 27 2,1,0.
GRID 28 2.5 1,0.
GRID 29 3,1,0.
GRID 30 3.5 1,0.
GRID 31 4,1,0.
GRID 32 4.5 1,0.
GRID 33 5,1,0.
GRID 34 0,1.5 0.
GRID 35,5 1.5 0.
GRID 36 1,1.5 0.
GRID 37 1.5 1.5 0.
GRID 38 2,1.5 0.
GRID 39 2.5 1.5 0.
GRID 40 3,1.5 0.
GRID 41 3.5 1.5 0.
GRID 42 4,1.5 0.
GRID 43 4.5 1.5 0.
GRID 44 5,1.5 0.
GRID 45 0,2,0.
GRID 46,5 2,0.
GRID 47 1,2,0.
GRID 48 1.5 2,0.
GRID 49 2,2,0.
GRID 50 2.5 2,0.
GRID 51 3,2,0.
GRID 52 3.5 2,0.
GRID 53 4,2,0.
GRID 54 4.5 2,0.
GRID 55 5,2,0.
SPC1 1 12345 1 12 23 34 45
（b）Nastran输入文件
ID SEMINAR,PROB1
SOL 103
TIME 600
CEND
TITLE = NORMAL MODES EXAMPLE
ECHO = UNSORTED
SUBCASE 1
SUBTITLE= USING LANCZOS
METHOD = 1
SPC = 1
VECTOR=ALL
BEGIN BULK
PARAM COUPMASS 1
PARAM WTMASS,00259
EIGRL 1 10 0
PSHELL 1 1,1 1 1
CQUAD4 1 1 1 2 13 12
=,*1,=,*1,*1,*1,*1
=8
CQUAD4 11 1 12 13 24 23
=,*1,=,*1,*1,*1,*1
=8
CQUAD4 21 1 23 24 35 34
=,*1,=,*1,*1,*1,*1
=8
CQUAD4 31 1 34 35 46 45
=,*1,=,*1,*1,*1,*1
=8
MAT1 1 3.+7,3,282
GRID 1 0,0,0.
=,*1,=,*0.5,==
=9
GRID 12 0.,5 0.
=,*1,=,*0.5,==
=9
GRID 23 0,1,0.
=,*1,=,*0.5,==
=9
GRID 34 0,1.5 0.
=,*1,=,*0.5,==
=9
GRID 45 0,2,0.
=,*1,=,*0.5,==
=9
SPC1 1 12345 1 12 23 34 45
ENDDATA
3.1 为什么要计算固有频率和模态评估结构的动力学特性。如安装在结构上的旋转设备，为避免其过大的振动，必须看转动部件的频率是否接近结构的任何一阶固有频率。
评估载荷的可能放大因子。
使用固有频率和正交模态，可以指导后续动态分析（如瞬态分析、响应谱分析、瞬态分析中时间步长的选取等）
使用固有频率和正交模态，在结构瞬态分析时，可以用模态扩张法指导实验分析，如加速度传感器的布置位置。
评估设计
3.2 模态分析理论考虑假设其解为代入得到特征方程或其中，
对N自由度系统，有N个固有频率（，j=1,2,…,N）,特征频率，基本频率或共振频率。
与固有频率对应的特征向量称为自然模态或模态形状，模态形状对应于结构扰度图当结构振动时，在任意时刻，结构的形状为它的模态的线性组合
例子：
3.3 自然模态与固有频率性质正交性
（2）的单位
单位为rad/s,也可以表示为Hz (cycles/seconds),二者换算关系为
（3）刚体模态
图为一未约束结构，有刚体模态
如果结构完全未约束，有刚体模态存在（应力-自由模态）或机构运动，至少有一固有频率为0。
（4）自然模态的倍数依然为自然模态如：
代表相同的振动模态
（5）模态的标准化
3.4 模态能量
（1）应变-位移关系
（2）应力-应变关系
（3）静力-位移关系
（4）单元应变能因此，对给定的模态位移模态应变为模态应力为模态力为模态应变能为
3.5 特征值解法对于方程
MSC/NASTRAN提供三类解法
跟踪法 （Tracking method）
变换法 （Tromsformation method）
兰索士法（Lamczos method）
3.5.1 跟踪法跟踪法解特征值问题，实质是迭代法。
对仅求几个特征值（或固有频率）的问题是一种方便方法。
