第二章 正投影法基础
2.1投影的形成及常用的投影方法
2.2点的投影
2.3直线的投影
2.4平面的投影
2.5直线与平面及两平面的相对位置基本体与几何要素棱线 顶点棱面 底面母线轴线
2·1 投影的形成及常用的投影方法投影方法中心投影法平行投影法斜投影法正投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图中心投影法物体投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。
P P
投射线投影投影中心投影大小随物体位置改变平行投影法正投影 斜投影投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。
P P
教学楼（透视图）
机械零件 —箱体（轴测）
齿轮（轴测）
机械零件图 ——轴（工程图）
阀体（轴测）
P
b?●A
P
B1
●B2
●B3
●
一、点在一个投影面上的投影
a?
●
点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。
2·2 点的投影
●
采用多面投影，可确定点的空间位置 。
二、点的三面投影投影轴
OX轴 V面与 H面的交线
OZ轴 V面与 W面的交线
OY轴 H面与 W面的交线
H
W
V
oX
Z
Y
三面体投影体系
W
H
V
oX
空间点 A在三投影面体系上的投影
a? 点 A的正面投影
a 点 A的水平投影
a? 点 A的侧面投影
a?●
a●
a?●
A●
Z
Y
空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。
① a?a⊥OX 轴
② aax= a?az=y=A到 V面的距离
a?ax= a?ay=z=A到 H面的距离
● ●
●
●
X
Y
Z
O
V
H
W
A
a
a?
a
xa
az
a y ●
●
Y
Z az a?
X
Y
ayO
a
ax
ay
a?●
a?a?⊥OZ 轴
aay= a?az=x=A到 W面的距离
Y坐标相等连影垂轴点的投影规律例 1：已知点的两个投影，求第三投影。
●
●
a?
a
ax
● a?●
●
a?
a
ax
az
az
解法一,
解法二,
a?●
通过作 45°
线使 a?az=aax
用圆规直接量取 a?az=aax
三、两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的 上下、前后、左右位置关系。
判断方法：
B点在 A点 之前、
之右、之下。
x 坐标 大 的在 左
y 坐标 大 的在 前
z 坐标 大 的在 上
X
YH
YW
Z
O
b
a
b?
a? a?
b?
空间两点在某一投影面上的 投影重合为一点 时，则称此两点为 该投影面的重影点。
A,B为 V面的重影点重影点
●
●
●
X
Y
Z
O
V
H
W
A
a
a?
a?(b’)
xa
az
a y
●
B
b
b’’被挡住的投影加 ( )
b’’(c’’)
a’’
a b c
a’’
b’’
c’’
a’
b’
c’
例 2：已知各点的两个投影，求其 第三 投影。
(2)
b
a’
b’ c’
(1)
a(c)
a
a? a?
b?b?
b
●
●
●
●
●
●两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。
⒈ 直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性
A
B
●
●
●
●
a
b
直线平行于投影面投影反映线段实长
ab=AB
直线垂直于投影面投影重合为一点
ab=0 积聚性
A
M
B●
a≡b≡m●
●
●
●
●
a
b
αA
B
●
●
2.4 直线的投影直线倾斜于投影面投影比空间线段
ab=AB acos
⒉ 空间直线在三投影面中的投影特性投影面平行线 平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线正平线（平行于Ｖ面）
侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
垂直于某一投影面正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
b?
a?
ab
a?
b? b?
a
a?
b?
b
a?
投影面平行线
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角 。
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
水平线 侧平线正平线
γ
投 影 特 性：
与 H面的夹角,α 与 V面的角,β 与 W面的夹角,γ
实长实长 实长
β
γ
α α
β
b
a?
a
a? b? b?
投影面平行线
B
a
H
X
V
b'
O
a
b
b"
Y
A
'
"a
W
投影面垂直线铅垂线 正垂线 侧垂线
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性 。
投影特性,
●
c?(d?)
c
d
d? c?
