5.3 矩阵的微分和积分
§ 1.函数矩阵的微分积分
1,( ( ) )
()
ij m n
ij
A a t
a t t
定义 矩阵 称为函数矩阵,如果是以变量 的函数.
,( ) [,],,,
( ( ) ) [,],,
ij
ij m n
a t t a b
A a t a b?
定义2 如果 在 上连续 可微 可积 则称矩阵 在 上连续 可微 可积.
' ( ) ( ' ( ))
( ) ( ( ) )
ij m n
bb
ij
aa
A t a t
A t d t a t d t

规定,
2
:
sin 4
( ),
c o s lntt
t t t
At
t e t a



例 求函数矩阵的导数
1 c o s 0 2
,( ) 1
s in lntt
tt
d
At
dt t e a a
t



解
( ),( ),mnA t B t C性质,设 是两个可微函数 则
( 1 ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )d d dA t B t A t B td t d t d t
( 2 ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )d d dA t B t A t B t A t B td t d t d t
( 3 ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )d d da t A t a t A t a t A td t d t d t
,nnAC性质2,设 是常数矩阵 则
( 1 ) ;tA tA tAd e Ae e Adt
( 2 ) c o s( ) sin( ) sin( ) ;d tA A tA tA Adt
( 3 ) sin( ) c o s( ) c o s( ) ;d tA A tA tA Adt
( ),( ) [,],mnA t B t C a b性质3,设 在 上可积 则
( 1 ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )b b ba a aA t B t d t A t d t B t d t
( 2 ) ( ) ( ) ;bbaaA t d t A t d t( 3 ) ( ( ) ) ( ) ;
( ( ) ) ( ),
bb
aa
A t B d t A t d t B
AB t d t A B t d t


.二 数量函数对矩阵变量的导数
,( ),( )
,
mn
ij
ij
X x C f X X
f
mn
x
fX

定义 设 是以 为自变量的 元函数,且 都存在 则对 的导数为
11 1
1
.
n
m m n
ff
xx
df
dX
ff
xx









12,(,,),( ),,.
TT
n T
d f d fx x x f x x x
dx dx例 设 求
2
1
,( ),
n
T
i
i
f x x x x
解
2,1,2,,.i
i
f x i n
x

12
12
2 2 (,,,),
2 2 (,,,),
T
n
T
nT
df
x x x x
dx
df
x x x x
dx

3,( ),( ) ( ),.ij n n dfA a f X tr AX dX例 设 为常数矩阵 求
11
,( ) ( )
nn
ij ji
ij
f X tr A X a x

解
,ji
ji
f a
x

( ) ( ),Tji n n
ij
d f f aA
d X x?

,ij
ij
f a
x

AI? ( ),
ij
d f f I
d X x

.三 矩阵值函数对矩阵变量的导数
( ),( )
1,,; 1,,; ( ) ( ( ) )
mn
s t ij
rs
ij
d e f X x C f X m n
i r j s F X f X C


,设 是 元函数
11 1
1
()
,
n
m m n
F X X
FF
xx
dF
dX
FF
xx










则 对矩阵 的导数为
111
1
,
s
ij ij
ij
rsr
ij ij
ff
xx
F
x
ff
xx










其中
1,(,,),
,?
T
n
T
T
x x x
d x d x
dx dx
例 设 是向量变量 求
1
1 0 0
0 1 0
:
0 0 1
T
T
T
n
x
x
dx
dx
x
x









解
1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
T
n
d x x x
xxdx