返回一,引言
1.方程组求解,?Ax b
11 1
1
0 1 2,,,,,
n
ii
n nn
aa
A a i n
aa
A 非奇异
1x A b
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,A D L U
1( ),J a c o b i i t e r a t i v e m e t h o dM D N L U
A x b? 0A M N ( d e t M )M x N x b
M x N x b 11x M N x M b
1 1 1( k ) ( k ) ( k )x M N x M b M x b
2( ),G a u s s - S e i d e l i t e r a t i v e m e t h o dM D L N U
11
31( ) ( ),[ ( ) ]
S u c c e ssi ve Ove r r e lax at ion It e r at ive m at h od s
M D L N D U
返回
2、码理论中的矩阵方法矩阵：)1,0()1 之间与，而且或矩阵的元素都是 1010
:的运算满足;011,101,110,000
.111,001,010,000
格雷码：)2,是一种改变量最小的码个相邻的数字间，其改在二进数码内，往往两
01143.,二进数码是由变到比如由变量不是最小
.31 0 0 位，其改变量是变到返回
0
1
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000
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十进数 二进码 格雷码 格雷码十进数返回二进码转换为格雷码：)3
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011000
001000
000110
000011
000001
P
的转换矩阵：到 120?p
返回第一章线性代数基础返回
1,线 性 空 间中定义加法：在是一个数域是一非空集合，设 VPV,
1、什么是线性空间？
如果之间定义数量乘法：与在,; kPVv
加法与数量乘法满足：
1)
2) ( ) ( )
3 ) 0,,0VV有
4),,,0V V s t
1)5
)()()6 kllk?
lklk )()7
lkk )()8
性空间.则V 称为数域P 上的线返回
.2 线性空间判断下列集合是否构成的全体向量所构向量空间中不平行于一已知?)1
成的集合，
的多项式全体所上次数等于定数数域 )1()2?nnP
构成的集合,?性空间是否构成复数域上的线返回
2 线性空间的基和维数.
定义 在 中有 个线性无关的向量而 中任意 个向量都线性相关则称 是 的一组基就是线性空间的维数
:,,,
,
,,,
.
n
n
Vn
Vn
V
n
1
1
1
返回
..4 与一组基求下列线性空间的维数
，阶方阵构成的空间上全体数域 nnPnP?)1
.)2 上的空间域中全体对称矩阵构成数 PP nn?
解,njiEP
ijnn,,2,1,)1 基为
2)d i m ( nP nn
nji
E
EE
F
ii
jiij
ij
1)2 令
.2 )1(?nn维数为返回可交换的矩阵组，证明：全体与设 APA nn5
).( AC成的一个子空间，记为证 EAAE? ).( ACE?
)(,21 ACAA 2211,AAAAAAAA
AAA )()1 21? AAAA 21 21 AAAA
)( 21 AAA
:
,
.
P V W
V W V
定义 如果数域 上的线性空间 的一非空子集对于 的两种运算也构成线性空间 则称 是 的线性子空间返回
AkA )()2 1 )( 1 AAk? )( 1AAk? )( 1kAA?
.)( 的子空间是 nnPAC?
则的两个非平凡子空间，是线性空间、设 VVV 21.6
.21 同时成立、，使中存在向量 VVV
是非平凡子空间1V证：
1V存在向量
,则结论成立如果 2V
V 2,?如果,? 是非平凡子空间2V
返回
2V存在向量
,则结论成立如果 1V
,就有如果 1V
2211,;,VVVV
21,VV
返回
2 空间分解与维数定理
1 2 1 2,,V V V V V定义1 设 是线性空间 的子空间 则 与 的和为
12VV? 1 2 1 1 2 2{ |,}VV
返回
1l
2l
2? 1
1V
2V
返回定理 1：设
1V 2V
和 是线性空间 V的子空间，则
d im ( ) d im ( ) d im ( ) d im ( )1 2 1 2 1 2V V V V V V
(,)1 2 1 1 2 2有 VV
且是唯一的，这个和 12VV? 就称为直和,记为 21 VV?
定义 2 设 1V 2V和 是线性空间 V的子空间,若对,12VV
返回定理 2：设,1V 2V 是线性空间 V的子空间,则下列命题等价
（ 1） 21 VV? 是直和：
（ 2） 零向量表示法唯一；
（ 3） }.0{21?VV?