●
a?
b?
a(b)
a?
b?
●e?
f?
e f
e?(f?)
② 另外两个投影，反映线段实长；且垂直于相应的投影轴。
投影面垂直线
H
b'
X
V
'a
W
b
O
a
B
A
a "
b"
Y
一般位置直线投影特性：
三个投影都缩短了。即,
都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹 角，且与三根投影轴都倾斜。
X
V
a'
W
A
a
O
"a
Y
B
b'
b
b"
a
例 3：判断下列直线的位置
a' b'
a
b
a'
b'
a
b
b’’
a’’
例 4：已知立体上直线 AB,CD 的空间位置，
在投影图中标注其投影位置，并填空。
a’
b’ c’
d’
a
b
c （ d）
(c’’ )
(d ’’ )
铅垂一般位置
Z
b ’
a ’ c ’
X 0 Y w
c
a b
Y H
AB 是 线,反映 AB 实长；
AC 是 线。 反映 AC 实长正平线 a’b’
ac
b’’
a’’c’’
例 5,已知直线 AB,AC的两投影，求两直线的第三投影,并指出其空间位置和反映实长的投影。
水平线二、直线上的点判别方法,
A
B
C
V
H
b
c
c?
b?
a?
a
若点的投影有一个不在直线的同名投影上,则该点必不在此直线上。
若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。
并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：
AC/CB=ac/cb= a?c? / c?b?
定比定理例 6：判断点 C是否在线段 AB上。
a
bc
a?
b?
c?① c?
②
a
b
c
a?
b?
●
点 C在直线 AB上点 C不 在直线 AB上例 7：判断点 K是否在线段 AB上。
a?
b?
● k?
因 k?不在 a? b?上，
故点 K不在 AB上。
还可 应用定比定理 来解答此题
a
b
k
a?
b?
k?
●
●
三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置可分为：
两直线平行两直线相交两直线交叉（异面）
⒈ 两直线平行空间两直线平行，
则其各 同名投影 必相互平行，反之亦然。
投影特性：
a
V
H
c?
b
c
d
A
B
C D
b? d?
a?
a b c d
c?a?
b? d?
例 8：判断图中两条直线是否平行。
对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。
AB//CD
①
b? d?
c?
a?
c
b
ad
d?
b?
a?
c?
对于投影面平行线，只有两个同名投影互相平行，空间直线 不一定 平行。
例 9：判断图中两条直线是否平行。
②
求出侧面投影后可知
AB与 CD不平行要用两个投影判断空间两直线是否平行时，
其中应包括 反映实长 的投影。
H
V
A B
C
DK
a
bc
d
k
a?
b?c? k?
d?
a
bc
d
b?
a?
c?
d?
k
k?
⒉ 两直线相交判别方法：
若空间两直线相交,则其同名投影必相交，
且交点的投影必须符合点的投影规律。
交点 K是两直线的共有点
d?
b?
a?
a
b
c
d
c?
1?(2? )
3(4 )
投影特性：
★ 同名投影可能相交，但
,交点,不符合空间点的投影规律。
★,交点,是两直线上的一 对 重影点的投影,用其可帮助判断两直线的空间位置。
●
●
1
2●
●
3?
4?●
●
两直线相交吗？为什么？
H
V
思考：
3,两直线交叉（异面）
二、平面的投影特性平行 垂直 倾斜投 影 特 性
★ 平面平行投影面 -----实形性
★ 平面垂直投影面 -----积聚性
★ 平面倾斜投影面 -----相似性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类,
投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，
倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，
垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面投影面垂直面
b
H
B
b'
V
a
c'
'
c"
O
a
c
A
C
"a
Y
b"
W
a
b
c
a? c?
b?
c?
b?
a?
