1
第一章 实数集与函数
§ 1 实数教学内容：实数的概念与性质；绝对值与其不等式性质重点：绝对值与其不等式性质要求：理解绝对值不等式性，会解绝对值不等式。
第一章 实 数集与函数
§ 1 实 数数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概念一,实 数及其性 质,
回 顾 中学中 关 于 有理 数 和无理数的 定 义,
有理数,
(,0)p q q
p
能 用 互 质 分 数 为 整 数,表 示 的 数 ；
q
有 限 十 进 小 数 或 无 限 十 进 循 环 小 数 表 示 的 数若 规 定,
0 1 2 0 1 2
.,( 1 ) 99 9
nn
a a a a a a a a
则 有限十 进 小数都能表示成无限循 环 小数 。
2
则有限十进小数都能表成无限循环小数。
例如,001.2 记为?999000.2 ； 0 记为?000.0 ； 8? 记为 999.7?
实数大小的比较定义 1 给定两个 非 负实 数
nn
bbbbyaaaax
210210
.,,
其中
kk
ba,为非负整数,9,0
kk
ba 。若由
1 ）?,2,1,0, kba
kk
则称 x 与 y 相等，记为 yx?
2 ） 若存在非负整数 l,使得 ),,2,1,0(,lkba
kk
,而
11
ll
ba,
则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 yx? （或 xy? ）。
规定任何非负实数大于任何负实数； 对于负实数 yx,，若按定义 1 有
yx,则称 xy?
实 数的有理数近似表示定义 2 设
n
aaaax
210
.? 为非负实数，称有理数
nn
aaaax?
210
.?
非 数
）? 与
）?,
有实 数的有理数近似表示设
3
实数大小的比较定义 1 给定两个 非 负实 数
nn
bbbbyaaaax
210210
.,,
其中
kk
ba,为非负整数,9,0
kk
ba 。若由
1 ）?,2,1,0, kba
kk
则称 x 与 y 相等，记为 yx?
2 ） 若存在非负整数 l,使得 ),,2,1,0(,lkba
kk
,而
11
ll
ba,
则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 yx? （或 xy? ）。
规定任何非负实数大于任何负实数； 对于负实数 yx,，若按定义 1 有
yx,则称 xy?
实 数的有理数近似表示定义 2 设
n
aaaax
210
.? 为非负实数，称有理数
nn
aaaax?
210
.?
下页实数大小的比较定义 给定两个 非 负实 数
其中 为非负整数,。若由
）? 则称 与 相等，记为
） 若存在非负整数,使得?,而,
则称 大于 （或 小于 ），分别记为 （或 ）。
规定任何非负实数大于任何负实数； 对于负实数,若按定义 有
，则称实 数的有理数近似表示定义 设 为非负实数，称有理数
为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
nnn xx 10
1
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数 naaaax 210,
x 的 n 位不足近似值规定为,nnn aaaax 10 1,210 ；
x 的 n 位过剩近似值规定为,nn aaaax?210,
比如 2 1,4 1 4 2?,则
1,4,1,4 1,1,4 1 4,1,4 1 4 2,称 为 2 的 不足近似 值 ；
1,5,1,4 2,1,4 1 5,1,4 1 4 3,称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设 0 1 2 0 1 2.,.x a a a y b b b 为?个 实 数,则
,nnx y n x y存 在 非 负 整 数 使 得为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
nnn
xx
10
1
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数
n
aaaax
210
.
x 的 n 位不足近似值规定为：
nnn
aaaax
10
1
.
210
；
x 的 n 位过剩近似值规定为：
nn
aaaax?
210
.
