返回
5 摄动定理例 1
1
1
a
a
A
a
a A n 是 的 重特征值
1
1
a
a
A
a?
1
|| ni a
返回
1定理 1,12,(,,,),nn nA P P C d i a g设
,12,,,,nn nCA 的特征值为,则对任一
ji存在 使得
1| | | | | |ij PP
i m?此外，若 是一个重数 的特征值，且圆盘
1{,| | | | | | }iiS z z P P
1| | | | } ( )ikPP 不
.Am 的 个特征值
{,| |kkS z z和圆盘
iS相交，则 正好包含着返回证,1P P B1( 1 ) ( ) ( )i j n nC P A P c
( 1,2,,)ii i iic b i nG e r s c h g o r i n 圆盘定理
| | | ( ) | ( ) ( )j i i j i i i i ic b R C R B
| | | | ( ) | |i j j i i i iR B b1|| ||PP
( 2 ) ( ) {,| ( ) | ( ) }k k k k kG C z z b R BkS?
12 mi i i i( ) {,| ( ) |t t ti i i iG C z z b
( 1,2,,)iS t m()tiRB?
返回定义,| | | |,nnC?设 为 上自相容矩阵范数 若对任
(,)单调 或则为 绝对它 范数称
| | | | m a x | |iiD
12(,,,)nD d i a g一对角矩阵,满足例 2 判断那些是单调范数：
12 12| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |m m m，,,,,
返回
2定理 1,1,(,,),nn nA P D P C D d i a g设
A则对 的任一,恒有
1m i n | | | | | |i
i PP
| | | |,?这里,为单调矩阵范数证,1P P B 1 ()C P A P D B
1 DI（） 奇异 i存在 i 结论成立返回
2 DI（ ） 非奇异
1[ ( ) ]I D I B()C I D I
1()I D I B 奇异 1( )D I B为 的特征值
11| | ( ) | | | | | | | | ( ) | | 1D I B D I B
11m a x | | | | | | | | 1
| | m in | |i ii
i
BB
1m i n | | | | | | | | | |i
i
B P P
返回
r A x x残余向量：
0r?(1),x 与 是精确的
0r?(2),| | | |rA很小 是 的近似特征值
1( 1 ) 1 0
,,
10
n
n
nnAx
n?
| | | | ( - 1 ) 1 0 nA x x n =0n
返回证:
3定理 1,12,(,,,),nn nA P D P C D d i a g设
'| | | | ( | | | | 1 )xx则对任意单调矩阵范数,若 和 满
1m i n | | | | | | | | | | ( )i
i
P P k P
'| | | |A x x足,那么
'| | | | | | | |这里,为与 相容的向量范数,是任意给
.定的正数
1 DI（） 奇异 结论成立返回
1 1 '1 | | | | | | ( ) | | | | | | | | | |P D I P x
1'11 | | | | | | | | | | | |
m in | |i
i
P P x
1m i n | | | | | | | | | | ( )i
i P P k P
2 DI（ ） 非奇异 1()r A x x P D I P x
11()x P D I P r ' 1 1 '1 | | | | | | ( ) | |x P D I P r
返回证:
4定理 1 1,(,,),nn nA P D P C D d i a g设
1QQ
1
,1
| | i n f ( ) m a x | |ii
PQ jn
k P Q
AA为 的一个特征值，则存在 的一个特征值
1(,,),nD d ia g
i? 使得
1
1
m in | | | | | |i
in
PP
11| | | |P Q Q P
11
1
| | | | | | | | m a x | |j
jn
P Q Q P
1
1
( ) m a x | |j
jn
k P Q
返回
5定理 1,,nn nAC设 为具有特征值 的正规
2| | || ||i
A为 的一个特征值，则存在
i? 使得
nnC矩阵，,
A 的一个特征值
6定理 n n n nA C C A设,,为正规矩阵，
2 1 / 2
( ) 2
1
( | | ) | | | |
n
ii
i
1,2,,( )ni?则存在整数 的一个排列,使得
1?，1,,n A设 为按某一顺序给定的 的特征值，
2,n,A为按某一顺序给定的 的特征值，
5 摄动定理例 1
1
1
a
a
A
a
a A n 是 的 重特征值
1
1
a
a
A
a?