积聚性
γ
β
投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影具相似性。
铅垂面相似性实形性投影面平行面
a? b? c? a? b?c?
a
b
c
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个面上的投影分别积聚成与相应投影轴平行的直线。
B
b
b'
V
c'
c"
ac
A
C
'a
"a
O
Y
W
b"
Z
积聚性一般位置平面
a?
b?
c?
a?
c?
b?
a
b
c
三个投影都相似。
投影特性：
X
V
Z
a'
b'
c'
A
a
B
b
c
a"
c"
b"
C
Y
三、平面上的直线和点
⒈ 平面上取任意直线判断直线在平面内的依据定理一,
若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内,
定理二,
若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内,
a
b
c
b?
c?
a?
a
b
c
b?
c?
a?
d?
m
n
n?m?
d
例 10：已知平面由直线 AB,AC所确定，试在平面内任作一条直线。
解法一,解法二：
根据定理一根据定理二例 11：在平面 ABC内作一条水平线，使其到 H面的距离为 10mm。
n?m?
n
m
10 c?
a?
b?
c
a
b
试想直线 mn
是否唯一呢?
是唯一的！
⒉ 平面上取点先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例 1：已知 K点在平面 ABC上，求 K点的水平投影。
b
①
a
c
c?
a?
k?
b?
●
面上取点的方法：
首先面上取线
②
●
a
b
c
a?
b?
k?
c?
d?
d
利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解
k●k●
b
c
ka
d
a?
d?
b?
c?
a
d
a?
d?
b?
c?k?
b
c
例 12：已知 AC为正平线，补全平行四边形 ABCD
的水平投影。
解法一 解法二例 13:已知立体上平面 P,Q,R的空间位置，在投影图中标注其投影位置,并填空 。
r’
p
r’’
q’’
水平铅垂侧垂
r
p’
p’
q’
q
（ 1） （ 2）
是 面 是 面例 14:已知平面的两个投影,求作其第三投影,并填空。
铅垂 侧垂
2.5 直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括 平行,相交 和 垂直 。
一、平行问题 直线与平面平行平面与平面平行
⒈ 直线与平面平行定理：
若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。
n?
●
●
a?
c?
b?
m?
a
b
c m
n
例 15：过 M点作直线 MN平行于平面 ABC。
Abc为平面内的任一直线试想,可作多少条这样的直线 MN?
无数条 !
●
●
正平线例 16：过 M点作直线 MN平行于 V面和平面 ABC。
c?
●
b?
a? m?
a
b
c
m n
n?
● ●
●
试想,可作多少条这样的直线 MN?
唯一的一条 !
⒉ 两平面平行
① 若一平面上的 两相交直线 对应平行于另一平面上的 两相交直线,则这两平面相互平行。
② 若两 投影面垂直面 相互平行，则它们具有 积聚性 的那组投影必相互平行。
f?
h?
a bc
d
e
f h
a?
b?
c?
d?
e?
c?
f?b?
d?
e?
a?
a
b
c
d e
f
二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交
⒈ 直线与平面相交其 交点 是 直线与平面 的 公共点。
要讨论的问题：
● 求 直线与平面的 交点 ;
● 判别可见性,即判别两者之间的相互遮挡关系。
P
a b
cm
n
c?
n?b?
a?
m?
⑴ 平面为特殊位置例 17：求直线 MN与平面 ABC的交点 K并判别可见性。
空间及投影分析平面 ABC是一铅垂面，
其水平投影积聚成一条直线，该直线与 mn的交点即为 K点的水平投影
① 求交点
② 判别可见性由水平投影可知,KN段在平面前，故正面投影上 k?n?为可见。
还可通过重影点判别可见性。
k?●1?
(2?)
