§ 3 Hermite矩阵及其分解定义 1,n n HA C A A A H e r m i t e 是 矩阵
( 1 ) (,) (,),,nA A C
,n n HA C A A A H e r m i t e 是反 矩阵
2,Hermite矩阵的基本性质
(,) ( ) HAA HHA H A
(,)A
( 2),( )iiRA
( 3 ),,(,) 0i i i j j j i j i jA x x A x x x x
00
( 4 ) 0 0,( )
0 0 0
p
rp
I
A I ra nk A r





与矩阵 合同 其中
1
0
( 5 ),.
0
H
n
U A U U




其中 为酉矩阵
3,正定 Hermite矩阵的基本性质与分解
,0,0HHA A x A x x A H e r m ite
定义,
为正定 矩阵
( 1 ) 0,1,2,,.iia i n
( 0,,0,1,0,,0 ) Tie Hi i iie A e a 0?
( 2 ) 0,( )ii A
( 3 ),,kB A B k N正定矩阵 使得
( 4 ),;HL A L L正线下三角矩阵
1 1 2 2( 5 ) d e t,nnA a a a f i s h e r? 不等式
11
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
00
0
,
H
l
ll
A L L L
l l l






2
11
2
2
2
1
2
1
| | * *
* | | *
* * | |
i
iH
n
ni
i
l
l
LL A
l







22
1
| | | |
k
kk ki kk
i
a l l
2
1
de t de t de t | |
n
H
ii
i
A L L l

3.半正定矩阵的基本性质
1 1 1 2
1 1 2 2
2 1 2 2
( 6 ) d e t d e t d e t,
AA
A A A A
AA



( 7 ) nAI与单位矩阵 合同
( 1 ) 0,1,2,,.iia i n
( 2 ) 0,( )ii A
( 3 ),,kB A B k N半正定矩阵 使得
( 4 ) ( )r
Io
A ra nk A r
oo



与单位矩阵 合同,其中定理 1,,,
,
n n HA B C A B B
T
设 为正定矩阵,
则存在可逆矩阵 使得
A A E?证,正定 与 合同
,.HH nT A T E T B T D
HP A P E
HP B P H e r m ite? 为 矩阵
HHU P B P U D
HT P U T B T D
H H H HT P U T A T U P A P U U E U E
,0,,0
n n n TA R x x R x A x
A

定义,有为广义正定矩阵
4.广义正定矩阵
1 ()
2
TA S A A为广义正定矩阵
1 ()
2
TA K A A为广义正定矩阵
:广义正定矩阵的基本性质
( 1 ),TA A B? 为广义正定矩阵
( 2 ) S 为正定矩阵
( 3 ) m a x ( ( ) ) R e ( ) m i n ( ( ) ) 0iS A S
( 4 ) d e t 0A?