例 1：,,( ) ( ),LL设 线性无关 则 是直和
.( ) ( )LL而,不是直和返回定义 3：设 sVVV,,,21?是线性空间 V的子空间，如果和
sVVV21
,( 1,2,,)12V i ss i i
sVVV21 中的每个向量? 的分解式是唯一的，这个和 就称为直和，记为V + V + + V1 2 s
相互等价：
（ 2） 零向量表示法唯一；
定理 3：设 是线性空间 V的子空间，则下列命题sVVV,,,21?
（ 1） 是直和,sVVVW21
（ 3） }.0{)(
ij ji
VV?
（ 4）,)d i m ()d i m ( iVW
返回
3 商 空 间定义 1,MMVV 模与则称满足如果设 ''',,
,同余 ).( m o d' M记为性质 1 反身律：
性质 2 对称律：
性质 3 传递律：
。)( m o d M
。则若 )( m o d),( m o d MM
。则若 )( m o d),( m o d MM
。则 )(m o d M
返回定义 2,设,V 则 V 的子集 { | }M m m M
内的任一向量必与 ;M? 模 同余 反之,M?与 模 同余的向量必属于,M M则 为模 M 的一个 同余类,? 称为这个同余类的 代表,
性质 4,.,M M M若则
.)()(, MMMM?则若性质 5：
定义 3,V 的所有模 M 的同余类的全体组成的集合称为 V
的 商集,记为,V?
给商集定义如下的加法和数乘运算：
( ) ( ) ( )M M M
（ 2） ()k M k M
（ 1）
返回下面证明如上定义的运算的合理性。
' ( m o d )M
)( m o d' M
}（ 1),)( 11' Mmm }
)( 22' Mmm
Mmm )()( 21''
''( ) ( )MM
)()()()( '' MMMM
（ 2),)( m o d' M )(' Mmm
Mkkmkk ' MkMk '
)()( ' MkMk
返回定理 1 商集关于上面定义的加法和数量乘法运算为数域上的一个线性空间，这个线性空间称为 V对于子空间 M的商空间，记为 V / M,
定理 2 设 M 是 V 的子空间，则
dim (V / M)=dim (V) - dim (M)
证明：,,,12MV s将 的一组基 扩充为 的基为
nss,,,,,,121
下面证明
12,,,( 2 1 ) s s nM M M
是商空间 V / M 的一组基,
返回
(1),先证（ 2-1）式在 V / M 内线性无关。
MMkMk nnss 0)()( 11
MMkk nnss 0)( 11
ssnnss kkkk 1111
01111 ssnnss kkkk
021 nss kkk?
(2),再证任一 M 都可由（ 2-1）式线性表出。
1 1 1 1k k k ks s s s n n
()1 1 1 1k k k k Ms s n n s s
返回
( m o d )11k k Ms s n n
()11M k k Ms s n n
( ) ( )11M k M k Ms s n n
( ) ( )11M k M k Ms s n n
由（ 1）和（ 2）知（ 2-1）式是商空间 V/M 的一组基，故
dim (V / M)=dim (V) - dim (M)
返回
o
y
x
如图，取 ),1,0( 则
M 就是商空间 V / M 的基，
由 MkMk )( 就得到商空间 V / M 的所有元素。
例 1 xoy平面向量的线性空间 V 的维数是 dim(V )=2，
而 ox轴上所有向量形成 V的一维子空间 M，且有 dim(M)=1,
故,dim(V / M )=2 - 1=1
返回例 2 设,3RV? 取 M是 ox轴的一维子空间，则 dim(V/M)=3-1=2
o
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取 ),0,1,0( )1,0,0(
,M M
基，由就是商空间的
)()( MkMk
就得到商空间 的所有元素。
1.方程组求解,?Ax b
11 1
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返回
2、码理论中的矩阵方法矩阵：)1,0()1 之间与，而且或矩阵的元素都是 1010
:的运算满足;011,101,110,000
.111,001,010,000
格雷码：)2,是一种改变量最小的码个相邻的数字间，其改在二进数码内，往往两
01143.,二进数码是由变到比如由变量不是最小
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000110
000011
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的转换矩阵：到 120?p
返回第一章线性代数基础返回
1,线 性 空 间中定义加法：在是一个数域是一非空集合，设 VPV,
1、什么是线性空间？
如果之间定义数量乘法：与在,; kPVv
加法与数量乘法满足：
1)
2) ( ) ( )
3 ) 0,,0VV有
4),,,0V V s t
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性空间.则V 称为数域P 上的线返回
.2 线性空间判断下列集合是否构成的全体向量所构向量空间中不平行于一已知?)1
成的集合，
的多项式全体所上次数等于定数数域 )1()2?nnP
构成的集合,?性空间是否构成复数域上的线返回
2 线性空间的基和维数.
