3,算 子 范 数定义 1 是上的向量范数，是设 mna P ||||||||
上的矩阵范数，且nnP?
ama xAAx ||||||||||||?
.|||||||| 相容的矩阵范数为与向量范数则称 am
例 1
.|||| 1 相容的矩阵范数是与向量范数?
，则设 nnn PAPx,
n
j
n
i
ijm aA
1 1
|||||| 1
证
n
i
n
k
kik xaAx
1 1
1 ||||||
n
i
n
k
kik xa
1 1
||||
n
k
n
i
kik xa
1 1
||||
n
k
k
n
i
n
k
ik xa
11 1
||)||(
1|||||||| 1 xA m
)|||(|
1 1
n
k
n
i
ikk ax
)||||(
1 11
n
k
n
i
ik
n
k
k ax
例 2
.相容的矩阵范数
2||||||||,2 xAPAPx mnnn 是与，则设
证 2
2|||| Ax?
n
i
ninii xaxaxa
1
2
2211 ||?
)||()||(
1 1 1
22
n
i
n
j
n
j
jij xa
n
i
n
j
n
j
jij xa
1 1 1
22 ||)||(
222 ||||||||
2 xA m
证定理 1 则上的向量范数是设,,|||| nnna PAPx
0
a
a x
a
|| A x |||| A || m a x
|| x || 1a a||u ||( m a x || A u || )
.|||| 相容的矩阵范数是与向量范数 ax
0
a
a x
a
|| A x |||| A || m a x
|| x || a
a
a x
AxA
||||
||||||||?
aaa AxxA ||||||||||||
0)1?A 00?xP n 中存在 00?Ax
0||||,0|||| 00 aa xAx
0|||| ||||||||
0
0
a
a
a x
AxA
0
2 aa
x a
|| A x ||) || A || m a x
|| x ||
0
a
x a
| | || A x ||m a x
|| x ||
0
a
x a
|| A x ||| | m a x
|| x || aA ||||||
aBA ||||)3? 0 ax
a
|| ( A B ) x ||m a x
|| x ||?
0
aa
x a
|| A x || || B x ||m a x
|| x ||?
00
aa
xx
|| A x || || B x ||m a x m a x
|| x || || x ||
aa BA ||||||||
推论 1,,|||| nnn
a PBAPx、上的向量范数是设容的的算子范数，则它是相是从属于 aa xA ||||||||
矩阵范数，即
aaa BAAB ||||||||||||
证
0
a
a x
a
|| A B x |||| A B || m a x
|| x ||
0
aa
x a
|| A || || B x ||m a x
|| x ||?
0
a
a x
a
|| B x |||| A || m a x
|| x || aa BA ||||||||
算子范数的特性：
相容的矩阵范数中它是所有与向量范数 ax ||||)1
.最小的证
naa PxxAAx ||||||||||||
0 na
a
|| A x || || A || x P
|| x ||
0
a
a x
a
|| A x |||| A || m a x || A ||
|| x ||
它的两种表达形式)2
0
a
a x
a
|| A x |||| A || m a x
|| x || 1a a||u ||( m a x || A u || )
3 ),阵 数 论它是自相容矩 范 ( 推 1 )
定理 2 存在向量是相容的矩阵范数，则设 m||||?
，使范数 |||| x
|||||||||||| xAAx m
证
nnmH PxPaxax,||||||||?
向量范数定义
a)1 nH Pxxa,
nmH Pxxax0||||||||
mHxax ||||||||)2 mHxa ||||||
|||||| x
mHayxyx ||)(||||||)3 mHH yaxa ||||
mHmH yaxa ||||||||
|||||||| yx
mHAx aAx ||||||||)4? mHm xaA ||||||||
|||||||| xA m
例 3 ),,,(),0,,0,1( 21 nxxxxa取则
00
00
00
||||||||
2
1
2
n
m
H
x
x
x
xax
2/1
1
2 )||(?
n
i
ix 2|||| x?
定理 3 是一相容的矩如果 RC nn
m:||||
mi A ||||||
，有阵范数，则对任一 nnCA
.的特征值是其中,Ai?
