第六章广义逆矩阵
1 矩阵的单边逆
1定义
.,1 LAGAG 记为的左逆矩阵为则称
nEGA?
使得如果有设,,mnnm CGCA
mEAG?如果
.,1 RAGAG 记为的右逆矩阵为则称证 充分性：
1()HHG A A A
1定理;)1( 为列满秩矩阵左可逆的充要条件是 AA
，则设 nmCA
.)2( 为行满秩矩阵右可逆的充要条件是 AA
为列满秩A
为满秩矩阵AA H nHH EAAAA 1)(
nEGA? 左可逆A
必要性,nL EAA 1
)()( 1 AAr a n kAr a n k L nEra n k n )(
nAra n k?)( 为列满秩A
1推论 则设,nmCA
};0{)()1(?ANA 左可逆的充要条件是
.)()2( mCARA?右可逆的充要条件是只有零解0?Ax证 充分性,}0{)(?AN
nAra n k?)( 为列满秩A
必要性,左可逆A nL EAA 1
)( ANx )(1 AxAxEx Ln 001LA
}0{)(?AN
初等变换求左 (右 )逆矩阵,


*0
)()1(
GE
EAP nm




*
0
)2(
G
E
Q
E
A m
n
1例 为设矩阵 A

00
10
21
A
.1?LAA 的一个左逆矩阵求
:解

10000
01010
00121
)( 3EA



010
0211
LA?
10000
01010
02101
2例 为设矩阵 A
.1?RAA 的一个右逆矩阵求


210
121
A
:解
100
010
001
210
121
3E
A
100
010
121
210
001

100
210
321
010
001
100
210
321
010
001

00
10
21
1
RA
2定理
111 2 1(,)G A B A A B P
则是左可逆矩阵设,nmCA
阶可是满足初等变换对应的矩阵 nAAAPAP 1
2
1,



行为任意矩阵其中的左逆矩阵是,,)( nmnCBA
.逆方矩阵
:证 nE? 1111 2 1
2
(,)
A
G A A B A A B
A



3定理


D
DAAAQG 21111
则是右可逆矩阵设,nmCA
阶是满足初等变换对应的矩阵 mAAAAQQ 121,?
列为任意矩阵其中的右逆矩阵是,,)( mmnCDA
.可逆方矩阵
4定理
)1(0)( 1 bAAE Lm
的左逆是是左可逆矩阵设 AACA Lnm 1,
1
( 1 ),
( ),HH
Ax b
x A A A b?
若 式成立 则方程组 有唯一解有解的充要条件是则方程组矩阵 bAx?,
:证 的解是方程组设 bAxx?0必要性：
bAAAxAA LL )())(( 101 01 )( xAAA L 0xAE n?
0Ax? b? 0)( 1 bAAE Lm
10 Lx A b
的解是设 bAxxx?10,
0)( 0101 AxAxxxA
充分性,0)( 1 bAAE Lm
bAAAx L 10 b?
唯一性：
001 xx
5定理
bAx R 1
对任何则是右可逆矩阵设 bAxCA nm,
则方程组的解可表示为若都有解,0, bCb m
.,1 的一个右逆矩阵是其中 AA R?
:证 )( 1bAA R? bAA R )( 1 bEm? b?