作 图
k
●
●
2●
1●
k
m(n)
b
●
m?
n?
c?
b?
a?
a
c
⑵ 直线为特殊位置空间及投影分析直线 MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点 K的水平投影也积聚在该点上。
① 求交点
② 判别可见性点 Ⅰ 位于平面上，在前；点 Ⅱ 位于 MN上，在后。
故 k? 2?为不可见。
1?(2?)
k?●
2●
1●
●
作图 用面上取点法
X
V
Z
a'
b'
c'
A
a
B
b
c
a"
c"
b"
C
Y
（ 3）直线和平面都在一般位置直线和平面的交点的投影必为平面和直线的投影的共有点,且满足投影规律,
⒉ 两平面相交两平面相交其交线为直线,交线是两平面的共有线,同时 交线上的点都是两平面的共有点。
要讨论的问题：
① 求 两平面的 交线方法,确定两平面的 两个共有点 。
确定 一个共有点及交线的方向。
只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即 判别可见性。
还可通过正面投影直观地进行判别。
a
b
c
d
e
f
c?
f?
d?
b? e?a?
m?(n?)
空间及投影分析平面 ABC与 DEF都为 正垂面,其正面投影都积聚成直线。 交线为正垂线,
只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。
① 求交线
② 判别可见性作 图
n●
m●
●
例 18：求两平面的交线并求 MN并判别可见性。
⑴
b?
c?
f? h?
a?
e?
a
b
c
e
f
h
1(2)
空间及投影分析平面 EFH是一水平面，
它的正面投影有积聚性。
a?b?与 e?f?的交点 m?,b?
c?与 f?h?的交点 n?即为两个共有点的正面投影，故 m?n?
即 MN的正面投影。
① 求交线
② 判别可见性点 Ⅰ 在 FH上，点 Ⅱ 在 BC上,点
Ⅰ 在上，点 Ⅱ 在下，故 fh可见，
n2不可见。
作 图m●
●
n?●
2?●
n●
m?● 1?●
⑵
c?
d?
e?
f?
a?
b?
a
b
cd
e
f
⑶
投影分析
N点的水平投影 n
位于 Δdef 的外面，
说明点 N位于 ΔDEF 所确定的平面内，但不在 ΔDEF 这个图形内。
故 ΔABC 和 ΔDEF 的交线应为 MK。n●
n?
●
m?
●
k●
m●
k?
●
互交
2.1投影的形成及常用的投影方法
2.2点的投影
2.3直线的投影
2.4平面的投影
2.5直线与平面及两平面的相对位置基本体与几何要素棱线 顶点棱面 底面母线轴线
2·1 投影的形成及常用的投影方法投影方法中心投影法平行投影法斜投影法正投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图中心投影法物体投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。
P P
投射线投影投影中心投影大小随物体位置改变平行投影法正投影 斜投影投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。
P P
教学楼（透视图）
机械零件 —箱体（轴测）
齿轮（轴测）
机械零件图 ——轴（工程图）
阀体（轴测）
P
b?●A
P
B1
●B2
●B3
●
一、点在一个投影面上的投影
a?
●
点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。
2·2 点的投影
●
采用多面投影，可确定点的空间位置 。
二、点的三面投影投影轴
OX轴 V面与 H面的交线
OZ轴 V面与 W面的交线
OY轴 H面与 W面的交线
H
W
V
oX
Z
Y
三面体投影体系
W
H
V
oX
空间点 A在三投影面体系上的投影
a? 点 A的正面投影
a 点 A的水平投影
a? 点 A的侧面投影
a?●
a●
a?●
A●
Z
Y
空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。
① a?a⊥OX 轴
② aax= a?az=y=A到 V面的距离
a?ax= a?ay=z=A到 H面的距离
● ●
●
●
X
Y
Z
O
V
H
W
A
a
a?
a
xa
az
a y ●
●
Y
Z az a?
X
Y
ayO
a
ax
ay
a?●
a?a?⊥OZ 轴
aay= a?az=x=A到 W面的距离
Y坐标相等连影垂轴点的投影规律例 1：已知点的两个投影，求第三投影。
●
●
a?
a
ax
● a?●
●
a?
a
ax
az
az
解法一,
解法二,
a?●
通过作 45°
线使 a?az=aax
用圆规直接量取 a?az=aax
三、两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的 上下、前后、左右位置关系。
判断方法：
B点在 A点 之前、
之右、之下。
x 坐标 大 的在 左
y 坐标 大 的在 前
z 坐标 大 的在 上
X
YH
YW
Z
O
b
a
b?
a? a?
b?