证 xAx
i |||||||||| xx ii
|||| xA? |||||||| xA m? mi A ||||||
二、算子范数 的计算,
例 4 的算子范数为从属于向量范数
1|||| x
)||(m a x||||
1
1?
n
i
ijj aA
.被称为极大列和范数证
n
i
n
j
jij xaAx
1 1
1 ||||||
n
i
n
j
jij xa
1 1
||||
n
j
n
i
jij xa
1 1
||||
n
j
n
i
jij xa
1 1
|||)|(
n
j
j
n
i
ij
j
xa
11
||)||m a x(
11 |||||||| xA
),,,(
1)||(m a x||
21
11
n
n
i
ij
j
n
i
is
A
nsaa
令
n
j
n
i
jij
j
xa
1 1
|||)|m a x(
1|||| s
00100s?取个第 s
1|||| sA? 1|||| s
1
0 1x
|| A x ||m a x
|| x || 1
|||| A
n
i
ijj a
1
||m a x
1|||| s
1|||| 1?s?
例 5 的算子范数为从属于
|||| x
)||(m a x||||
1
n
j
iji aA
.被称为极大行和范数证 }|{|m a x||||
1
n
k
kiki xaAx
}||||{m a x
1
n
k
kiki xa
}||m a x||{m a x
1
n
k
k
i
ik
i
xa
|}{|m a x}||{m a x
1
k
k
n
k
ik
i
xa
|||||||| xA
)1(|||||||| ||||?
A
x
Ax
nsaa
n
j
iji
n
j
sj
1)||(m a x||
11
令
),,2,1(|| njeaa jisjsj记
),,,( 21 niii eeez1||||z
|||| Az?
n
j
i
sj
jea
1
||
n
j
sja
1
||
)2(|||||||| ||||?
A
z
Az?
|||| z?
)||(m a x||||
1
n
j
iji aA
例 6 的算子，则从属于设 2|||| xPA nm
为范数（又称为谱范数）
)(|||| 2 AArA H?
证定义 2 的特征值，则是，设 ACA
inn
.的谱半径称为 A||m a x)( i
iAr
0)()()( AXAXXAAXXf HHH
的单位正交特征向量是对应 ii
n
X?
;021
1|||| 2 uPu n 且设
nn XaXaXau2211
1|||||||||||||||| 222212 nH aaauuu?
nnnH XaXaXaAuA222111
AuAuAuAuAu HHH )(|||| 22
)||||||||||( | | 222211 naaa
1
2222211 |||||||||||| nn aaa
121|||| ||||m a x
2
Au
u
11221 |||| AXAXAX HH?又 111 XX H 1
)(||||m a x||||
121||||2
2
AArAuA H
u
三,谱范数的性质定理 4,则设 nnCA
2222 ||||||||||||||||)1( AAAA TH
2222 ||||||||||||)2( AAAAA HH
都有及阶酉矩阵对任何 VUn)3(
2222 |||||||||||||||| AU A VAVUA
证
xAxA H)1(
0若 非满秩AA H 非满秩HAA
的特征值也是 HAA0
0若 0 Axy
yAA H AxAA H? )( xA yAx
的特征值也是 HAA?
:同理可证 的特征值的特征值也是 AAAA HH
)(|||| 2 AArA H? )( HAAr? 2|||| HA?
|)(| THT AAE |)(| THAAE || HAAE
2|||| A 2|||| HA? 2|||| TA?
2|||| A 2|||| HA? 2|||| TA? 2|||| A?
22||||)2( AA H )]()[( AAAAr HHH?
])[( 2AAr H? 2)]([ AAr H?
2222 |||||||||||| AAAAA HH
22||||)3( UA )]()[( UAUAr H? ][ UAUAr HH?
)( AAr H? 22|||| A?
定理 5,则设 nnCA
||m a x||||)1(
1||||||||2
AxyA H
yx
||||||||||||)2( 122 AAA
证
22 ||||||||||)1( AxyAxy H? 222 |||||||||||| xAy?
