返回
4 特征值与特征向量设 如果存在 和非零向量使
nn
n
A C,C
x C,
定义 1
A x x,A
xA
则 叫做 的特征值，
叫做 的属于特征值 的 特征向量,
一、特征值和特征向量的概念返回
AA的所有特征值的全体，叫做的谱记为 ( A ),?
11 rnn r| E A | ( ) ( )
1
r
ii
i
n n,,n其中 叫做代数重数如果 ）iir a n k ( E A n m,
叫做特征多项式叫做的iim?几何重数,
返回定理 1
12设 有 个不同的特征值nnA C r,
12重数分别为 则必 rn,n,,n,
1 11 rrP A P J d i a g ( J ( ),,J ( ) )
矩阵 叫做 的 标准形。J A J o r d a n
其代数r,,,?
存在可逆矩阵 使得 nnP C,
返回定义 2 设 nnA C, 如果存在可逆矩阵
1
12 rP A P d i a g (,,,)
则矩阵 叫做 A 可对角化矩阵,
使得nnP C,
返回定理 2 设 nnA C, 则下列命题等价：
( 1 ) 是可对角化矩阵A;
( 2 ) 存在由 的特征值向量构成的一组基底。nCA
(3) A 的 Jordan标准形中的 Jordan块都是一阶的。
( 4 ) 1 2iim n ( i,,,r )
二、特征值和特征向量的几何性质设 是线性空间 的一个线性变换，如果存在 nT V ( C )
则 叫做 的特 T?
特征向量。
'1定义和非零向量 使得 nC V ( C ),T,
征值,叫做 的属于特征值 的 T
返回三、广义特征值问题设,如果存在 和非零向量 使得n n nA B C,C x C,
(1-3)A x B x
广义特征向量 。
则称 为矩阵 与 确定的 AB? 称为与 对应的x?广义特征值，
返回
(1) 如果 B 可逆时，式 (1-3)可化为
1 ( 1 - 4 )B A x x
(2) 当 A,B 都是 Hermite矩阵，即,HHA A B B
且 B 正定时，有且正定HBB?
存在可逆矩阵 P
HB P P?
则 (1-3)式化为
HA x P P x
xyPPxy 1,则记 11 )( APPQ H11() HP A P y y
Qy y
QQH?
1广义特征值 都是实数 n,
nyy,,1?存在标准正交基
Hi j ijyy
ii Pxy? H H H
i j i j i j i jy y ( P x ) ( P x ) x P P x x B x
i j ijx B x
返回
12
12
12
12
1 0 1 2
2
3
4
设 矩阵,且 正定，与 共扼向量系 具有以下性质，
（）
（ ） 线性无关
（ ） 与 满足方程
（ ）若令
HH
n
i
n
i i i i i
n
HH
n
n n A A,B B B B
x,x,,x
x ( i,,,n ) ;
x,x,,x ;
x Ax Bx ;
X ( x,x,,x ),
X BX E,X AX dia g (,,,)
6定理
12当,称 为Hi j i j nx B x x,x,,x 共扼向量系B.
返回
6 欧氏空间和酉空间定义 1
nV R,,V,
,
在线性空间 ( ) 上，
若映射( ) 满足
( 1 ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0,; x,x x,正定性
( 2 ) ( ) ( ) ( )?k,k,齐次性
( 3 ) ( ),( ) = ( ),,交换律
( 4 ) ( ),( ) ( ) ( ),,,分配律
( ) ( )n,V R,V
n
则映射 是 上的内积 定义了内积的 为维欧几里得空间,简称欧氏空间.
返回
111,( ) ( )T T nnna,,a,b,,b R,例 若规定
1
()
n
ii
i
,a b
n,R,则上式定义了一个内积 是内积空间
2,[ ] [ ]
C a,b a,b R
f ( x ),g ( x ) a,b
例 表示在 所有实连续函数的全体,其构成 上的线性空间,[ ] 规定
( ( ) ( ) ) baf x,g x f ( x ) g ( x ) d x
[],C a,b证明 是欧氏空间.