空间两点在某一投影面上的 投影重合为一点 时，则称此两点为 该投影面的重影点。
A,B为 V面的重影点重影点
●
●
●
X
Y
Z
O
V
H
W
A
a
a?
a?(b’)
xa
az
a y
●
B
b
b’’被挡住的投影加 ( )
b’’(c’’)
a’’
a b c
a’’
b’’
c’’
a’
b’
c’
例 2：已知各点的两个投影，求其 第三 投影。
(2)
b
a’
b’ c’
(1)
a(c)
a
a? a?
b?b?
b
●
●
●
●
●
●两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。
⒈ 直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性
A
B
●
●
●
●
a
b
直线平行于投影面投影反映线段实长
ab=AB
直线垂直于投影面投影重合为一点
ab=0 积聚性
A
M
B●
a≡b≡m●
●
●
●
●
a
b
αA
B
●
●
2.4 直线的投影直线倾斜于投影面投影比空间线段
ab=AB acos
⒉ 空间直线在三投影面中的投影特性投影面平行线 平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线正平线（平行于Ｖ面）
侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
垂直于某一投影面正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
b?
a?
ab
a?
b? b?
a
a?
b?
b
a?
投影面平行线
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角 。
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
水平线 侧平线正平线
γ
投 影 特 性：
与 H面的夹角,α 与 V面的角,β 与 W面的夹角,γ
实长实长 实长
β
γ
α α
β
b
a?
a
a? b? b?
投影面平行线
B
a
H
X
V
b'
O
a
b
b"
Y
A
'
"a
W
投影面垂直线铅垂线 正垂线 侧垂线
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性 。
投影特性,
●
c?(d?)
c
d
d? c?
●
a?
b?
a(b)
a?
b?
●e?
f?
e f
e?(f?)
② 另外两个投影，反映线段实长；且垂直于相应的投影轴。
投影面垂直线
H
b'
X
V
'a
W
b
O
a
B
A
a "
b"
Y
一般位置直线投影特性：
三个投影都缩短了。即,
都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹 角，且与三根投影轴都倾斜。
X
V
a'
W
A
a
O
"a
Y
B
b'
b
b"
a
例 3：判断下列直线的位置
a' b'
a
b
a'
b'
a
b
b’’
a’’
例 4：已知立体上直线 AB,CD 的空间位置，
在投影图中标注其投影位置，并填空。
a’
b’ c’
d’
a
b
c （ d）
(c’’ )
(d ’’ )
铅垂一般位置
Z
b ’
a ’ c ’
X 0 Y w
c
a b
Y H
AB 是 线,反映 AB 实长；
AC 是 线。 反映 AC 实长正平线 a’b’
ac
b’’
a’’c’’
例 5,已知直线 AB,AC的两投影，求两直线的第三投影,并指出其空间位置和反映实长的投影。
水平线二、直线上的点判别方法,
A
B
C
V
H
b
c
c?
b?
a?
a
若点的投影有一个不在直线的同名投影上,则该点必不在此直线上。
若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。
并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：
AC/CB=ac/cb= a?c? / c?b?
定比定理例 6：判断点 C是否在线段 AB上。
a
bc
a?
b?
c?① c?
②
a
b
c
a?
b?
●
点 C在直线 AB上点 C不 在直线 AB上例 7：判断点 K是否在线段 AB上。
a?
b?
● k?
因 k?不在 a? b?上，
故点 K不在 AB上。
还可 应用定比定理 来解答此题
a
b
k
a?
b?
k?
●
●
三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置可分为：
两直线平行两直线相交两直线交叉（异面）
⒈ 两直线平行空间两直线平行，
则其各 同名投影 必相互平行，反之亦然。
投影特性：
a
V
H
c?
b
c
d
A
B
C D
b? d?
a?
a b c d
c?a?
b? d?
