返回
6 初等矩阵
( ) =
n
H
u,v C,C,
E u,v,E u v,
设 则称为初等矩阵定义 1
00u,v,.1,初等矩阵的特征向量( )
一、初等矩阵的一般形式
1 1 1 1nnu v,u,,u v,u,u,,u
E ( u,v,) n?
(2) 设 是 的一组基 则是 的 个线性无关的特征向量.
11
1
nu v,u,,u v,E ( u,v,)
n
(1) 设 是 的一组基 它们也是 的个线性无关的特征向量.
返回
3 ( ( ) ) = 1 H,d e t E u,v,v u
1 1 1 1 HE u,v,,,,,v u
2,初等矩阵的特征值
( ( ) ) = { }
n
H
a,b C u,v,,
ab
E ( u,v,) a b,( u )
va
5,非零向量,存在 使得
.
1 ( 1 0)
1
H
HE ( u,v,) E ( u,v,),v uvu
4,
返回
1Ti j i j i j i j i jE E ( e e ) ( e e ) E ( e e,e e,)
3,初等变换矩阵
T
i j j i j iE ( k ) E k e e E ( e,e,k )
11 Ti i i i iE ( k ) E ( k ) e e E ( e,e,k )
返回
2 2 1HHH ( u ) E ( u,u ; ) E u u,( u u )
H o u s e h o l d e r4,初等酉阵( 变换)
1( 1 ) HH ( u ) H ( u ) H ( u )
( 2 ) ( )H ( u ) ( a r u ) a r u,a u,r C 镜象变换返回定义 1 ),()( yxPV n 上，若映射在线性空间
PPVPV nn )()(
,00),(;0),()1( xxxxx 当且仅当
,)(,,),(),()2( PVyxxyyx n
,)(,,,),(),()3( PVyxPyxyx n
)(,,,),(),(),()4( PVzyxzyzxzyx n
上的是则称 )(),( PVyx n.内积
7,欧氏空间上的度量返回例 1 中，定义内积在 nC)1(
nnH bababa2211),(
中，定义内积在 ],[)2( baC
dxxgxfgf ba )()(),(
例 2 n n n T,R,A R,(,) A设则上的内积吗？是 nR
返回定义 2
nV R,,V,
,
在线性空间 ( ) 上，
若映射( ) 满足
( 1 ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0,; x,x x,正定性
( 2 ) ( ) ( ) ( )?k,k,齐次性
( 3 ) ( ),( ) = ( ),,交换律
( 4 ) ( ),( ) ( ) ( ),,,分配律
( ) ( )n,V R,V
n
则映射 是 上的内积 定义了内积的 为维欧几里得空间,简称欧氏空间.
返回定义 2 ),(|||| xxx? 的长度向量 x
定理
2 2 2 2
( ) ( ),
( 1 )
( 2 ) 2 2
( 3 ) | ( ) | ( C a uc hy )
( 4 ) | | | ( )
n
x,y V P
|| x || | | || x ||
|| x y || || x y || || x || || y ||
x,y || x || || y ||
x y | || x || || y ||
设 是 上的内积 则不等式三角不等式返回定义 3 d ( x,y ) || x y || 的距离和向量 yx
定义 4 0),(?yx x y x y?向量 和 正交,记为勾股定理,yx? 222 |||||||||||| yxyx
垂线最短定理,中的一个固定向量欧氏空间 )( RV n
.的距离“垂线最短”和一个子空间中各向量返回
),(),(),(
),(),(),(
),(),(),(
),(
21
22212
12111
1
kkkk
k
k
kG
，
12 kn V,,,G r a m,维欧氏空间 中向量 的 行列式定义 5
返回行列式的性质：Gr a m
12 kn V,定理,维欧氏空间 中向量组,,线性相关
12( ) 0kG的充要条件是,,,
i 分别与 作内积得方程组
1 1 1 1 2 2 1( ( ( ) 0kkx,x,x,) + ) +
1 1 2 2 0kkx x x证,+ +
2 1 1 2 2 2 2( ( ( ) 0kkx,x,x,) + ) +
1 1 2 2( ( ( ) 0k k k k kx,x,x,) + ) +
返回
12 kn V,定理,如果 维欧氏空间 中向量组,,线性
G r a mk 它的正交化后，，则将向量组无关,,,21
1 2 1 2
1 1 2 2
( ) ( )
= (,) (,) (,)
kk
kk
GG
行列式不变，即,,,,,,
证,11 11 将 换成
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
k
k
k k k k
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
G
(,) (,) (,)
6 初等矩阵
( ) =
n
H
u,v C,C,
E u,v,E u v,
设 则称为初等矩阵定义 1
00u,v,.1,初等矩阵的特征向量( )
一、初等矩阵的一般形式
1 1 1 1nnu v,u,,u v,u,u,,u
E ( u,v,) n?
