返回
3 Gerschgorin定理的推广
)O s t r o w s k i(1定理 ]1,0[),()(CMaA nij设
n
i
iiii CRazCz
1
1 }|:|{

个圆盘的的所有特征值位于的数，则 nA为给定并集
11
| | | |
nn
i ij i ji
jj
j i j i
R a C a


其中，
返回
:证 10:)1 或
xAx:)2
Gerschgorin定理
||||||
1

n
ij
j
jijiii xaxa?
||||
1

n
ij
j
jij xa |)||(|||
1
1

n
ij
j
jijij xaa



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1 1
1/1 ]|)||(|[])|(|[
n
ij
j
n
ij
j
jijij xaa
返回


1)1/(1
1 1
]||||[|)|(
n
ij
j
n
ij
j
jijij xaa

1)1/(1
1
]||||[||||
n
ij
j
jijiiii xaRxa 0?iR



1)1/(1
1
]||||[||
|| n
ij
j
jiji
i
ii xax
R
a
返回
)1/(1
1
)1/(1)1/(1 ||||||)||(


n
ij
j
jiji
i
ii xax
R
a



n
i
n
ij
j
jij
n
i
i
i
ii xax
R
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1
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n
j
jj xC
1
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n
j
jj
n
i
j
i
ii xCx
R
a
1
)1/(1
1
)1/(1
)1/(1
||||
||
返回
1 /(1 )||() kk
k
k
a
C
R

1|| k k k ka R C
存在 k
返回引理,则为非负实数，和设 10
)1(1
:证
1 1 1 1( 1 )pquv u v
p q p q
)1/(1,/1 qp取
)1/(1/11)1/(1/1 )1()()( vuvu
)1/(1/1, vu )1(1
返回推论,)( nnij CaA设
| | ( 1 ),1,2,,i i i ia R C i n
[ 0,1 ],如果存在 使得
2定理,)( nnij CaA设
n
i
iiii CRazCz
1
})1(|:|{

的特征值位于则 A
并集中如下的
.A则 非奇异返回
3定理
jiRRazazO jijjiiij,|||:|
的并集中卵形域个 ijOnn C a s s i n i2 )1(?
,)( nnij CaA设 的特征值位于则 A
返回
:证 TnxxxxxAx ),,,(,21
||m a x|||| trtsr xxx rj jrjrrr xaxa )(?

sj jsjsss
xaxa )(?
0)1(?sx 0,,tx t r t Nrra
rsO

sj jsjrj jrjsrssrr
xaxaxxaa ))((
0)2(?sx 0|||| sr xx
返回
|||||||| srssrr xxaa
|)|||(|)|||(
sj
jsj
rj
jrj xaxa
|||| rssr xRxR?
|||| ssrr aa sr RR?
||||
sj
jsj
rj
jrj xaxa
返回
3定理
jiRRazazO jijjiiij,|||:|
的并集中卵形域个 ijOnn C a s s i n i2 )1(?
,)( nnij CaA设 的特征值位于则 A
,)( nnij CaA设推论
| | | |,i i j j i ja a R R i j
如果满足
.A则矩阵 非奇异返回
1 0 5 6
4 2 0 8,
7 1 2 2 5
A





例,判定矩阵的可逆性
1 2 31 1,1 2,1 9,R R R
11 22 1 2
11 33 1 3
22 33 2 3
| | 20 0 13 2 ;
| | 25 0 20 9 ;
| | 50 0 22 8,
a a R R
a a R R
a a R R



所以非奇异.