2|||| A?
21|||||||| ||||||m a x AAxy Hyx
21||||2 ||||m a x|||| AxA x 0|||||||| 202 AxA
20
0
0 |||| Ax
Axy?
|| 00 Axy H |||||
)(|
0
20
0 Ax
Ax
Ax H?
20 |||| Ax? 2|||| A?
21|||||||| ||||||m a x AAxy Hyx
)(||||)2( 22 AArA H?
1|||| AA H?
11 |||||||| AA H?
|||||||| 1 AA
四,广义算子范数定理 6 则都是向量范数设,,||||,|||| nnba PA
0
a
a,b x
b
|| A x |||| A || m a x
|| x || )||||m a x( 1|||| au Au
b?
.上的广义算子范数叫做 nnP?
定理 7 都是向量范数，则与设 cba ||||||||,||||
cbbaca BAAB,,,||||||||||||?
总结,
1
11
( 1 )
mn
m ij
ij
|| A || | a |
2
1
12
2 2
11
( 2 ) ( )
mn
H
m i j
ij
|| A || | a | tr A A
( 3 ) m ij
i,j
|| A || | a |m a x
1
1
( 4 )
n
ijj
i
|| A || m a x ( | a | )
1
( 5 )
n
iji
j
|| A || m a x ( | a | )?
2( 6 )
H|| A || r ( A A )?
应用 1 矩阵逆的摄动
( 1 ) A A A
AA
矩阵 可逆,与其摄动矩阵 满足什么条件时,可逆?
11( 2 ),( )
A A A A A当 可逆 与 的近似程度如何估计
1
:,
( ) | | | | | | | |
.
p p p
A
K A A A
A
定义 设 是可逆矩阵 称是 相对给定范数的条件数
11
1,,|| || || ||
,|| || 1,,
|| ( ) || ( 1 || || ),
nn
aa
a
aa
A C A x
A E A
E A A
定理 设 是从属于向量范数的矩阵范数 则当 时 可逆 且
1
1
11
1
- 1 1 1
11
,,|| || 1,
( 1 ) ;
|| ||
( 2 ) ( ) ( ),|| || ;
1 || ||
| | ( ) || || ||
( 3 ),
| | || 1 || |
2
|
a
a
a
a
aa
aa
A A A A
AA
AA
A A E F A F
AA
A A A A A
A A A
可逆 为摄动矩阵 则
+ 可逆
+
定
+
理
1 例
2 6 0 0,
2 6,0 0 0 0 1 0 0,0 0 0 0 2AA?
1
1
300 000,5 300 000
,
100 000 100 000
299 999,5 300 000
( ),
100 000 100 000
A
AA?
计算可得
122( ) | | | | | | | | 8,9 4 4 3 1 2 3,5 6 1 1 0 5,K A A A
H i l b e r t m a t r i x例2
1,1nnij ijH h R h ij
11
1
2
1 1 1
2 3 1
1 1 1
2 ( 1 )
n
nH
n n n n
122( ) | | | | | | | | 4,7 6 6 1 e + 0 0 5 ( n = 5 )K A A A
,,0
( ),
| | | | | | | |
( ),
| | | | | | | |
Ax b A b
A x x b b
xb
KA
xb
应用2,线性方程组的摄动定理1 在方程组 中 固定且可逆 令且有小的摄动,则解方程组得
1
,0
,|| || || || 1,
) ( ),
|| ||
()
|| || || ||
,
|| |||| ||
1 ( )
|| ||
A x b b b
A A A A
A A x x b
A
KA
x A
Ax
KA
A
定理2 在方程组 中 固定且可逆矩阵 有小的摄动 当 时
(
得
1
1
,0
,|| || || || 1,
) ( ),
|| || ( ) || || || ||
( ),
|| || ( ) || || || ||
|| ||
( ) || || || ||,( ) 1 ( ) 0.
|| ||
A x b b b
A A A A
A A x x b b
x K A A b
x r A A b
A
K A A A r A K A
A
定理3 在方程组 中 有小的摄动可逆矩阵 有小的摄动 当 时
(
得
上的矩阵范数，且nnP?
ama xAAx ||||||||||||?
