4 一阶线性常系数微分方程组
1
1 1 1 1 2 2 1 1
2
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
d ( )
( ) ( ) ( ) ( )
d
d ( )
( ) ( ) ( ) ( )
d
d ( )
( ) ( ) ( ) ( )
d
nn
nn
n
n n nn n n
xt
a x t a x t a x t f t
t
xt
a x t a x t a x t f t
t
xt
a x t a x t a x t f t
t



0( ),1,2,,iix t c i n满足初始条件
0
d ( )
( ) ( )
d
()
xt
Ax t f t
t
x t c


( ),i j n nAa其中,12( ) ( ( ),( ),,( ) ),Tnx t x t x t x t?
12(,,,),Tnc c c c? 12( ) ( ( ),( ),,( ) ),Tnf t f t f t f t?
d d ( )( ( ) ) ( ) ( )
dd
A t A t A t xte x t e A x t e
tt

d ( )( ( ) ) ( )
d
A t A txte A x t e f t
t

0[,]tt在 上积分
1
1 2 3
2
13
3
1 2 3
1 2 3
d ( )
( ) 2 ( ) 6 ( )
d
d ( )
( ) 3 ( )
d
d ( )
( ) ( ) 4 ( )
d
( 0 ) 1,( 0 ) 0,( 0 ) 0
t
t
xt
x t x t x t e
t
xt
x t x t
t
xt
x t x t x t e
t
x x x




例 1,求解初值问题
0
0
0( ) ( ) ( ) d
tAtA t A
te x t e x t e f

0
0
()( ) ( ) dtA t t A t A
tx t e c e e f

解：
1 2 6 1
1 0 3,0,( ) 0
1 1 4 0
t
t
e
A c f t
e





1 2 2 6
1 3,
13
At t
t t t
e e t t t
t t t



12
At t
t
e c e t
t





0 ( ) d
t Aef
0
18
4d
14
t





0 ( ) d
t Aef
2
2
2
4
2
2
tt
t
tt






0 ( ) d
tA t Ae e f
2
2
2
41
2
22
t
t
et
t






0
0
()( ) ( ) dtA t t A t A
tx t e c e e f

0( ) ( ) d
tA t A t Ax t e c e e f
2
2
2
1 3 4
2
2
t
tt
e t t
t






0,A n t设 是 阶常系数矩阵 如果对任意的定义
0x和,初值问题
00
d ( )
()
d
()
xt
A x t
t
x t x


d ( )( ) l i m ( ) 0 ( )
dt
xtx t x t A x t
t的解 满足,则称 的
.解是 渐进稳定的
0t对任意的定理 0x和,初值问题
00
d ( ) ( ),( )
d
xt A x t x t x
t
()xt的解 A是渐进稳定的充要条件是 的特征值都
.有负实部必要性：:证 1 1 1 1 1 1 1(,0 )Ai
1
d ( ) ( ),( 0 )
d
xt A x t x
t 的解为1
() Atx t e
1 1te 1 1 1 1c o s s i n )te t i t（ t
()xt 不收敛( 矛盾 ）
充分性,0t对任意的 0x和,初值问题 d ( ) ( ),
d
xt A x t
t?
的解为00()x t x? 0() 0() A t tx t e x ()A? 都有负实部
0() 0l i m ( ) l i m 0A t t
tt x t e x