矩阵分析第 五 章
,,2,1,
)()(
2
)(
1
)(
2
)(
22
)(
21
)(
1
)(
12
)(
11
)(

k
aaa
aaa
aaa
A
k
mn
k
m
k
m
k
n
kk
k
n
kk
k
其中型矩阵序列为设 },{ )( kAnm?
AA k
k

)(l i m定义 1,ijkij
k
aa?

)(lim
1 矩阵序列与矩阵级数定理 1,则，设,,.limlim )()( CBBAA k
k
k
k


;)(lim)1( )()( BABA kk
k

;lim)2( )()( ABBA kk
k

.)(lim)3( 11)()(

AAAA k
k
k 都可逆时，与当定理 2,中上任一矩阵范数，是设 nmnm CC ||||
的充要条件是收敛于矩阵序列 AA k }{ )(
0||||lim )(

AA k
k
P r,oof nnCA
))(,),(),(( 211 21 srrr sJJJd i a gJAPP
充分性：)1(
，为正整数，若设 )(0lim kACA k
k
nn

:2定义
.收敛矩阵为则称 A
为收敛矩阵的充要，则设 ACA nn3定理
.1)(?Ar条件是
1 PPJA kk 0?kA 0?kJ
0)(?ikriJ?
| | 1i 1 0 ( 1,,1 )l k lk i iC l r
0)(?ikriJ?
1111
22
)
()
ii
ii
i
r k rkk
i k i k i
r k rk
k i k i
r i i
k
i
CC
C
J k r









，
0?kJ
0?kA
必要性：)2( 0)(?ikr
iJ?0?
kA
0?ki? 1||?i?
:,0,,
,
| ( ) | [ ( ) ],1,2,;,1,,.
nn
kk
ij
A C A
c
A c r A k i j n



推论 设 则存在与 有关的常数 使得称的矩阵序列是设,}{ )( nmk CA?:3定义

)()2()1(
1
)( k
k
k AAAA
.为矩阵级数 为矩阵级数的部称
N
k
kN AS
1
)()(
则称如果分和,lim,)( SS N
N

.
1
)( 收敛
k
kA
个数项级数如果 mn:4定义
njmia
k
k
ij,,2,1;,,2,1,
1
)(
.,
1
)( 绝对收敛则称矩阵级数都绝对收敛
k
kA
绝对收敛的充要条件中在?
1
)(,
k
knn AC4定理
.||||
1
)( 收敛是正项级数
k
kA
P r,oof 绝对收敛
1
)(
k
kA Ma
N
k
k
ij
1
)( ||



N
k
m
i
n
j
k
ij
N
k
m
k aA
1 1 1
)(
1
)( ||||||
1mnM?
收敛?
1
)(
1||||k m
kA 收敛
1
)( ||||
k
kA
必要性,收敛
1
)( ||||
k
kA 收敛
1
)(
1||||k m
kA
1
( ) ( )| | || ||kkij maA?
绝对收敛?
1
)(
k
k
ija
可逆AI?
)N e u m a n n(5 定理定理 级数的方阵 N e u m a n nA
.)(,,1)( 1 AIAr 其和为且收敛时收敛的充要条件是

0
2
k
kk AAAIA
12 ))(( kk AIAIAAAI?
111 )()( AIAAIAAI kk?
( ) 1rA?
P r,oof 充分性,1)(?Ar
12 )( AIAAAI k?
1)(?Ar
收敛 ijkijijij AAA )()()( 2?
0)(?ijkA
必要性,收敛?
0k
kA
0))(( ijkk AA
6定理 设幂级数则矩阵幂满足如果方阵收敛半径为,)(,rArAr?

0
)(
k
k
k zczf
0k
k
k Ac级数 则矩阵幂级如果绝对收敛,)(; rAr?
.
0
发散数?
k
k
k Ac