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3 自反广义逆矩阵
1定义
.,的自反广义逆矩阵为则称同时成立 AG
使得如果有设,,mnnm CGCA
GG AGAA G A,
1例 12(,,,) mrrAC设,且
(,1,2,,)i j r?Hij
1
0
ji
ji
.HAA则 为 的自反广义逆矩阵返回
1定理,逆矩阵任何矩阵都有自反广义证 00)1( 1rAA,则 结论成立
12(,,,)nG d ia g a a a A则 是 的自反广义逆,
12(,,,)nA d ia g a a a?2例
1 0
0 0
ii
i
i
aaa
a


其中 =
返回
0)( rAr a n k
Q
E
PA r?
00
0
0)2(?A
11
P
YXY
XE
QG r
返回
}.{}2,1{ 的集合的所有自反广义逆矩阵AA?2定义
2定理 的广义逆均为设 nmmn CACYX,
.的自反广义逆矩阵是 A
则矩阵,
XA YZ?
:证 的广义逆矩阵均为 AYX,AA XA?
AAYA? AZA AX AYA? AYA? A?
ZAZ XAY AXAY? XA XAY? XAY? Z?
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:证 必要性,的自反广义逆矩阵是 AA?
AAAAAAAA
)()( AAAr a n kAr a n k )( Ara n k
3定理要条件是的自反广义逆矩阵的充A
)()( Ar a n kAr a n k
是则的广义逆矩阵是 AAACA nm,,
)( AAAr a n k )( Ara n k?
)()( Ar a n kAr a n k
返回
)()( Ar a n kAr a n kAAAA,且充分性：
)()( AAAr a n kAr a n k )( AAra n k
)( Ara n k )( Ara n k?
)()( ARAAR
mnCX存在
)()( Ar a n kAAr a n k
)()( ARAAR
AXAA AAAA AAXAA
AAX? 的广义逆矩阵为 AX
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4定理 m n n mA C X C设,,则下列任意两个
.等式成立都可推得第三个等式成立
( 1 ) ( ) ( ) ;r a n k A r a n k X?
( 2) A X A A?
( 3) X A X X?
返回证,)3()2(),1(?( 2) A X A A?XA
( 1 ) ( ) ( )r a n k A r a n k X?XA是 的自反广义逆矩阵
X A X X?
( ),( )H H H HX A A A Y A A A
5定理 mnAC设,则
.A都是 的自反广义逆矩阵证 ( ) ( )HHR A R A AmnAC nmDC
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HHA A A D?
()HHA X A A A A A A
HHA D A A
()H H H HD A A A A A
HHD A A AXA? 是 的广义逆矩阵
( ) [ ( ) ]HHr a nk X r a nk A A A()Hra nk A?
()H HHH AA A AAAA A
( ) ( )Hr a nk X r a nk A?()Hra nk A A? ()Hr a nk A A X A?
()rank X? ( ) ( ) ( )Hr a nk A r a nk X r a nk A
HA A X A
XA是 的自反广义逆矩阵返回
6定理 11,rrA A A A和 都是幂等矩阵证 1 2 1 1() r r rAA AA AA1rAA
1,rAA? 是幂等矩阵