返回第二章向量与 矩 阵的范数返回
1 向量的范数；0||0||)1(?
向量范数的性质：
1定义
.|||| 的范数上向量为则称映射 xC n?;0||||0,0||||)1( xxx 时，当且仅当正定性满足：映射设 RC n ||:||;,||,||||||||)2( nCxRxx齐次性
.,||,||||||||||)3( nCyxyxyx三角不等式;1||
||||
1||0)2( x
x
x 时，
返回证 || x || || ( x y ) y || || x y || | y |||
||;||||||)3( xxCx n,有对任意
.||||||||||||||,)4( yxyxCyx n,有对任意
( 1 )|| x || || y || || x y |||| x y || || y x ||
|| y || ||| x | ( 2 )| x || || y ||| || x y ||
)2(),1( || x || || y ||| || || x y |
1例 12() nnx x,x,,x C设,则
1
1
( 1)
n
i
i
|| x || | x |
范数?1
返回
1( 3 ) iin|| x || m a x | x |
证 1 2 1 2( ) ( )TTnnx x,x,,x y y,y,,y,
221212H n n| x y | | x y x y x y |
2 2 2
12
2 2 2
12
() n
n
| x | | x | | x |
| y | | y | | y |


22|| x || || y ||?
22 ( ) ( )H|| x y || x y x y
2 1 2
2
1
( 2 ) ( )
n
/
i
i
|| x || | x |
范数?2
无穷范数返回
H H H H| x x | | x y | | y x | | y y |
222 2 2 22|| x || || x || || y || || y ||
222()|| x || || y ||
2 2 2| x y || || x || | ||| |y
1引理 u v p q若 和 是非负实数,和 是正实数，且
11,1 1pq
pq满足条件 和,则恒有不等式
11pqu v u v
pq
H H H Hx x x y y x y y
返回证 1 1 / ( 1 )
00
uvppu v u d u v d v
1 puv
o
v
u
/
0
1 vp q pu v d v
p
1 ( / ) 11 ( 1 )p q pquv
pp
11pquv
pq
定义 1/
1
|| || ( | | ) 1
n
pp
pi
i
x x p
范数?p
返回
..1 ( H o ld e r )定理 不等式 11,1 1pq
pq若,且,
1 2 1 2(,,,),(,,,
)
nT
n
T
n
C x x x x y y y
y
则对 任意向量都有
1 / 1 /
1 1 1
| | | | ( | | ) ( | | )
n n n
p p q q
i i i i
i i i
x y x y


证 | | | |,
|| || || ||
ii
pq
xyuv
xy
| || |
|| || || ||
ii
pq
xy
xy
| | | |11 1
|| || || ||
pq
ii
pq
xy in
p x q y
返回
11
11 | | | |
| | | | | | | |
nn
pq
iipq
ii
xyp x q y


1
| || |
|| || || ||
n
ii
i pq
xy
xy
11 1
pq
1 / 1 /
1 1 1
| | | | ( | | ) ( | | )
n n n
p p q q
i i i i
i i i
x y x y


2例
1/
1
|| || ( | | ) 1
n
pp
pi
i
x x p

12(,,,) nnx x x x C设,则
.l d e roH,,范数上的向量范数，称为是 nC
返回证 1
11
11
( | | | |)
| | ( | | | |) | | ( | | | |)
n
p
ii
i
nn
pp
i i i i i i
ii
xy
x x y y x y




1 / ( 1 ) 1 /
11
( | | ) [ ( | | | | ) ]
nn
p p p q q
i i i
ii
x x y?


1 / ( 1 ) 1 /
11
( | | ) [ ( | | | | ) ]
nn
p p p q q
i i i
ii
y x y?


返回
1 / 1 /
11
[ ( | | ) ( | | ) ]
nn
p p p p
i
ii
yy


( 1 ) 1 /
1
[ ( | | | |) ]
n
p q q
ii
i
xy?

1 / 1 / 1 /
1 1 1
[ ( | | | | ) ] [ ( | | ) ( | | ) ]
n n n
p p p p p p
i i i i
i i i
x y y y


pqp )1(
pn
i
p
ii
pn
i
p
ii yxyx
/1
1
/1
1
]|)||(|[]|)(|[


|| || || || || ||p p px y x y
返回定理 2,则上的范数，是设 nm
nm CAC ||||
.|||| 上的范数是 nCA?
证 0)1(?x 0?Ax 0||||?Ax
||)(||)2( xA? |||| Ax |||||| Ax
||)(||)3( yxA? |||| AyAx |||||||| AyAx
引理 2 的一组为线性空间设 )(,,,21 PV nn
Tnn xxxxx ),,(~,~),,,( 121标准正交基，
在闭球上的向量范数，则 ||||)( xPVP nn?
返回
}1)~,~(|{ 2
1
xxxS
.上有界证 Sxx
n ~),,,( 21
1||)~,~(
1
2
n
i
ixxx ),,2,1(1|| nix i
||||||||
1
n
i
iixx? ||||
1
n
i
iix? ||||||
1
n
i
iix?
1
|| ||
n
i
i
M?

返回引理 3 是上的向量范数，则是设 ||||)(|||| xPVx n
.|||| 2 的连续函数关于 x
证 且,),,,(~
21 nn Pxxxx
)(~),,,( 21 PVxx nn
|||||||||| xxx |||| x ||||||||||||
2
2 x
xx

0||||||||||lim
xxxx?
返回定义 2 两种向上定义了在设 ban xxPV ||||,||||)(
证
，使得量范数，若存在常数 0,0 21 CC
12| | | | | | | | | | | | ( )a b a nC x x C x x V P
.|||||||| 等价与则称 ba xx
定理 3,)( 均等价上的任意两个向量范数PV n
为任两向量范数ba xx ||||,||||
的连续函数都是 2||||||||,|||| xxx ba
返回的连续函数关于 2||||
||||
||||)( x
x
xx
b
a
1||||
||||)( k
x
xx
b
a ba xkx |||||||| 1?
同理可证 ab xkx |||||||| 2?
.)( 均等价上的任意两个向量范数因此,PV n
定义 3,如果设 nTknkkk Cxxxx ),,,( )()(2)(1)(?
),,2,1(lim )( niax iki
k


).,,,( 21)( nk aaaax收敛于则称向量序列返回定义 4 ax k
k

)(lim 0||||lim )(

ax k
k
定理 4
ax k
k

)(lim 0||||lim )(

ax k
k
上的任一向量范数，则是设 nC||||?
证 ax k
k

)(lim )1(lim )( niax iki
k


)1(0||lim )( niax iki
k


0|}{|m a xlim )(
1

i
k
inik ax 0||||lim )( ax kk
返回
|||||||||||| )()()( axMaxaxm kkk
0||||lim||||lim )()(

axax k
k
k
k
例 6 且设,)1,,1,1( nT Ra
)
)1(
11,,
3
11,
2
11()(
kkk
k
n
x

则
ax k
k

)(lim
返回证
||||lim )( ax kk |}{|m a xlim )(1 ikinik ax
}1{m a xlim
)1(1 kinik
k
k 2
1lim

0?