1
|| ni a
返回
1定理 1,12,(,,,),nn nA P P C d i a g设
,12,,,,nn nCA 的特征值为,则对任一
ji存在 使得
1| | | | | |ij PP
i m?此外，若 是一个重数 的特征值，且圆盘
1{,| | | | | | }iiS z z P P
1| | | | } ( )ikPP 不
.Am 的 个特征值
{,| |kkS z z和圆盘
iS相交，则 正好包含着返回证,1P P B1( 1 ) ( ) ( )i j n nC P A P c
( 1,2,,)ii i iic b i nG e r s c h g o r i n 圆盘定理
| | | ( ) | ( ) ( )j i i j i i i i ic b R C R B
| | | | ( ) | |i j j i i i iR B b1|| ||PP
( 2 ) ( ) {,| ( ) | ( ) }k k k k kG C z z b R BkS?
12 mi i i i( ) {,| ( ) |t t ti i i iG C z z b
( 1,2,,)iS t m()tiRB?
返回定义,| | | |,nnC?设 为 上自相容矩阵范数 若对任
(,)单调 或则为 绝对它 范数称
| | | | m a x | |iiD
12(,,,)nD d i a g一对角矩阵,满足例 2 判断那些是单调范数：
12 12| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |m m m，,,,,
返回
2定理 1,1,(,,),nn nA P D P C D d i a g设
A则对 的任一,恒有
1m i n | | | | | |i
i PP
| | | |,?这里,为单调矩阵范数证,1P P B 1 ()C P A P D B
1 DI（） 奇异 i存在 i 结论成立返回
2 DI（ ） 非奇异
1[ ( ) ]I D I B()C I D I
1()I D I B 奇异 1( )D I B为 的特征值
11| | ( ) | | | | | | | | ( ) | | 1D I B D I B
11m a x | | | | | | | | 1
| | m in | |i ii
i
BB
1m i n | | | | | | | | | |i
i
B P P
返回
r A x x残余向量：
0r?(1),x 与 是精确的
0r?(2),| | | |rA很小 是 的近似特征值
1( 1 ) 1 0
,,
10
n
n
nnAx
n?
| | | | ( - 1 ) 1 0 nA x x n =0n
返回证:
3定理 1,12,(,,,),nn nA P D P C D d i a g设
'| | | | ( | | | | 1 )xx则对任意单调矩阵范数,若 和 满
1m i n | | | | | | | | | | ( )i
i
P P k P
'| | | |A x x足,那么
'| | | | | | | |这里,为与 相容的向量范数,是任意给
.定的正数
1 DI（） 奇异 结论成立返回
1 1 '1 | | | | | | ( ) | | | | | | | | | |P D I P x
1'11 | | | | | | | | | | | |
m in | |i
i
P P x
1m i n | | | | | | | | | | ( )i
i P P k P
2 DI（ ） 非奇异 1()r A x x P D I P x
11()x P D I P r ' 1 1 '1 | | | | | | ( ) | |x P D I P r
返回证:
4定理 1 1,(,,),nn nA P D P C D d i a g设
1QQ
1
,1
| | i n f ( ) m a x | |ii
PQ jn
k P Q
AA为 的一个特征值，则存在 的一个特征值
1(,,),nD d ia g
i? 使得
1
1
m in | | | | | |i
in
PP
11| | | |P Q Q P
11
1
| | | | | | | | m a x | |j
jn
P Q Q P
1
1
( ) m a x | |j
jn
k P Q
返回
5定理 1,,nn nAC设 为具有特征值 的正规
2| | || ||i
A为 的一个特征值，则存在
i? 使得
nnC矩阵，,
A 的一个特征值
6定理 n n n nA C C A设,,为正规矩阵，
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( ) 2
1
( | | ) | | | |
n
ii
i
1,2,,( )ni?则存在整数 的一个排列,使得
1?，1,,n A设 为按某一顺序给定的 的特征值，
2,n,A为按某一顺序给定的 的特征值，