.|||||||| 相容的矩阵范数为与向量范数则称 am
例 1
.|||| 1 相容的矩阵范数是与向量范数?
，则设 nnn PAPx,
n
j
n
i
ijm aA
1 1
|||||| 1
证
n
i
n
k
kik xaAx
1 1
1 ||||||
n
i
n
k
kik xa
1 1
||||
n
k
n
i
kik xa
1 1
||||
n
k
k
n
i
n
k
ik xa
11 1
||)||(
1|||||||| 1 xA m
)|||(|
1 1
n
k
n
i
ikk ax
)||||(
1 11
n
k
n
i
ik
n
k
k ax
例 2
.相容的矩阵范数
2||||||||,2 xAPAPx mnnn 是与，则设
证 2
2|||| Ax?
n
i
ninii xaxaxa
1
2
2211 ||?
)||()||(
1 1 1
22
n
i
n
j
n
j
jij xa
n
i
n
j
n
j
jij xa
1 1 1
22 ||)||(
222 ||||||||
2 xA m
证定理 1 则上的向量范数是设,,|||| nnna PAPx
0
a
a x
a
|| A x |||| A || m a x
|| x || 1a a||u ||( m a x || A u || )
.|||| 相容的矩阵范数是与向量范数 ax
0
a
a x
a
|| A x |||| A || m a x
|| x || a
a
a x
AxA
||||
||||||||?
aaa AxxA ||||||||||||
0)1?A 00?xP n 中存在 00?Ax
0||||,0|||| 00 aa xAx
0|||| ||||||||
0
0
a
a
a x
AxA
0
2 aa
x a
|| A x ||) || A || m a x
|| x ||
0
a
x a
| | || A x ||m a x
|| x ||
0
a
x a
|| A x ||| | m a x
|| x || aA ||||||
aBA ||||)3? 0 ax
a
|| ( A B ) x ||m a x
|| x ||?
0
aa
x a
|| A x || || B x ||m a x
|| x ||?
00
aa
xx
|| A x || || B x ||m a x m a x
|| x || || x ||
aa BA ||||||||
推论 1,,|||| nnn
a PBAPx、上的向量范数是设容的的算子范数，则它是相是从属于 aa xA ||||||||
矩阵范数，即
aaa BAAB ||||||||||||
证
0
a
a x
a
|| A B x |||| A B || m a x
|| x ||
0
aa
x a
|| A || || B x ||m a x
|| x ||?
0
a
a x
a
|| B x |||| A || m a x
|| x || aa BA ||||||||
算子范数的特性：
相容的矩阵范数中它是所有与向量范数 ax ||||)1
.最小的证
naa PxxAAx ||||||||||||
0 na
a
|| A x || || A || x P
|| x ||
0
a
a x
a
|| A x |||| A || m a x || A ||
|| x ||
它的两种表达形式)2
0
a
a x
a
|| A x |||| A || m a x
|| x || 1a a||u ||( m a x || A u || )
3 ),阵 数 论它是自相容矩 范 ( 推 1 )
定理 2 存在向量是相容的矩阵范数，则设 m||||?
，使范数 |||| x
|||||||||||| xAAx m
证
nnmH PxPaxax,||||||||?
向量范数定义
a)1 nH Pxxa,
nmH Pxxax0||||||||
mHxax ||||||||)2 mHxa ||||||
|||||| x
mHayxyx ||)(||||||)3 mHH yaxa ||||
mHmH yaxa ||||||||
|||||||| yx
mHAx aAx ||||||||)4? mHm xaA ||||||||
|||||||| xA m
例 3 ),,,(),0,,0,1( 21 nxxxxa取则
00
00
00
||||||||
2
1
2
n
m
H
x
x
x
xax
2/1
1
2 )||(?
n
i
ix 2|||| x?
定理 3 是一相容的矩如果 RC nn
m:||||
mi A ||||||
，有阵范数，则对任一 nnCA
.的特征值是其中,Ai?