比如 2 1,4 1 4 2?,则
1,4,1,4 1,1,4 1 4,1,4 1 4 2,称 为 2 的 不足近似 值 ；
1,5,1,4 2,1,4 1 5,1,4 1 4 3,称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设
0 1 2 0 1 2
.,.x a a a y b b b 为?个 实 数,则
,
nn
x y n x y存 在 非 负 整 数 使 得
4
为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
nnn xx 10
1
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数 naaaax 210,
x 的 n 位不足近似值规定为,nnn aaaax 10 1,210 ；
x 的 n 位过剩近似值规定为,nn aaaax?210,
比如 2 1,4 1 4 2?,则
1,4,1,4 1,1,4 1 4,1,4 1 4 2,称 为 2 的 不足近似 值 ；
1,5,1,4 2,1,4 1 5,1,4 1 4 3,称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设 0 1 2 0 1 2.,.x a a a y b b b 为?个 实 数,则
,nnx y n x y存 在 非 负 整 数 使 得例 1 设 yx,为实数,yx?,证明：存在有理数 r 满足
yrx
证明 由 yx 存在非负整数 n,使得 nn yx?,取 2 nn yxr
则 r 显然为有理数，且
yyrxx nn
实 数的一些主要性 质
1 四 则? 算封 闭 性,
2 三? 性 ( 即有序性 ),任何两个实数 ba,，必满足下述三个关系之一,
bababa,,
3 实 数大小由 传递 性,即,a b b c则 有 a c,
4 A c h i m e d e s 性,,,,0,,bnanabba NR
5 稠密性,有理数和无理数的稠密性,给 出稠密性的定 义,
6 实 数集的几何表示,数 轴,
例
,0,.
0,a < b +
a b a b
ab
为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
n
nn
xx
10
1
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数
n
aaaax
210
.
x 的 n 位不足近似值规定为：
n
nn
aaaax
10
1
.
210
；
x 的 n 位过剩近似值规定为：
nn
aaaax?
210
.
比如 2 1,4 1 4 2?,则
1,4,1,4 1,1,4 1 4,1,4 1 4 2,称 为 2 的 不足近似 值 ；
1,5,1,4 2,1,4 1 5,1,4 1 4 3,称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设
0 1 2 0 1 2
.,.x a a a y b b b 为?个 实 数,则
,
nn
x y n x y存 在 非 负 整 数 使 得
2
的的
的? ；
的?
,则称 为 的 值 ；
称 为 的 过 值 。
命 题 设 为 实 则存 在 非 负 整 数 使 得
5
例 1 设 yx,为实数,yx?,证明：存在有理数 r 满足
yrx
证明 由 yx 存在非负整数 n,使得
nn
yx?,取
2
nn
yx
r
则 r 显然为有理数，且
yyrxx
nn
实 数的一些主要性 质
1 四 则? 算封 闭 性,
2 三? 性 ( 即有序性 ),任何两个实数 ba,，必满足下述三个关系之一,
bababa,,
3 实 数大小由 传递 性,即,a b b c则 有 a c,
4 A c h i m e d e s 性,,,,0,,bnanabba NR
5 稠密性,有理数和无理数的稠密性,给 出稠密性的定 义,
6 实 数集的几何表示,数 轴,
例
,0,.
0,a < b +
a b a b
ab
运
6
例 1 设 yx,为实数,yx?,证明：存在有理数 r 满足
yrx
证明 由 yx 存在非负整数 n,使得 nn yx?,取
2
nn yxr
则 r 显然为有理数，且
yyrxx nn
实 数的一些主要性 质
1 四 则? 算封 闭 性,
2 三? 性 ( 即有序性 ),任何两个实数 ba,，必满足下述三个关系之一,
bababa,,
3 实 数大小由 传递 性,即,a b b c则 有 a c,
4 A c h i m e d e s 性,,,,0,,bnanabba NR
5 稠密性,有理数和无理数的稠密性,给 出稠密性的定 义,
6 实 数集的几何表示,数 轴,
例
,0,.
0,a < b +
a b a b
ab
二,绝对值与不等式绝对值 定 义,
,0
||
,0
aa
a
aa
从数 轴 上看 的 绝对值 就是到原点的距 离,
a 0 - a
7
绝对值 的一些主要性 质
| | | | 0 0 | | 0
- < < ; | |,0
4.
5,| | | | | |
||
6,,0
||
a a a a
a a a
a h h a h a h h a h h
a b a b a b
a b a b
aa
b
bb
1,当 且 仅 当 时
2,- | | | |
3,| |
8
性 质 4 （ 三角不等式 ） 的 证 明,
由 性 质 2 - | a | a | a |,- | b | b | b |
两 式 相 加 - ( | a | + | b | ) a + b | a | + | b |
由 性 质 3 上 式 等 价 于 | a + b | | a | + | b |
把 上 式 的 b 换 成 - b 得 | a - b | | a | + | b |
由此 可 推出
|||)(|||
)(|)(|
AxfA
AxfAAxf
9
三,几个重要不等式,
（ 1 ）,2
22
abba,1 s i n?x,s i n xx?