返回定义,( ),
= ( )
n ij i j
ij n
V,a,
A a,G ra m,
1
1
设,,是欧氏空间 一组基 令则称矩阵 为基,,的度量矩阵 或 矩阵定理:
( 1 )?TA A ;
1
11
( 2 )
( ) ( )
( ) =
n
TT
nn
T
,V,,,,
x x,,x,y y,,y,
,x Ay
在基 下的坐标分别为则
1( 3 ) (,,) 0TnV,x,x A x 必有
= ( )ij nA a V
,
1设矩阵 为欧氏空间 的一组基,,的度量矩阵 则返回酉空间定义 3
nV C,,V,
,
在线性空间 ( ) 上，
若映射( ) 满足
( 1 ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0,; x,x x,正定性
( 2 ) ( ) ( ) ( )?k,k,齐次性
( 3 ) ( ),( ) = ( ),,交换律
( 4 ) ( ),( ) ( ) ( ),,,分配律
( ) ( )n,V C,V
n
则映射 是 上的内积 定义了内积的 为维酉空间.
返回
111,( ) ( )T T nnna,,a,b,,b C,例 若规定
1
()
n
H
ii
i
,a b
n,C,则上式定义了一个内积 是酉空间返回定义,
( ),
= ( )
n ij i j
ij n
V,a,
A a,G ra m,
1
1
设,,是酉空间 一组基 令则称矩阵 为基,,的度量矩阵 或 矩阵定理:
(1)?HA A ;
1
11
( 2 )
( ) ( )
( ) =
n
TT
nn
H
,V,,,,
x x,,x,y y,,y,
,x Ay
在基 下的坐标分别为则
1( 3 ) (,,) 0HnV,x,x A x 必有
= ( )ij nA a V
,
1设矩阵 为酉空间 的一组基,,的度量矩阵 则返回
,( ),
( )
V V,:
|| ||,
定义 设 是酉 欧氏 空间 的长度定义为定理 Vn 酉( 欧氏) 空间,则向量长度具有以下设 是 维 的性质:
( 1 ) 0 0 0|| ||,|| ||
(2)?|| k || | k | || ||
( 3 )|| || || || || ||
( 4 ) ( )
|,| || || || ||,
,
等号成立的充要条件是 线性相关返回定义
,V
,,
|| || || ||
设 是欧氏空间 的两个非零向量,它们之间的夹角定义为
() < >=arccos
两向量正交的定义
T 2 T 2( 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 1 )nn:,,,R,,,,,,R例设
4 特征值与特征向量设 如果存在 和非零向量使
nn
n
A C,C
x C,
定义 1
A x x,A
xA
则 叫做 的特征值，
叫做 的属于特征值 的 特征向量,
一、特征值和特征向量的概念返回
AA的所有特征值的全体，叫做的谱记为 ( A ),?
11 rnn r| E A | ( ) ( )
1
r
ii
i
n n,,n其中 叫做代数重数如果 ）iir a n k ( E A n m,
叫做特征多项式叫做的iim?几何重数,
返回定理 1
12设 有 个不同的特征值nnA C r,
12重数分别为 则必 rn,n,,n,
1 11 rrP A P J d i a g ( J ( ),,J ( ) )
矩阵 叫做 的 标准形。J A J o r d a n
其代数r,,,?
存在可逆矩阵 使得 nnP C,
返回定义 2 设 nnA C, 如果存在可逆矩阵
1
12 rP A P d i a g (,,,)
则矩阵 叫做 A 可对角化矩阵,
使得nnP C,
返回定理 2 设 nnA C, 则下列命题等价：
( 1 ) 是可对角化矩阵A;
( 2 ) 存在由 的特征值向量构成的一组基底。nCA
(3) A 的 Jordan标准形中的 Jordan块都是一阶的。
( 4 ) 1 2iim n ( i,,,r )
二、特征值和特征向量的几何性质设 是线性空间 的一个线性变换，如果存在 nT V ( C )
则 叫做 的特 T?
特征向量。
'1定义和非零向量 使得 nC V ( C ),T,
征值,叫做 的属于特征值 的 T
返回三、广义特征值问题设,如果存在 和非零向量 使得n n nA B C,C x C,
(1-3)A x B x
广义特征向量 。
则称 为矩阵 与 确定的 AB? 称为与 对应的x?广义特征值，
返回
(1) 如果 B 可逆时，式 (1-3)可化为
1 ( 1 - 4 )B A x x
(2) 当 A,B 都是 Hermite矩阵，即,HHA A B B
且 B 正定时，有且正定HBB?
存在可逆矩阵 P
HB P P?