证 xAx
i |||||||||| xx ii
|||| xA? |||||||| xA m? mi A ||||||
二、算子范数 的计算,
例 4 的算子范数为从属于向量范数
1|||| x
)||(m a x||||
1
1?
n
i
ijj aA
.被称为极大列和范数证
n
i
n
j
jij xaAx
1 1
1 ||||||
n
i
n
j
jij xa
1 1
||||
n
j
n
i
jij xa
1 1
||||
n
j
n
i
jij xa
1 1
|||)|(
n
j
j
n
i
ij
j
xa
11
||)||m a x(
11 |||||||| xA
),,,(
1)||(m a x||
21
11
n
n
i
ij
j
n
i
is
A
nsaa
令
n
j
n
i
jij
j
xa
1 1
|||)|m a x(
1|||| s
00100s?取个第 s
1|||| sA? 1|||| s
1
0 1x
|| A x ||m a x
|| x || 1
|||| A
n
i
ijj a
1
||m a x
1|||| s
1|||| 1?s?
例 5 的算子范数为从属于
|||| x
)||(m a x||||
1
n
j
iji aA
.被称为极大行和范数证 }|{|m a x||||
1
n
k
kiki xaAx
}||||{m a x
1
n
k
kiki xa
}||m a x||{m a x
1
n
k
k
i
ik
i
xa
|}{|m a x}||{m a x
1
k
k
n
k
ik
i
xa
|||||||| xA
)1(|||||||| ||||?
A
x
Ax
nsaa
n
j
iji
n
j
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1)||(m a x||
11
令
),,2,1(|| njeaa jisjsj记
),,,( 21 niii eeez1||||z
|||| Az?
n
j
i
sj
jea
1
||
n
j
sja
1
||
)2(|||||||| ||||?
A
z
Az?
|||| z?
)||(m a x||||
1
n
j
iji aA
例 6 的算子，则从属于设 2|||| xPA nm
为范数（又称为谱范数）
)(|||| 2 AArA H?
证定义 2 的特征值，则是，设 ACA
inn
.的谱半径称为 A||m a x)( i
iAr
0)()()( AXAXXAAXXf HHH
的单位正交特征向量是对应 ii
n
X?
;021
1|||| 2 uPu n 且设
nn XaXaXau2211
1|||||||||||||||| 222212 nH aaauuu?
nnnH XaXaXaAuA222111
AuAuAuAuAu HHH )(|||| 22
)||||||||||( | | 222211 naaa
1
2222211 |||||||||||| nn aaa
121|||| ||||m a x
2
Au
u
11221 |||| AXAXAX HH?又 111 XX H 1
)(||||m a x||||
121||||2
2
AArAuA H
u
三,谱范数的性质定理 4,则设 nnCA
2222 ||||||||||||||||)1( AAAA TH
2222 ||||||||||||)2( AAAAA HH
都有及阶酉矩阵对任何 VUn)3(
2222 |||||||||||||||| AU A VAVUA
证
xAxA H)1(
0若 非满秩AA H 非满秩HAA
的特征值也是 HAA0
0若 0 Axy
yAA H AxAA H? )( xA yAx
的特征值也是 HAA?
:同理可证 的特征值的特征值也是 AAAA HH
)(|||| 2 AArA H? )( HAAr? 2|||| HA?
|)(| THT AAE |)(| THAAE || HAAE
2|||| A 2|||| HA? 2|||| TA?
2|||| A 2|||| HA? 2|||| TA? 2|||| A?
22||||)2( AA H )]()[( AAAAr HHH?
])[( 2AAr H? 2)]([ AAr H?
2222 |||||||||||| AAAAA HH
22||||)3( UA )]()[( UAUAr H? ][ UAUAr HH?
)( AAr H? 22|||| A?
定理 5,则设 nnCA
||m a x||||)1(
1||||||||2
AxyA H
yx
||||||||||||)2( 122 AAA
证
22 ||||||||||)1( AxyAxy H? 222 |||||||||||| xAy?
2|||| A?