（ 2 ） 对,,,,
21
R
n
aaa? 记
,
1
)(
1
21
n
i
i
n
i
a
nn
aaa
aM
( 算 术 平均 值 )
,)(
1
1
21
n
n
i
i
n
ni
aaaaaG
( 几何平均 值 )
,
111
1
111
)(
1121
n
i i
n
i in
i
a
n
anaaa
n
aH
( 调 和平均 值 )
有均 值 不等式,),( )( )(
iii
aMaGaH 等号当且 仅 当
n
aaa
21
时 成立,
（ 3 ） B e r n o u l l i 不等式,( 在中学已用数学 归纳 法 证 明 过 )
对,0x 由二 项 展 开 式
23
( 1 ) ( 1 ) ( 2 )
( 1 ) 1,
2 ! 3 !
nn
n n n n n
x n x x x x
有,( 1 )
n
h 上式右端任何一 项,
10
三,几个重要不等式,
（ 1 ）,2
22
abba,1 s i n?x,s i n xx?
（ 2 ） 对,,,,
21
R
n
aaa? 记
,
1
)(
1
21
n
i
i
n
i
a
nn
aaa
aM
( 算 术 平均 值 )
,)(
1
1
21
n
n
i
i
n
ni
aaaaaG
( 几何平均 值 )
,
111
1
111
)(
1121
n
i i
n
i in
i
a
n
anaaa
n
aH
( 调 和平均 值 )
有均 值 不等式,),( )( )(
iii
aMaGaH 等号当且 仅 当
n
aaa
21
时 成立,
（ 3 ） B e r n o u l l i 不等式,( 在中学已用数学 归纳 法 证 明 过 )
对,0x 由二 项 展 开 式
23
( 1 ) ( 1 ) ( 2 )
( 1 ) 1,
2 ! 3 !
nn
n n n n n
x n x x x x
有,( 1 )
n
h 上式右端任何一 项,
2 2 2 2
1,
2,(
a b R
ab
a b c R R
a b a c b c
思考题：
、设,是任意正数，恒有关系式 a - b 成立，请问
,之间关系如何？
、设,,表示全体正实数的集合),有关系式：
成立，它的几何意义是什么？
第一章 实数集与函数
§ 1 实数教学内容：实数的概念与性质；绝对值与其不等式性质重点：绝对值与其不等式性质要求：理解绝对值不等式性，会解绝对值不等式。
第一章 实 数集与函数
§ 1 实 数数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概念一,实 数及其性 质,
回 顾 中学中 关 于 有理 数 和无理数的 定 义,
有理数,
(,0)p q q
p
能 用 互 质 分 数 为 整 数,表 示 的 数 ；
q
有 限 十 进 小 数 或 无 限 十 进 循 环 小 数 表 示 的 数若 规 定,
0 1 2 0 1 2
.,( 1 ) 99 9
nn
a a a a a a a a
则 有限十 进 小数都能表示成无限循 环 小数 。
2
则有限十进小数都能表成无限循环小数。
例如,001.2 记为?999000.2 ； 0 记为?000.0 ； 8? 记为 999.7?
实数大小的比较定义 1 给定两个 非 负实 数
nn
bbbbyaaaax
210210
.,,
其中
kk
ba,为非负整数,9,0
kk
ba 。若由
1 ）?,2,1,0, kba
kk
则称 x 与 y 相等，记为 yx?
2 ） 若存在非负整数 l,使得 ),,2,1,0(,lkba
kk
,而
11
ll
ba,
则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 yx? （或 xy? ）。
规定任何非负实数大于任何负实数； 对于负实数 yx,，若按定义 1 有
yx,则称 xy?
实 数的有理数近似表示定义 2 设
n
aaaax
210
.? 为非负实数，称有理数
nn
aaaax?
210
.?
非 数
）? 与
）?,
有实 数的有理数近似表示设
3
实数大小的比较定义 1 给定两个 非 负实 数
nn
bbbbyaaaax
210210
.,,
其中
kk
ba,为非负整数,9,0
kk
ba 。若由
1 ）?,2,1,0, kba
kk
则称 x 与 y 相等，记为 yx?
2 ） 若存在非负整数 l,使得 ),,2,1,0(,lkba
kk
,而
11
ll
ba,
则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 yx? （或 xy? ）。
规定任何非负实数大于任何负实数； 对于负实数 yx,，若按定义 1 有
yx,则称 xy?