MSC/NASTRAN中，提供两种迭代解法，即为逆幂法（INV）和移位逆幂法（SINV）
前者存在丢根现象；后者采用STRUM系列，避免丢根，改善收敛性。
逆幂法和移位逆幂法均用模型数据卡EIGR来定义，并用情况控制指令METHOD来选取。
3.5.2 变换法特征方程变换为：
式中矩阵[A]是用Givens法或Householder法变换得到的三角矩阵，一次求解可得全部特征值。
对于维数小、元素满的矩阵，且需求全部或大部分特征值问题十分有效；
MSC/NASTRAN提供Givens法（GIV）和修正MGIV法；
MSC/NASTRAN提供郝斯厚德(HOU)法和修正郝斯厚德(MHOU)法；
吉文斯（GIV）法和郝斯厚德 (HOU) 法要求[M]矩阵正定；修正吉文斯法（MGIV）与修正的郝斯厚德法(MHOU)允许[M]是奇异的，从而可求解刚体模态；
变换法用模型数据卡EIGR来描述，用情况控制METHOD选取。
5.3.3兰索士(Lanczos)法兰索士(Lanczos)法是一种将跟踪法和变换组合起来的新的特征值解法;
对计算非常大的稀疏矩阵几个特征值问题最有效;
兰索士法用模型数据卡EIGRL描述，用情况控制METHOD选取。
5.3.4 特征值方法比较上面介绍特征值解法各有用处。比较而言，兰索士法首先推荐的
变换法
跟踪法
兰索士法
最有效的应用
小的密的矩阵许多特征值
大而稀疏的矩阵许多特征值
非常大的特征值问题
会丢根吗？
HOU
GIV
MHOU
MGIV
INV
SINV
不会
不会
不会
会
不会
允许奇异质量矩阵吗？
否
是
是
是
是
得到的特征值数量
一次求解得全部特征值
一个，接近移位点
几个，接近移位点
计算量级
N为刚度矩阵的维数，B为半带宽，E为特征值个数
5.3.5 Lanczos法卡片
5.3.6 模态分析求解控制执行控制情况控制数据模型
（4）输出控制
a)结点输出
b)单元输出
c)其他
5.3.7 模态分析例子问题：平板的模态分析
（1）结点与单元载荷与边界条件
（3）材料与几何
（4）输入文件
（a）几何模型文件plate.bdf
$ geometric input file for plate model
PSHELL 1 1,1 1 1
CQUAD4 1 1 1 2 13 12
CQUAD4 2 1 2 3 14 13
CQUAD4 3 1 3 4 15 14
CQUAD4 4 1 4 5 16 15
CQUAD4 5 1 5 6 17 16
CQUAD4 6 1 6 7 18 17
CQUAD4 7 1 7 8 19 18
CQUAD4 8 1 8 9 20 19
CQUAD4 9 1 9 10 21 20
CQUAD4 10 1 10 11 22 21
CQUAD4 11 1 12 13 24 23
CQUAD4 12 1 13 14 25 24
CQUAD4 13 1 14 15 26 25
CQUAD4 14 1 15 16 27 26
CQUAD4 15 1 16 17 28 27
CQUAD4 16 1 17 18 29 28
CQUAD4 17 1 18 19 30 29
CQUAD4 18 1 19 20 31 30
CQUAD4 19 1 20 21 32 31
CQUAD4 20 1 21 22 33 32
CQUAD4 21 1 23 24 35 34
CQUAD4 22 1 24 25 36 35
CQUAD4 23 1 25 26 37 36
CQUAD4 24 1 26 27 38 37
CQUAD4 25 1 27 28 39 38
CQUAD4 26 1 28 29 40 39
CQUAD4 27 1 29 30 41 40
CQUAD4 28 1 30 31 42 41
CQUAD4 29 1 31 32 43 42
CQUAD4 30 1 32 33 44 43
CQUAD4 31 1 34 35 46 45
CQUAD4 32 1 35 36 47 46
CQUAD4 33 1 36 37 48 47
CQUAD4 34 1 37 38 49 48
CQUAD4 35 1 38 39 50 49
CQUAD4 36 1 39 40 51 50
CQUAD4 37 1 40 41 52 51
CQUAD4 38 1 41 42 53 52
CQUAD4 39 1 42 43 54 53
CQUAD4 40 1 43 44 55 54
MAT1 1 3.+7,3,282
GRID 1 0,0,0.
