§ 4 矩阵的最大秩分解定理 1,,rmrnmr CBCA 则存在矩阵设
BDA?
，使得nrrCD
证 nmrCA 0
00
HLA U V

0
0
HLA U I V

,=,0
0
HLA BD B U D I V

矩阵的最大秩分解步骤：
化为行标准形：一、进行行初等变化，
000000
000000
*10000
*01000
*00*10
~







A
1i 2i ri
1212,,,(,,,) ;rr i i iA i i i B a a a?二,的第 列构成
~,AD三,的非零行则构成例 1 求矩阵
1 3 2 1 4
2 6 1 0 7
3 9 3 1 11
A




.的最大秩分解
~
1 3 0 1 / 3 10 / 3
0 0 1 2 / 3 1 / 3
0 0 0 0 0
A



A
解一
12
21
33
B





1 3 0 1 / 3 1 0 / 3
0 0 1 2 / 3 1 / 3
D



解二
A
~
1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
1 1 0 0 0
A




10
01
11
B





1 3 2 1 4
2 6 1 0 7
D



定理 2 均且设 2211,DBDBACA nmr
，使得阶可逆矩阵存在 Qr)1(
的最大秩分解，则为 A
21121 DQDQBB
HHHH BBBDDD 11111111 )()()2(
HHHH BBBDDD 21221222 )()(
)()()(.1 HH AAr a n kAAr a n kAr a n k
左逆注
rrrHmrrHrmr CBBCBCB,.2,则
rHH EBBBB 1)(那么
rrrHrnrHnrr CDDCDCD,.3,则
rHH EDDDD 1)(那么右逆证
2211)1( DBDB? HH DDBDDB 122111?
1111221 )( HH DDDDBB 12QB?
同理可得 2211111 )( DBBBBD HH 22 DQ?
22221211 DBDQQBDB
HHHH DDBBDDQQBB 2222222122?
rEQQ?21 121 QQQQ,则记
HHHH BBBDDD 11111111 )()()2(
HH
HH
QBQBQB
DQDQDQ
)(])[(
])([)(
2
1
22
1
2
1
2
1
2
1

HHHH
HHHH
BQQBBQ
QDDQQD
2
1
22
11
22
11
2
][
])([)(

HHHH
HHHH
BQQBB
QQDDQQD
2
11
22
11
22
1
2
)()(
)()(


HHHH BBBDDD 21221222 )()(