实 数的有理数近似表示定义 2 设
n
aaaax
210
.? 为非负实数，称有理数
nn
aaaax?
210
.?
下页实数大小的比较定义 给定两个 非 负实 数
其中 为非负整数,。若由
）? 则称 与 相等，记为
） 若存在非负整数,使得?,而,
则称 大于 （或 小于 ），分别记为 （或 ）。
规定任何非负实数大于任何负实数； 对于负实数,若按定义 有
，则称实 数的有理数近似表示定义 设 为非负实数，称有理数
为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
nnn xx 10
1
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数 naaaax 210,
x 的 n 位不足近似值规定为,nnn aaaax 10 1,210 ；
x 的 n 位过剩近似值规定为,nn aaaax?210,
比如 2 1,4 1 4 2?,则
1,4,1,4 1,1,4 1 4,1,4 1 4 2,称 为 2 的 不足近似 值 ；
1,5,1,4 2,1,4 1 5,1,4 1 4 3,称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设 0 1 2 0 1 2.,.x a a a y b b b 为?个 实 数,则
,nnx y n x y存 在 非 负 整 数 使 得为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
nnn
xx
10
1
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数
n
aaaax
210
.
x 的 n 位不足近似值规定为：
nnn
aaaax
10
1
.
210
；
x 的 n 位过剩近似值规定为：
nn
aaaax?
210
.
比如 2 1,4 1 4 2?,则
1,4,1,4 1,1,4 1 4,1,4 1 4 2,称 为 2 的 不足近似 值 ；
1,5,1,4 2,1,4 1 5,1,4 1 4 3,称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设
0 1 2 0 1 2
.,.x a a a y b b b 为?个 实 数,则
,
nn
x y n x y存 在 非 负 整 数 使 得
4
为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
nnn xx 10
1
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数 naaaax 210,
x 的 n 位不足近似值规定为,nnn aaaax 10 1,210 ；
x 的 n 位过剩近似值规定为,nn aaaax?210,
比如 2 1,4 1 4 2?,则
1,4,1,4 1,1,4 1 4,1,4 1 4 2,称 为 2 的 不足近似 值 ；
1,5,1,4 2,1,4 1 5,1,4 1 4 3,称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设 0 1 2 0 1 2.,.x a a a y b b b 为?个 实 数,则
,nnx y n x y存 在 非 负 整 数 使 得例 1 设 yx,为实数,yx?,证明：存在有理数 r 满足
yrx
证明 由 yx 存在非负整数 n,使得 nn yx?,取 2 nn yxr
则 r 显然为有理数，且
yyrxx nn
实 数的一些主要性 质
1 四 则? 算封 闭 性,
2 三? 性 ( 即有序性 ),任何两个实数 ba,，必满足下述三个关系之一,
bababa,,
3 实 数大小由 传递 性,即,a b b c则 有 a c,
4 A c h i m e d e s 性,,,,0,,bnanabba NR
5 稠密性,有理数和无理数的稠密性,给 出稠密性的定 义,
6 实 数集的几何表示,数 轴,
例
,0,.
0,a < b +
a b a b
ab
为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
n
nn
xx
10
1
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数
n
aaaax
210
.
x 的 n 位不足近似值规定为：
n
nn
aaaax
10
1
.
210
；
x 的 n 位过剩近似值规定为：
nn
aaaax?
210
.
比如 2 1,4 1 4 2?,则
1,4,1,4 1,1,4 1 4,1,4 1 4 2,称 为 2 的 不足近似 值 ；
1,5,1,4 2,1,4 1 5,1,4 1 4 3,称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设
0 1 2 0 1 2
.,.x a a a y b b b 为?个 实 数,则
,
nn
x y n x y存 在 非 负 整 数 使 得
2
的的
的? ；
的?
,则称 为 的 值 ；
称 为 的 过 值 。
命 题 设 为 实 则存 在 非 负 整 数 使 得
5
例 1 设 yx,为实数,yx?,证明：存在有理数 r 满足
yrx
证明 由 yx 存在非负整数 n,使得
nn
yx?,取
2
nn
yx
r
则 r 显然为有理数，且
yyrxx
nn
实 数的一些主要性 质
1 四 则? 算封 闭 性,
2 三? 性 ( 即有序性 ),任何两个实数 ba,，必满足下述三个关系之一,
bababa,,
3 实 数大小由 传递 性,即,a b b c则 有 a c,
4 A c h i m e d e s 性,,,,0,,bnanabba NR
5 稠密性,有理数和无理数的稠密性,给 出稠密性的定 义,
6 实 数集的几何表示,数 轴,
例
,0,.
