第三章矩阵的分解
§ 1 矩阵的三角分解一,n 阶方阵的三角分解定义 1 1 1 1 2 1
2 2 2
0
( 0 )
00
n
n
ii
nn
a a a
aa
Ra
a
正线上三角阵
100
10
1
2
112
n
n
a
aa
R
单位上三角阵定义 2 11
2 1 2 2
12
00
0
( 0 )
ii
n n nn
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aa
La
a a a
正线下三角阵
1
01
001
21
21
nn
aa
a
L
单位下三角阵
2.两个上三角矩阵,的乘积 也是上三角矩阵,且对角元是 与 对角元之积 ;
21 RR 21RR
21 RR
1.上三角矩阵 R 的逆 也是上三角矩阵,且对角元是 R 对角元的倒数 ;
1?R
3.酉矩阵 U 的逆 也是酉矩阵 ;1?U
4.两个酉矩阵之积 也是酉矩阵,21UU
：定理 1
RUA 1?
可唯一分解为或是正线上三角复矩阵是酉矩阵，其中，
A
RU,1
2LUA?
.,2 是酉矩阵是正线下三角复矩阵其中,UL
证,),,,( 21 naaaA nn
nCA
可唯一地分解为则设 ACA nnn,
正交化、单位化
1
1
1
1
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1
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j
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或线性无关 naaa,,,21?
nika
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1
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1
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n
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n
n
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0
),,(
222
12111
21
RU 1?
2211 RURUA设唯一性,22111 RUUR
2VR? 为酉矩阵V
111111)1( lvk?
nn
n
n
nn
n
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l
ll
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2
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n
n
vvv
vvv
vvv
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21
22221
12111
nilv i,,20111 011?l 0121 nvv?
nnn
n
vv
vv
V
2
222
0
0
001为酉矩阵V 0,1 11211 nvvv?
类 推
nEV?
2121 RRUU
可唯一地分解为则设：推论 ARA nnn,1
RQA 1?
可唯一分解为或是正线上三角实矩阵是正交矩阵，其中，
A
RQ,1
2LQA?
2L,Q,其中,是正线下三角实矩阵 是正交矩阵
1 0 2
1 1 0
1 2 3
A Q R,
例1 求三阶实矩阵 的 分解
1 2 3(),A,,解
1 2 2,,S c h m i d t,对 使用 正交化得
11 ( 1,1,1 ) T
21
2 2 1 2 1
11
( - 1,0,1 ) T(,)
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3 3 2 1
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1 1 5 /3
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3
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1 2 3
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6
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3 3 5 3
= 0 2 1 2
5
00
6
/
Q/
2,A
R
推论,设 是实对称正定矩阵 则存在唯一的正线上三角实矩阵,使
RRA T?
证,是实对称正定矩阵A )1(PPA T?
可逆P QRP? QRQRA TT?
RRA T?
唯一性,2211 RRRRA TT设
121211 )()( RRRR TT nE? 21 RR?
，使一的正线上三角复矩阵则存在唯矩阵是正定设：推论,H e r m i t e3 A
RRA H?
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( ) 0,1,,
k
k
k
n n k k
a a a
a a a
i k n
a a a
表示下三角复矩阵，用设 LCA nnn,
是上三角复矩阵，R,~ 是单位下三角复矩阵L
则下列命题等价：
表示对角矩阵，是单位上三角复矩阵,DR~
：定理 2
~)( RLAAii?可唯一地分解为
)()( iii?
RLAAiii ~)(?可唯一地分解为
.)( ~~ RDLAAiv?可唯一地分解为证：
为一阶方阵A)1(
~
RLA?
阶方阵为 1)2(?nA
~
11 RLA?设阶方阵为 nA)3(?
nn
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1
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~
~
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2 1 3
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2 4 3
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1 2 3
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12
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11 12 13
21 22 23
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,1 0,0
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n
nm
n
nm
m
nm
m
RCA
Anr a n k A
RCAA
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记为为列满秩矩阵，则称如果记为为行满秩矩阵，则称如果矩阵，实复为设定义 3：
则矩阵，为行满秩矩阵或列满秩设 A
，使得上三角复矩阵阶正线及阶酉矩阵则存在，设
R
nUmCAi nmn)(
0
RUA
定理 3
二、任意矩阵的三角分解
，使得下三角复矩阵阶正线及阶酉矩阵则存在，设
L
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证,nmnCAi)( 线性无关naaa,,,21?
