§ 2 矩阵的范数定义 1 RPPA nmnm,，若映射设 ||||
满足
.|||| 上的矩阵范数为则称映射 nmp
1 0 0 0( ) || A ||,A || A || ;正定性 当且仅当 时，;,||,||||||||)2( nmPARAA齐次性
.,||,||||||||||)3( nmPBABABA三角不等式例 1,则设 nmPA


n
j
m
i
ijm aA
1 1
|||||| 1
2
1
1 1
2 )||(||||
2

n
j
m
i
ijm aA
njmiaA ij
jim
11|}{|m a x||||
,
定义 2,:||||,:|||| RPRP nl
blma设是矩阵范数，如果RP nmc:||||
bac BAAB ||||||||||||
.||||||||,|||| 相容和则称矩阵范数 cba
如果
|||||||||||| BAAB
.|||| 是自相容矩阵范数则称?
例 3,||||||||
21 是相容的矩阵范数和 mm
例 2 njmiaA
ijjim 11|}{|m a x||||,
.是不相容的矩阵范数例如


22
22
AB
2||||mAB 1|||||||| mm BA



11
11
BA
证 nllm PBPA,设


n
j
m
i
l
k
kjikm baAB
1 1 1
||||||)1 1



n
j
m
i
l
k
kjik ba
1 1 1
||||
)||||(
1 1 1



l
k
m
i
n
j
kjik ba



l
k
m
i
n
j
kjik ba
1 1 1
||||
)||||(
1 1 11



l
k
m
i
n
j
kj
l
k
ik ba
)||()||(
1 1 11



m
i
l
k
n
j
kj
l
k
ik ba
11 |||||||| mm BA
2
1
1 1 1
2 )||(||||)2
2


n
j
m
i
l
k
kjikm baAB
2
1
1 1 1
2 ]|)|||([


n
j
m
i
l
k
kjik ba
2
1
1
2
1 1 1
2 )]||()||([


l
k
kj
n
j
m
i
l
k
ik ba
2
1
1 1
22
1
1 1
2 )||()||(


l
k
n
j
kj
m
i
l
k
ik ba
22 |||||||| mm BA
2
1
1 1 1
2
1
2 )]}||([)||({


n
j
m
i
l
k
ik
l
k
kj ab
定理 3,nnPA设则若 ),,,,()1( 21 naaaA

n
i
imF aAA
1
2
2
22 ||||||||||||
2
.|||| 22 iHii aaa?其中，

n
i
H
i
H
m AAAAtrA
1
2 )()(||||)2(
2?
，有、对任意的酉矩阵 nnPVU)3(
222
222 |||||||||||| m
HmHm UA VAVUA
证
)(||||)3( 2 2 AAtrA Hm? )( HAAtr?
)( HH AAVVtr? ])([ HAVAVtr?
])[( AVAVtr H? )( AVAVtr HH?
)( AVUUAVtr HHH?
)]()[( AVUAVUtr HHH?
2
2|||| m
H AVU?
推论 1,nnPA设,、对任意的酉矩阵 nnPVU
有
2222 |||||||||||||||| mmmm U A VAVUAA