返回
2 圆盘定理
{,| | | |}i ii i ij
ji
S z C z a R a

定义 1 () nn
ijA a C
设行盖尔圆盘
{,| | | |}i ii i ji
ji
G z C z a C a
列盖尔圆盘定理 1 (圆盘定理 1) nnA C A设,则 的任一特征值
1
n
jjSS
返回
12( (,,,) 0)TnA x x x x x x证：
1
( 1,2,,)
n
ij j i
j
a x x i n?
1| | m a x ( | |,,| | ) 0knx x x
1
n
k j j k
j
a x x?
()k k k k j j
jk
x a a x?

| | | | | |k k k k j j
jk
x a a x?
| | | |k j j
jk
ax
| | | |k k j
jk
xa

||k k kaR
返回例 1
11
10
22
13
0
22
05
22
1 0 0 5
i
A
ii
i











估计矩阵的特征值 的分布范围返回解：
1,| 1 | 1 ;Sz
2
33,| | ;
22Sz
3,| 5 | 1 ;Sz
4,| 5 | 1S z i
O
5
1
2?
3
5
1S 3S
4S
2S
推论 1 nnA C A设,则 的任一特征值
1
n
iij G
返回
11 12 1 11 12 1
21 22 2 22 21 2
1 2 1 2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
nn
n n nn nn n n
a a a a a a
a a a a a a
A
a a a a a a






定理 2 (圆盘定理 2) n A n设 阶方阵 的 个盖尔圆盘中
kG有 个圆盘的并形成一连通区域,且它与余下
-n k G的 个圆盘都不相交，则在该区域 中恰好有
Ak的 个特征值.
证：
即,A=D+B
返回
,[0,1 ]A D B
( ) ( )iiR A R B ()iRA
1
{,| | ( ) }
k
ii i
i
G z C z a R A
设
1
( ) {,| | ( ) ( ) }
k
k ii i i
i
G z C z a R A R A

(1)kGG?
返回
11a
22a
kka
1,1kka
,nna
G
返回推论 2 nnA C A设,则 的任一特征值
11
( ) ( )
nn
i i j
ij
SG?

推论 3 n A n设 阶方阵 的 个盖尔圆盘两两互不相交，
.A则 相似于对角阵推论 4 n A n设 阶实阵 的 个盖尔圆盘两两互不相交，
.A则 特征值全为实数返回
12(,,,),( 0)niD d i a g p p p p令
1D AD?
2
11 12 1
11
1
21 22 2
22
12
12
n
n
n
n
n n n n
nn
pp
a a a
pp
pp
a a a
pp
pp
a a a
pp











返回
1
1
| |,
j
n
i ij
i j
ji
r a p
p

1
||
,
j
n
ij
j
ii
ij
a
tp
p

定理 2 nnA C A设,则 的任一特征值
11
( ) ( )
nn
i i j
ij
QP?

{,| | }i ii iQ z C z a r
{,| | }j jj jP z C z a t
返回例 2
0,9 0,01 0,12
0,01 0,8 0,13
0,01 0,02 0,4
A



估计矩阵的特征值 的范围解：
1,| 0,9 | 0,1 3 ;Sz
2,| 0,8 | 0,1 4 ;Sz
3,| 0,4 | 0,0 3Sz
O
返回
( 1,1,0,1 )D d ia g?
1,| 0,9 | 0,0 2 2 ;Sz
2,| 0,8 | 0,0 2 3 ;Sz
3,| 0,4 | 0,3Sz
O
1
| | | | ( 1,2,,)
n
ii i ij
j
ji
a R a i n

定义 2 nnAC设行对角占优列对角占优
1
| | | | ( 1,2,,)
n
ii i ji
j
ji
a C a i n

返回
1
| | | |
n
ii i ij
j
ji
a R a
行严格对角占优列严格对角占优
1
| | | |
n
ii i ji
j
ji
a C a

定理 4 nnAC设 行 (或列 )严格对角占优,则
1
( 1 ) ( {,| | | |} )
n
i i i ii ii
i
A S S z C z a a?
可逆，且
(2)若 A的所有主对角元都为正数，则 A的特征值都有正实部；
返回
1
| | | |
n
i ij ii
j
ji
R a a
(1)A行严格对角占优
(3)若 A为 Hermite矩阵，且所有主对角元都为正数，
则 A的特征值都为正数,
证：
1
( {,| | | | } )
n
i i i ii ii
i
S S z C z a a?

0 iS?
1
0
n
i
i
S
( 2) 0,| | | |ii ii iia a aA的特征值都有正实部返回
( 3) HAA? A的特征值都是实数
A的特征值都有正数