2 矩阵函数定义 设幂级数 且当收敛半径为,r?
0k
k
k zc
rzzczf
k
k
k
||,)(
0
则称收敛的矩阵幂级满足如果,)( rArCA nn
即记为的和为矩阵函数数 ),(,
0
AfAa
k
k
k?
即幂级数收敛于时 ),(,|| zfrz?
一、矩阵函数的定义常用的矩阵函数：
,)(
0

k
k
k AcAf
nn
k
kA CAA
k
e?
,
!
1)1(
0
nn
k
k
k
CAA
k
A?

,
)!12(
)1(s i n)2(
0
12
则得到为参数换为的方阵把,,)( tAtAAf
.)()(
0

k
k
k AtcAtf
1)(,)()4(
0
1
ArAAE
k
k
1)(,
1
)1()l n ()5(
0
1

ArA
k
AE
k
k
k
二、矩阵函数值的计算
1、利用相似对角化,
Dd i a gAPP n ),,,( 211设
nn
k
k
k
CAA
k
A?
,
)!2(
)1(c o s)3(
0
2

0
)(
k
k
k AcAf
0
1 )(
k
k
k P D Pc
1
0



PDcP
k
k
k
1
0
0
1
P
c
c
P
k
k
nk
k
k
k
1
1
)(
)(
P
f
f
P
n?
同理
)).(,),(),(()( 21 tftftfP d i a gAtf n
1例
.,
163
053
064
AteA 求设


:解 2)1)(2()d e t ()1 AE
1,2 321
对应的特征向量：)2
T)1,1,1(:2 11
TT )1,0,0(,)0,1,2(:1 3232

101
011
021
P






ttttt
tttt
tttt
eeeee
eeee
eeee
22
02
0222
22
22
22
1
2
P
e
e
e
Pe
t
t
t
At
2,Jordan 标准形法,

1
)(
k
k
iki JaJf
),,,( 211 sJJJd i a gJAPP设

1
11
)1(111
k
k
i
k
ik
k
i
mk
i
m
k
k
ik
k
i
k
C
CC
a
ii

)(
)(
)!2(
1
)(
)(
)!1(
1
)(
!1
1
)(
)2(
)1('
i
i
m
i
i
i
m
i
ii
f
f
m
f
f
m
ff
i
i




0
1)(
k
k
k PPJaAf
1
0



PJaP
k
k
k
1
0
0
1
P
Ja
Ja
P
k
k
sk
k
k
k
1
1
)(
)(
P
Jf
Jf
P
s
2例
1 0 0
0 1 1,si n,
0 0 1
AA




求
:解 标准形化为 J o r d a n)1
A
12
11
1,
01
JJ

iJs i n)2 计算
12
1
sin 1 c o s 0
sin sin 1,sin 1!
0 sin 1
JJ




si n 1 0 0
si n 0 si n 1 c os 1
0 0 si n 1
A




3、数项级数求和法：
哈密尔顿 -凯莱定理,nnPA?上的一个是数域设则的特征多项式是矩阵,||)(,AAEf
0)( 0111 EbAbAbAAf nnn?
EbAbAbA nnn 0111




)(
0
)(
1
1)(
1
)1(
0
)1(
1
1)1(
1
1
llnl
n
ln
n
n
n
bAbAbA
EbAbAbA
1
10
0
)()(

n
n
n
k
k
k
c
AcAcEcAcAf?
)( 011 EbAb nn
1
1
)(
11
1
)(
11
1
)(
00
)(
)()(



n
l
l
nlnn
l
l
ln
l
l
ln
Abcc
AbccEbcc?
三、矩阵函数的一些性质性质 1,.,BAABBA eeeeeBAAB 则如果性质 2：
BABABA
BAAB
s i ns i nc o sc o s)c o s ()1(
,

则如果
BABABA s i nc o sc o ss i n)s i n ()2(