例 8：判断图中两条直线是否平行。
对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。
AB//CD
①
b? d?
c?
a?
c
b
ad
d?
b?
a?
c?
对于投影面平行线，只有两个同名投影互相平行，空间直线 不一定 平行。
例 9：判断图中两条直线是否平行。
②
求出侧面投影后可知
AB与 CD不平行要用两个投影判断空间两直线是否平行时，
其中应包括 反映实长 的投影。
H
V
A B
C
DK
a
bc
d
k
a?
b?c? k?
d?
a
bc
d
b?
a?
c?
d?
k
k?
⒉ 两直线相交判别方法：
若空间两直线相交,则其同名投影必相交，
且交点的投影必须符合点的投影规律。
交点 K是两直线的共有点
d?
b?
a?
a
b
c
d
c?
1?(2? )
3(4 )
投影特性：
★ 同名投影可能相交，但
,交点,不符合空间点的投影规律。
★,交点,是两直线上的一 对 重影点的投影,用其可帮助判断两直线的空间位置。
●
●
1
2●
●
3?
4?●
●
两直线相交吗？为什么？
H
V
思考：
3,两直线交叉（异面）
二、平面的投影特性平行 垂直 倾斜投 影 特 性
★ 平面平行投影面 -----实形性
★ 平面垂直投影面 -----积聚性
★ 平面倾斜投影面 -----相似性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类,
投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，
倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，
垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面投影面垂直面
b
H
B
b'
V
a
c'
'
c"
O
a
c
A
C
"a
Y
b"
W
a
b
c
a? c?
b?
c?
b?
a?
积聚性
γ
β
投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影具相似性。
铅垂面相似性实形性投影面平行面
a? b? c? a? b?c?
a
b
c
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个面上的投影分别积聚成与相应投影轴平行的直线。
B
b
b'
V
c'
c"
ac
A
C
'a
"a
O
Y
W
b"
Z
积聚性一般位置平面
a?
b?
c?
a?
c?
b?
a
b
c
三个投影都相似。
投影特性：
X
V
Z
a'
b'
c'
A
a
B
b
c
a"
c"
b"
C
Y
三、平面上的直线和点
⒈ 平面上取任意直线判断直线在平面内的依据定理一,
若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内,
定理二,
若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内,
a
b
c
b?
c?
a?
a
b
c
b?
c?
a?
d?
m
n
n?m?
d
例 10：已知平面由直线 AB,AC所确定，试在平面内任作一条直线。
解法一,解法二：
根据定理一根据定理二例 11：在平面 ABC内作一条水平线，使其到 H面的距离为 10mm。
n?m?
n
m
10 c?
a?
b?
c
a
b
试想直线 mn
是否唯一呢?
是唯一的！
⒉ 平面上取点先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例 1：已知 K点在平面 ABC上，求 K点的水平投影。
b
①
a
c
c?
a?
k?
b?
●
面上取点的方法：
首先面上取线
②
●
a
b
c
a?
b?
k?
c?
d?
d
利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解
k●k●
b
c
ka
d
a?
d?
b?
c?
a
d
a?
d?
b?
c?k?
b
c
例 12：已知 AC为正平线，补全平行四边形 ABCD
的水平投影。
解法一 解法二例 13:已知立体上平面 P,Q,R的空间位置，在投影图中标注其投影位置,并填空 。
r’
p
r’’
q’’
水平铅垂侧垂
r
p’
p’
q’
q
（ 1） （ 2）
是 面 是 面例 14:已知平面的两个投影,求作其第三投影,并填空。
铅垂 侧垂
2.5 直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括 平行,相交 和 垂直 。
一、平行问题 直线与平面平行平面与平面平行
⒈ 直线与平面平行定理：
若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。
n?