定义 在 中有 个线性无关的向量而 中任意 个向量都线性相关则称 是 的一组基就是线性空间的维数
:,,,
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返回
..4 与一组基求下列线性空间的维数
，阶方阵构成的空间上全体数域 nnPnP?)1
.)2 上的空间域中全体对称矩阵构成数 PP nn?
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E
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.2 )1(?nn维数为返回可交换的矩阵组，证明：全体与设 APA nn5
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,
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.21 同时成立、，使中存在向量 VVV
是非平凡子空间1V证：
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,则结论成立如果 2V
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返回
2V存在向量
,则结论成立如果 1V
,就有如果 1V
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返回
2 空间分解与维数定理
1 2 1 2,,V V V V V定义1 设 是线性空间 的子空间 则 与 的和为
12VV? 1 2 1 1 2 2{ |,}VV
返回
1l
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返回定理 1：设
1V 2V
和 是线性空间 V的子空间，则
d im ( ) d im ( ) d im ( ) d im ( )1 2 1 2 1 2V V V V V V
(,)1 2 1 1 2 2有 VV
且是唯一的，这个和 12VV? 就称为直和,记为 21 VV?
定义 2 设 1V 2V和 是线性空间 V的子空间,若对,12VV
返回定理 2：设,1V 2V 是线性空间 V的子空间,则下列命题等价
（ 1） 21 VV? 是直和：
（ 2） 零向量表示法唯一；
（ 3） }.0{21?VV?
例 1：,,( ) ( ),LL设 线性无关 则 是直和
.( ) ( )LL而,不是直和返回定义 3：设 sVVV,,,21?是线性空间 V的子空间，如果和
sVVV21
,( 1,2,,)12V i ss i i
sVVV21 中的每个向量? 的分解式是唯一的，这个和 就称为直和，记为V + V + + V1 2 s
相互等价：
（ 2） 零向量表示法唯一；
定理 3：设 是线性空间 V的子空间，则下列命题sVVV,,,21?
（ 1） 是直和,sVVVW21
（ 3） }.0{)(
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（ 4）,)d i m ()d i m ( iVW
返回
3 商 空 间定义 1,MMVV 模与则称满足如果设 ''',,
,同余 ).( m o d' M记为性质 1 反身律：
性质 2 对称律：
性质 3 传递律：
。)( m o d M
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内的任一向量必与 ;M? 模 同余 反之,M?与 模 同余的向量必属于,M M则 为模 M 的一个 同余类,? 称为这个同余类的 代表,
性质 4,.,M M M若则
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定义 3,V 的所有模 M 的同余类的全体组成的集合称为 V
的 商集,记为,V?
给商集定义如下的加法和数乘运算：
( ) ( ) ( )M M M
（ 2） ()k M k M
（ 1）
返回下面证明如上定义的运算的合理性。
' ( m o d )M
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}（ 1),)( 11' Mmm }
)( 22' Mmm
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（ 2),)( m o d' M )(' Mmm
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)()( ' MkMk
返回定理 1 商集关于上面定义的加法和数量乘法运算为数域上的一个线性空间，这个线性空间称为 V对于子空间 M的商空间，记为 V / M,
定理 2 设 M 是 V 的子空间，则
dim (V / M)=dim (V) - dim (M)
证明：,,,12MV s将 的一组基 扩充为 的基为
nss,,,,,,121
下面证明
12,,,( 2 1 ) s s nM M M
是商空间 V / M 的一组基,
返回
(1),先证（ 2-1）式在 V / M 内线性无关。
MMkMk nnss 0)()( 11
MMkk nnss 0)( 11
ssnnss kkkk 1111
01111 ssnnss kkkk
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(2),再证任一 M 都可由（ 2-1）式线性表出。
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( ) ( )11M k M k Ms s n n
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由（ 1）和（ 2）知（ 2-1）式是商空间 V/M 的一组基，故
dim (V / M)=dim (V) - dim (M)
返回
o
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如图，取 ),1,0( 则
M 就是商空间 V / M 的基，
由 MkMk )( 就得到商空间 V / M 的所有元素。
例 1 xoy平面向量的线性空间 V 的维数是 dim(V )=2，
而 ox轴上所有向量形成 V的一维子空间 M，且有 dim(M)=1,
故,dim(V / M )=2 - 1=1
返回例 2 设,3RV? 取 M是 ox轴的一维子空间，则 dim(V/M)=3-1=2
o
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取 ),0,1,0( )1,0,0(
,M M
基，由就是商空间的
)()( MkMk
就得到商空间 的所有元素。