(2) 设 是 的一组基 则是 的 个线性无关的特征向量.
11
1
nu v,u,,u v,E ( u,v,)
n
(1) 设 是 的一组基 它们也是 的个线性无关的特征向量.
返回
3 ( ( ) ) = 1 H,d e t E u,v,v u
1 1 1 1 HE u,v,,,,,v u
2,初等矩阵的特征值
( ( ) ) = { }
n
H
a,b C u,v,,
ab
E ( u,v,) a b,( u )
va
5,非零向量,存在 使得
.
1 ( 1 0)
1
H
HE ( u,v,) E ( u,v,),v uvu
4,
返回
1Ti j i j i j i j i jE E ( e e ) ( e e ) E ( e e,e e,)
3,初等变换矩阵
T
i j j i j iE ( k ) E k e e E ( e,e,k )
11 Ti i i i iE ( k ) E ( k ) e e E ( e,e,k )
返回
2 2 1HHH ( u ) E ( u,u ; ) E u u,( u u )
H o u s e h o l d e r4,初等酉阵( 变换)
1( 1 ) HH ( u ) H ( u ) H ( u )
( 2 ) ( )H ( u ) ( a r u ) a r u,a u,r C 镜象变换返回定义 1 ),()( yxPV n 上，若映射在线性空间
PPVPV nn )()(
,00),(;0),()1( xxxxx 当且仅当
,)(,,),(),()2( PVyxxyyx n
,)(,,,),(),()3( PVyxPyxyx n
)(,,,),(),(),()4( PVzyxzyzxzyx n
上的是则称 )(),( PVyx n.内积
7,欧氏空间上的度量返回例 1 中，定义内积在 nC)1(
nnH bababa2211),(
中，定义内积在 ],[)2( baC
dxxgxfgf ba )()(),(
例 2 n n n T,R,A R,(,) A设则上的内积吗？是 nR
返回定义 2
nV R,,V,
,
在线性空间 ( ) 上，
若映射( ) 满足
( 1 ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0,; x,x x,正定性
( 2 ) ( ) ( ) ( )?k,k,齐次性
( 3 ) ( ),( ) = ( ),,交换律
( 4 ) ( ),( ) ( ) ( ),,,分配律
( ) ( )n,V R,V
n
则映射 是 上的内积 定义了内积的 为维欧几里得空间,简称欧氏空间.
返回定义 2 ),(|||| xxx? 的长度向量 x
定理
2 2 2 2
( ) ( ),
( 1 )
( 2 ) 2 2
( 3 ) | ( ) | ( C a uc hy )
( 4 ) | | | ( )
n
x,y V P
|| x || | | || x ||
|| x y || || x y || || x || || y ||
x,y || x || || y ||
x y | || x || || y ||
设 是 上的内积 则不等式三角不等式返回定义 3 d ( x,y ) || x y || 的距离和向量 yx
定义 4 0),(?yx x y x y?向量 和 正交,记为勾股定理,yx? 222 |||||||||||| yxyx
垂线最短定理,中的一个固定向量欧氏空间 )( RV n
.的距离“垂线最短”和一个子空间中各向量返回
),(),(),(
),(),(),(
),(),(),(
),(
21
22212
12111
1
kkkk
k
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kG
，
12 kn V,,,G r a m,维欧氏空间 中向量 的 行列式定义 5
返回行列式的性质：Gr a m
12 kn V,定理,维欧氏空间 中向量组,,线性相关
12( ) 0kG的充要条件是,,,
i 分别与 作内积得方程组
1 1 1 1 2 2 1( ( ( ) 0kkx,x,x,) + ) +
1 1 2 2 0kkx x x证,+ +
2 1 1 2 2 2 2( ( ( ) 0kkx,x,x,) + ) +
1 1 2 2( ( ( ) 0k k k k kx,x,x,) + ) +
返回
12 kn V,定理,如果 维欧氏空间 中向量组,,线性
G r a mk 它的正交化后，，则将向量组无关,,,21
1 2 1 2
1 1 2 2
( ) ( )
= (,) (,) (,)
kk
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GG
行列式不变，即,,,,,,
证,11 11 将 换成
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
k
k
k k k k
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
G
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