则 (1-3)式化为
HA x P P x
xyPPxy 1,则记 11 )( APPQ H11() HP A P y y
Qy y
QQH?
1广义特征值 都是实数 n,
nyy,,1?存在标准正交基
Hi j ijyy
ii Pxy? H H H
i j i j i j i jy y ( P x ) ( P x ) x P P x x B x
i j ijx B x
返回
12
12
12
12
1 0 1 2
2
3
4
设 矩阵,且 正定，与 共扼向量系 具有以下性质，
（）
（ ） 线性无关
（ ） 与 满足方程
（ ）若令
HH
n
i
n
i i i i i
n
HH
n
n n A A,B B B B
x,x,,x
x ( i,,,n ) ;
x,x,,x ;
x Ax Bx ;
X ( x,x,,x ),
X BX E,X AX dia g (,,,)
6定理
12当,称 为Hi j i j nx B x x,x,,x 共扼向量系B.
返回
6 欧氏空间和酉空间定义 1
nV R,,V,
,
在线性空间 ( ) 上，
若映射( ) 满足
( 1 ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0,; x,x x,正定性
( 2 ) ( ) ( ) ( )?k,k,齐次性
( 3 ) ( ),( ) = ( ),,交换律
( 4 ) ( ),( ) ( ) ( ),,,分配律
( ) ( )n,V R,V
n
则映射 是 上的内积 定义了内积的 为维欧几里得空间,简称欧氏空间.
返回
111,( ) ( )T T nnna,,a,b,,b R,例 若规定
1
()
n
ii
i
,a b
n,R,则上式定义了一个内积 是内积空间
2,[ ] [ ]
C a,b a,b R
f ( x ),g ( x ) a,b
例 表示在 所有实连续函数的全体,其构成 上的线性空间,[ ] 规定
( ( ) ( ) ) baf x,g x f ( x ) g ( x ) d x
[],C a,b证明 是欧氏空间.
返回定义,( ),
= ( )
n ij i j
ij n
V,a,
A a,G ra m,
1
1
设,,是欧氏空间 一组基 令则称矩阵 为基,,的度量矩阵 或 矩阵定理:
( 1 )?TA A ;
1
11
( 2 )
( ) ( )
( ) =
n
TT
nn
T
,V,,,,
x x,,x,y y,,y,
,x Ay
在基 下的坐标分别为则
1( 3 ) (,,) 0TnV,x,x A x 必有
= ( )ij nA a V
,
1设矩阵 为欧氏空间 的一组基,,的度量矩阵 则返回酉空间定义 3
nV C,,V,
,
在线性空间 ( ) 上，
若映射( ) 满足
( 1 ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0,; x,x x,正定性
( 2 ) ( ) ( ) ( )?k,k,齐次性
( 3 ) ( ),( ) = ( ),,交换律
( 4 ) ( ),( ) ( ) ( ),,,分配律
( ) ( )n,V C,V
n
则映射 是 上的内积 定义了内积的 为维酉空间.
返回
111,( ) ( )T T nnna,,a,b,,b C,例 若规定
1
()
n
H
ii
i
,a b
n,C,则上式定义了一个内积 是酉空间返回定义,
( ),
= ( )
n ij i j
ij n
V,a,
A a,G ra m,
1
1
设,,是酉空间 一组基 令则称矩阵 为基,,的度量矩阵 或 矩阵定理:
(1)?HA A ;
1
11
( 2 )
( ) ( )
( ) =
n
TT
nn
H
,V,,,,
x x,,x,y y,,y,
,x Ay
在基 下的坐标分别为则
1( 3 ) (,,) 0HnV,x,x A x 必有
= ( )ij nA a V
,
1设矩阵 为酉空间 的一组基,,的度量矩阵 则返回
,( ),
( )
V V,:
|| ||,
定义 设 是酉 欧氏 空间 的长度定义为定理 Vn 酉( 欧氏) 空间,则向量长度具有以下设 是 维 的性质:
( 1 ) 0 0 0|| ||,|| ||
(2)?|| k || | k | || ||
( 3 )|| || || || || ||
( 4 ) ( )
|,| || || || ||,
,
等号成立的充要条件是 线性相关返回定义
,V
,,
|| || || ||
设 是欧氏空间 的两个非零向量,它们之间的夹角定义为
() < >=arccos
两向量正交的定义
T 2 T 2( 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 1 )nn:,,,R,,,,,,R例设