21|||||||| ||||||m a x AAxy Hyx
21||||2 ||||m a x|||| AxA x 0|||||||| 202 AxA
20
0
0 |||| Ax
Axy?
|| 00 Axy H |||||
)(|
0
20
0 Ax
Ax
Ax H?
20 |||| Ax? 2|||| A?
21|||||||| ||||||m a x AAxy Hyx
)(||||)2( 22 AArA H?
1|||| AA H?
11 |||||||| AA H?
|||||||| 1 AA
四,广义算子范数定理 6 则都是向量范数设,,||||,|||| nnba PA
0
a
a,b x
b
|| A x |||| A || m a x
|| x || )||||m a x( 1|||| au Au
b?
.上的广义算子范数叫做 nnP?
定理 7 都是向量范数，则与设 cba ||||||||,||||
cbbaca BAAB,,,||||||||||||?
总结,
1
11
( 1 )
mn
m ij
ij
|| A || | a |
2
1
12
2 2
11
( 2 ) ( )
mn
H
m i j
ij
|| A || | a | tr A A
( 3 ) m ij
i,j
|| A || | a |m a x
1
1
( 4 )
n
ijj
i
|| A || m a x ( | a | )
1
( 5 )
n
iji
j
|| A || m a x ( | a | )?
2( 6 )
H|| A || r ( A A )?
应用 1 矩阵逆的摄动
( 1 ) A A A
AA
矩阵 可逆,与其摄动矩阵 满足什么条件时,可逆?
11( 2 ),( )
A A A A A当 可逆 与 的近似程度如何估计
1
:,
( ) | | | | | | | |
.
p p p
A
K A A A
A
定义 设 是可逆矩阵 称是 相对给定范数的条件数
11
1,,|| || || ||
,|| || 1,,
|| ( ) || ( 1 || || ),
nn
aa
a
aa
A C A x
A E A
E A A
定理 设 是从属于向量范数的矩阵范数 则当 时 可逆 且
1
1
11
1
- 1 1 1
11
,,|| || 1,
( 1 ) ;
|| ||
( 2 ) ( ) ( ),|| || ;
1 || ||
| | ( ) || || ||
( 3 ),
| | || 1 || |
2
|
a
a
a
a
aa
aa
A A A A
AA
AA
A A E F A F
AA
A A A A A
A A A
可逆 为摄动矩阵 则
+ 可逆
+
定
+
理
1 例
2 6 0 0,
2 6,0 0 0 0 1 0 0,0 0 0 0 2AA?
1
1
300 000,5 300 000
,
100 000 100 000
299 999,5 300 000
( ),
100 000 100 000
A
AA?
计算可得
122( ) | | | | | | | | 8,9 4 4 3 1 2 3,5 6 1 1 0 5,K A A A
H i l b e r t m a t r i x例2
1,1nnij ijH h R h ij
11
1
2
1 1 1
2 3 1
1 1 1
2 ( 1 )
n
nH
n n n n
122( ) | | | | | | | | 4,7 6 6 1 e + 0 0 5 ( n = 5 )K A A A
,,0
( ),
| | | | | | | |
( ),
| | | | | | | |
Ax b A b
A x x b b
xb
KA
xb
应用2,线性方程组的摄动定理1 在方程组 中 固定且可逆 令且有小的摄动,则解方程组得
1
,0
,|| || || || 1,
) ( ),
|| ||
()
|| || || ||
,
|| |||| ||
1 ( )
|| ||
A x b b b
A A A A
A A x x b
A
KA
x A
Ax
KA
A
定理2 在方程组 中 固定且可逆矩阵 有小的摄动 当 时
(
得
1
1
,0
,|| || || || 1,
) ( ),
|| || ( ) || || || ||
( ),
|| || ( ) || || || ||
|| ||
( ) || || || ||,( ) 1 ( ) 0.
|| ||
A x b b b
A A A A
A A x x b b
x K A A b
x r A A b
A
K A A A r A K A
A
定理3 在方程组 中 有小的摄动可逆矩阵 有小的摄动 当 时
(
得