线性无关mnn aaaaa,,,,,,121
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阶正线上三角矩阵是其中可唯一地分解为则，设
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设,则 可唯一地分解为其中 是 阶正线下三角矩阵定理 4：
AxAx HH 0)( AxAx H
矩阵为正定 H e r m i t eAA H
.RRAA HH?
1 ARU令 )()( 11 ARARUU HH
11)( ARAR HH 11)( RRRR HH nE?
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2211 RURUA
唯一性
1111 RUURAA HHH? 11 RR H? 22 RR
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21 RR? 21 UU?
V
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r
00
0
,使得阶正线下三角矩阵及和则存在酉矩阵，设定理 5
证,nm
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线性无关其中,r,,,21?
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PV
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0 1
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§ 1 矩阵的三角分解一,n 阶方阵的三角分解定义 1 1 1 1 2 1
2 2 2
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1
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单位下三角阵
2.两个上三角矩阵,的乘积 也是上三角矩阵,且对角元是 与 对角元之积 ;
21 RR 21RR
21 RR
1.上三角矩阵 R 的逆 也是上三角矩阵,且对角元是 R 对角元的倒数 ;
1?R
3.酉矩阵 U 的逆 也是酉矩阵 ;1?U
4.两个酉矩阵之积 也是酉矩阵,21UU
：定理 1
RUA 1?
可唯一分解为或是正线上三角复矩阵是酉矩阵，其中，
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RU,1
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可唯一地分解为则设 ACA nnn,
正交化、单位化
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001为酉矩阵V 0,1 11211 nvvv?
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可唯一地分解为则设：推论 ARA nnn,1
RQA 1?
可唯一分解为或是正线上三角实矩阵是正交矩阵，其中，
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2LQA?
2L,Q,其中,是正线下三角实矩阵 是正交矩阵
1 0 2
1 1 0
1 2 3
A Q R,
例1 求三阶实矩阵 的 分解
1 2 3(),A,,解
1 2 2,,S c h m i d t,对 使用 正交化得
11 ( 1,1,1 ) T
21
2 2 1 2 1
11
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Q/
2,A
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推论,设 是实对称正定矩阵 则存在唯一的正线上三角实矩阵,使
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证,是实对称正定矩阵A )1(PPA T?
可逆P QRP? QRQRA TT?
RRA T?
唯一性,2211 RRRRA TT设
121211 )()( RRRR TT nE? 21 RR?
，使一的正线上三角复矩阵则存在唯矩阵是正定设：推论,H e r m i t e3 A
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1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
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表示下三角复矩阵，用设 LCA nnn,
是上三角复矩阵，R,~ 是单位下三角复矩阵L
则下列命题等价：
表示对角矩阵，是单位上三角复矩阵,DR~
：定理 2
~)( RLAAii?可唯一地分解为
)()( iii?
RLAAiii ~)(?可唯一地分解为
.)( ~~ RDLAAiv?可唯一地分解为证：
为一阶方阵A)1(
~
RLA?
阶方阵为 1)2(?nA
~
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例2 求 的 及 分解
1 2 3
21,2,5,d e t 5
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记为为列满秩矩阵，则称如果记为为行满秩矩阵，则称如果矩阵，实复为设定义 3：
则矩阵，为行满秩矩阵或列满秩设 A
，使得上三角复矩阵阶正线及阶酉矩阵则存在，设
R
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定理 3
二、任意矩阵的三角分解
，使得下三角复矩阵阶正线及阶酉矩阵则存在，设
L
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设,则 可唯一地分解为其中 是 阶正线下三角矩阵定理 4：
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11)( ARAR HH 11)( RRRR HH nE?
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证,nm
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线性无关其中,r,,,21?
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