●
●
a?
c?
b?
m?
a
b
c m
n
例 15：过 M点作直线 MN平行于平面 ABC。
Abc为平面内的任一直线试想,可作多少条这样的直线 MN?
无数条 !
●
●
正平线例 16：过 M点作直线 MN平行于 V面和平面 ABC。
c?
●
b?
a? m?
a
b
c
m n
n?
● ●
●
试想,可作多少条这样的直线 MN?
唯一的一条 !
⒉ 两平面平行
① 若一平面上的 两相交直线 对应平行于另一平面上的 两相交直线,则这两平面相互平行。
② 若两 投影面垂直面 相互平行，则它们具有 积聚性 的那组投影必相互平行。
f?
h?
a bc
d
e
f h
a?
b?
c?
d?
e?
c?
f?b?
d?
e?
a?
a
b
c
d e
f
二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交
⒈ 直线与平面相交其 交点 是 直线与平面 的 公共点。
要讨论的问题：
● 求 直线与平面的 交点 ;
● 判别可见性,即判别两者之间的相互遮挡关系。
P
a b
cm
n
c?
n?b?
a?
m?
⑴ 平面为特殊位置例 17：求直线 MN与平面 ABC的交点 K并判别可见性。
空间及投影分析平面 ABC是一铅垂面，
其水平投影积聚成一条直线，该直线与 mn的交点即为 K点的水平投影
① 求交点
② 判别可见性由水平投影可知,KN段在平面前，故正面投影上 k?n?为可见。
还可通过重影点判别可见性。
k?●1?
(2?)
作 图
k
●
●
2●
1●
k
m(n)
b
●
m?
n?
c?
b?
a?
a
c
⑵ 直线为特殊位置空间及投影分析直线 MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点 K的水平投影也积聚在该点上。
① 求交点
② 判别可见性点 Ⅰ 位于平面上，在前；点 Ⅱ 位于 MN上，在后。
故 k? 2?为不可见。
1?(2?)
k?●
2●
1●
●
作图 用面上取点法
X
V
Z
a'
b'
c'
A
a
B
b
c
a"
c"
b"
C
Y
（ 3）直线和平面都在一般位置直线和平面的交点的投影必为平面和直线的投影的共有点,且满足投影规律,
⒉ 两平面相交两平面相交其交线为直线,交线是两平面的共有线,同时 交线上的点都是两平面的共有点。
要讨论的问题：
① 求 两平面的 交线方法,确定两平面的 两个共有点 。
确定 一个共有点及交线的方向。
只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即 判别可见性。
还可通过正面投影直观地进行判别。
a
b
c
d
e
f
c?
f?
d?
b? e?a?
m?(n?)
空间及投影分析平面 ABC与 DEF都为 正垂面,其正面投影都积聚成直线。 交线为正垂线,
只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。
① 求交线
② 判别可见性作 图
n●
m●
●
例 18：求两平面的交线并求 MN并判别可见性。
⑴
b?
c?
f? h?
a?
e?
a
b
c
e
f
h
1(2)
空间及投影分析平面 EFH是一水平面，
它的正面投影有积聚性。
a?b?与 e?f?的交点 m?,b?
c?与 f?h?的交点 n?即为两个共有点的正面投影，故 m?n?
即 MN的正面投影。
① 求交线
② 判别可见性点 Ⅰ 在 FH上，点 Ⅱ 在 BC上,点
Ⅰ 在上，点 Ⅱ 在下，故 fh可见，
n2不可见。
作 图m●
●
n?●
2?●
n●
m?● 1?●
⑵
c?
d?
e?
f?
a?
b?
a
b
cd
e
f
⑶
投影分析
N点的水平投影 n
位于 Δdef 的外面，
说明点 N位于 ΔDEF 所确定的平面内，但不在 ΔDEF 这个图形内。
故 ΔABC 和 ΔDEF 的交线应为 MK。n●
n?
●
m?
●
k●
m●
k?
●
互交