GRID 2,5 0,0.
GRID 3 1,0,0.
GRID 4 1.5 0,0.
GRID 5 2,0,0.
GRID 6 2.5 0,0.
GRID 7 3,0,0.
GRID 8 3.5 0,0.
GRID 9 4,0,0.
GRID 10 4.5 0,0.
GRID 11 5,0,0.
GRID 12 0.,5 0.
GRID 13,5,5 0.
GRID 14 1.,5 0.
GRID 15 1.5,5 0.
GRID 16 2.,5 0.
GRID 17 2.5,5 0.
GRID 18 3.,5 0.
GRID 19 3.5,5 0.
GRID 20 4.,5 0.
GRID 21 4.5,5 0.
GRID 22 5.,5 0.
GRID 23 0,1,0.
GRID 24,5 1,0.
GRID 25 1,1,0.
GRID 26 1.5 1,0.
GRID 27 2,1,0.
GRID 28 2.5 1,0.
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GRID 30 3.5 1,0.
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GRID 43 4.5 1.5 0.
GRID 44 5,1.5 0.
GRID 45 0,2,0.
GRID 46,5 2,0.
GRID 47 1,2,0.
GRID 48 1.5 2,0.
GRID 49 2,2,0.
GRID 50 2.5 2,0.
GRID 51 3,2,0.
GRID 52 3.5 2,0.
GRID 53 4,2,0.
GRID 54 4.5 2,0.
GRID 55 5,2,0.
SPC1 1 12345 1 12 23 34 45
（b）Nastran输入文件
ID SEMINAR,PROB1
SOL 103
TIME 600
CEND
TITLE = NORMAL MODES EXAMPLE
ECHO = UNSORTED
SUBCASE 1
SUBTITLE= USING LANCZOS
METHOD = 1
SPC = 1
VECTOR=ALL
BEGIN BULK
PARAM COUPMASS 1
PARAM WTMASS,00259
EIGRL 1 10 0
PSHELL 1 1,1 1 1
CQUAD4 1 1 1 2 13 12
=,*1,=,*1,*1,*1,*1
=8
CQUAD4 11 1 12 13 24 23
=,*1,=,*1,*1,*1,*1
=8
CQUAD4 21 1 23 24 35 34
=,*1,=,*1,*1,*1,*1
=8
CQUAD4 31 1 34 35 46 45
=,*1,=,*1,*1,*1,*1
=8
MAT1 1 3.+7,3,282
GRID 1 0,0,0.
=,*1,=,*0.5,==
=9
GRID 12 0.,5 0.
=,*1,=,*0.5,==
=9
GRID 23 0,1,0.
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=9
GRID 34 0,1.5 0.
=,*1,=,*0.5,==
=9
GRID 45 0,2,0.
=,*1,=,*0.5,==
=9
SPC1 1 12345 1 12 23 34 45
ENDDATA