0,a < b +
a b a b
ab
运
6
例 1 设 yx,为实数,yx?,证明：存在有理数 r 满足
yrx
证明 由 yx 存在非负整数 n,使得 nn yx?,取
2
nn yxr
则 r 显然为有理数，且
yyrxx nn
实 数的一些主要性 质
1 四 则? 算封 闭 性,
2 三? 性 ( 即有序性 ),任何两个实数 ba,，必满足下述三个关系之一,
bababa,,
3 实 数大小由 传递 性,即,a b b c则 有 a c,
4 A c h i m e d e s 性,,,,0,,bnanabba NR
5 稠密性,有理数和无理数的稠密性,给 出稠密性的定 义,
6 实 数集的几何表示,数 轴,
例
,0,.
0,a < b +
a b a b
ab
二,绝对值与不等式绝对值 定 义,
,0
||
,0
aa
a
aa
从数 轴 上看 的 绝对值 就是到原点的距 离,
a 0 - a
7
绝对值 的一些主要性 质
| | | | 0 0 | | 0
- < < ; | |,0
4.
5,| | | | | |
||
6,,0
||
a a a a
a a a
a h h a h a h h a h h
a b a b a b
a b a b
aa
b
bb
1,当 且 仅 当 时
2,- | | | |
3,| |
8
性 质 4 （ 三角不等式 ） 的 证 明,
由 性 质 2 - | a | a | a |,- | b | b | b |
两 式 相 加 - ( | a | + | b | ) a + b | a | + | b |
由 性 质 3 上 式 等 价 于 | a + b | | a | + | b |
把 上 式 的 b 换 成 - b 得 | a - b | | a | + | b |
由此 可 推出
|||)(|||
)(|)(|
AxfA
AxfAAxf
9
三,几个重要不等式,
（ 1 ）,2
22
abba,1 s i n?x,s i n xx?
（ 2 ） 对,,,,
21
R
n
aaa? 记
,
1
)(
1
21
n
i
i
n
i
a
nn
aaa
aM
( 算 术 平均 值 )
,)(
1
1
21
n
n
i
i
n
ni
aaaaaG
( 几何平均 值 )
,
111
1
111
)(
1121
n
i i
n
i in
i
a
n
anaaa
n
aH
( 调 和平均 值 )
有均 值 不等式,),( )( )(
iii
aMaGaH 等号当且 仅 当
n
aaa
21
时 成立,
（ 3 ） B e r n o u l l i 不等式,( 在中学已用数学 归纳 法 证 明 过 )
对,0x 由二 项 展 开 式
23
( 1 ) ( 1 ) ( 2 )
( 1 ) 1,
2 ! 3 !
nn
n n n n n
x n x x x x
有,( 1 )
n
h 上式右端任何一 项,
10
三,几个重要不等式,
（ 1 ）,2
22
abba,1 s i n?x,s i n xx?
（ 2 ） 对,,,,
21
R
n
aaa? 记
,
1
)(
1
21
n
i
i
n
i
a
nn
aaa
aM
( 算 术 平均 值 )
,)(
1
1
21
n
n
i
i
n
ni
aaaaaG
( 几何平均 值 )
,
111
1
111
)(
1121
n
i i
n
i in
i
a
n
anaaa
n
aH
( 调 和平均 值 )
有均 值 不等式,),( )( )(
iii
aMaGaH 等号当且 仅 当
n
aaa
21
时 成立,
（ 3 ） B e r n o u l l i 不等式,( 在中学已用数学 归纳 法 证 明 过 )
对,0x 由二 项 展 开 式
23
( 1 ) ( 1 ) ( 2 )
( 1 ) 1,
2 ! 3 !
nn
n n n n n
x n x x x x
有,( 1 )
n
h 上式右端任何一 项,
2 2 2 2
1,
2,(
a b R
ab
a b c R R
a b a c b c
思考题：
、设,是任意正数，恒有关系式 a - b 成立，请问
,之间关系如何？
、设,,表示全体正实数的集合),有关系式：
成立，它的几何意义是什么？
