§ 2 矩阵的谱分解一,单纯矩阵 的谱分解定义 1 的相异特征值，是设 nn
k CA,,,21?
代数重复度的特为矩阵则称其重数分别为 Arrrr ik,,,,21?
的征值 i?
定义 2 ),,2,1( kixAx
i齐次方程组几何重复度的特征的对应于特征值称为的解空间 iAV i
的的特征值的维数称为空间，则 iAV i
定义 3
为称矩阵与几何重复度相等，则复度的每个特征值的代数重若矩阵
A
A单纯矩阵证,是单纯矩阵A 1
1 ),,( PP d i a gA n
可分解是单纯矩阵，则设 ACA nn
n
i
ii AA
1
的加权和，为一系列幂等矩阵 ),,2,1( niA i
定理 3
.),,2,1( 的特征值是其中,Anii
),,,,( 21 nvvvP
T
n
T
T
P
2
1
1
T
n
T
T
n
nvvvA
2
1
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00
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00
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n
i
T
iii vA
1
n
i
ii A
1
Tiii vA,其中
nEPP 1
ji
ji
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0
1
))(( TjjTiiji vvAA TjjTii vv )(?
ji
jiv Tii
0
是幂等矩阵iA
:的性质iA
ii AA?2)1( 幂等性：
)(0)2( jiAA ji分离性：
n
n
i
i EA
1
)3( 可加性：
证：
T
n
T
T
nvvvPP
2
1
21
1
),,,(
n
i
T
iiv
1
n
n
i
i EA
1
个相异特征值，它有设 kCA nn
k
i
ii AA
1
)3(?
定理 4
是单纯矩阵的充要，则 Akii ),,2,1(
满足个矩阵条件是存在 ),,2,1( kiAk i
ji
jiA
AA iji
0
)1(
n
k
i
i EA
1
)2(
必要性 是单纯矩阵A?
n
i
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1
k
i
r
j
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BA
1 1
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j
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1
令
)3(
1
k
i
ii AA?
kjli
kjliB
BB ijlkij
或0
,
)1(
0
ji
jiA
AA iji
k
i
iA
1
n
i
iB
1
)2(nE?
二、正规矩阵及其 分解定义 3 满足阶复矩阵若 An
正规矩阵
AAAA HH?
为则称 A
引理 1 酉相似，则与为正规矩阵，设 BAA
为正规矩阵B
证 酉相似与 BA
为正规矩阵B
1B U A U AUU H?
()H H H HB B U A U U A U UAAUUU HHH?
UAAU HH? AUA HH? AUUUAU HHH?
)()( AUUAUU HHH? BB H?
引理 2,则存在酉矩阵设 nnCAS c h u r)(
HU RUA?
，使得U
对角线上的是一个上三角矩阵且主其中,R
.的特征值元素为 A
nnCA证,1 P J PA 1URP?
111 )( URJURA HUJRUR 111 U R U?
nn
n
n
a
aa
aaa
A
00
0 222
11211
设引理 3 是，则正规矩阵且是三角矩阵设 AA
.对角矩阵证正规矩阵A AAAA HH?
11
1 1 1 2 1
1 2 2 22 2 2
12
00
0 0
00
n
n
nn n n nn
aa a a
aa aa
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n
i
ia
1
2
1 || 1111 aa? 211 || a?
),,3,2(01 nia i
),,3(02 nia i同理可得：
),,4(03 nia i
0,1 nna
.A? 是对角矩阵定理 5
nnCA HA U R U
是正规矩阵的充要条件阶复矩阵 An
.与对角矩阵酉相似是 A,阶酉矩阵即存在 Un
使得
Hn UU d i a gA ),,,( 21
.,,,21 个特征值的是其中,nAn
12(,,,) HnA U d i a g U
证,必要性充分性,与对角矩阵酉相似A
A? 是正规矩阵个相异特征值，它有设 kCA nn定理 6
是正规矩阵的充要，则 Akii ),,2,1(
满足个矩阵条件是存在 ),,2,1( kiAk i
ji
jiAAA i
ji 0)1(
n
k
i
i EA
1
)2(
k
i
ii AA
1
)3(? ),,2,1()4( kiAA iHi
是正规矩阵A必要性
Hrkrr UEEEUd i a gA
k ),,,( 21 21
H
k
H
H
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k
V
V
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i
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充分性
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k
j
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k
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1 1
k
i
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k
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ii A
1
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同理可知?
k
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k CA,,,21?
代数重复度的特为矩阵则称其重数分别为 Arrrr ik,,,,21?
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定义 2 ),,2,1( kixAx
i齐次方程组几何重复度的特征的对应于特征值称为的解空间 iAV i
的的特征值的维数称为空间，则 iAV i
定义 3
为称矩阵与几何重复度相等，则复度的每个特征值的代数重若矩阵
A
A单纯矩阵证,是单纯矩阵A 1
1 ),,( PP d i a gA n
可分解是单纯矩阵，则设 ACA nn
n
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)(0)2( jiAA ji分离性：
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是单纯矩阵的充要，则 Akii ),,2,1(
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二、正规矩阵及其 分解定义 3 满足阶复矩阵若 An
正规矩阵
AAAA HH?
为则称 A
引理 1 酉相似，则与为正规矩阵，设 BAA
为正规矩阵B
证 酉相似与 BA
为正规矩阵B
1B U A U AUU H?
()H H H HB B U A U U A U UAAUUU HHH?
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引理 2,则存在酉矩阵设 nnCAS c h u r)(
HU RUA?
，使得U
对角线上的是一个上三角矩阵且主其中,R
.的特征值元素为 A
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.A? 是对角矩阵定理 5
nnCA HA U R U
是正规矩阵的充要条件阶复矩阵 An
.与对角矩阵酉相似是 A,阶酉矩阵即存在 Un
使得
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.,,,21 个特征值的是其中,nAn
12(,,,) HnA U d i a g U
证,必要性充分性,与对角矩阵酉相似A
A? 是正规矩阵个相异特征值，它有设 kCA nn定理 6
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