第二节 收敛数列的性质冯永平
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定理 1 收敛的数列必定有界,
证,l i m ax
nn设 由定义,,1取
,1, axNnN n时恒有使得当则
.11 axa n即有
},1,1,,,m a x { 1 aaxxM N?记
,,Mxn n?皆有则对一切自然数,有界故 nx
注意,有界性是数列收敛的必要条件,推论 无界数列必定发散,
1.有界性一、数列极限的性质
2.唯一性定理 2 每个收敛的数列只有一个极限,
证
babxax nnnn,lim,lim 又设由定义,
使得对于,,,2 21 NNab;1 axNn n时恒有当;2 bxNn n时恒有当
,,m a x 21 NNN?取时有则当 Nn?
2
abax
n

矛盾！即 2,2 baxbax nn
.时才能成立上式仅当 ba?故极限唯一,
2
abbx
n

3.保号 性定理 3 若,则对任意
.（或 ）,
)0(0li m aaa nn 或 ),0( ar?
),0( ar? )(,raraNnN nn 或时有定理 4 若 均存在，并且则：
4.保不等 性
nnnn ba lim,lim nn baNnN 时,
nnnn ba l i ml i m
例 1
.lim
,0lim,0
ax
axx
nn
nnn



求证且设证,0任给
.lim ax nn故
,l i m ax nn
,axNnN n 时恒有使得当
ax
axax
n
n
n?
从而有
a
ax n
a

5.夹逼准则如果数列
nn
yx,及
n
z 满足下列条件,
,lim,lim)2(
)3,2,1()1(
azay
nzxy
n
n
n
n
nnn



那末数列
n
x 的极限存在,且 ax
n
n

lim,
证,,azay nn
使得,0,0,0 21 NN?
本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一个计算数列极限的方法。
,1 ayNn n时恒有当
},,m a x { 21 NNN?取恒有时当,Nn?
, aya n即
,2 azNn n时恒有当
, aza n
上两式同时成立,
, azxya nnn
,成立即 ax n,l i m ax nn
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限注意,,
,
的极限是容易求的与并且与键是构造出利用夹逼准则求极限关
nn
nn
zy
zy
例 2 求数列 的极限。
解,记,这里,则有：
左右两边的极限均为 1,故由夹逼准则本例得证 。
}{n n
nnn hna 1 )1(0 nhn
1
2111
nha nn
例 3 ).12111(l i m 222 nnnn
n?


求解,1111 2222 n nnnnnn n
n
nn
n
nn 1
1
1limlim
2

又
,1?
2
2 1
1
1lim
1
lim
n
n
n
nn
,1? 由夹逼定理得
.1)12111(l i m 222
nnnnn
6、极限运算法则
.0,lim)3(;lim)2(;)(lim)1(
,lim,lim








B
B
A
b
a
BAba
BAba
BbAa
n
n
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
其中则设小结,为非负整数时有和当 nmba,0,0 00




,,
,,0
,,
l i m
0
0
1
10
1
10
mn
mn
mn
b
a
bnbnb
anana
n
nn
m
mm
n
当当当
例 4 求
0,lim 001
10
1
10



ba
bnbnb
anana
n
nn
m
mm
n?
例 5 求,其中 。
例 6 求 。
定理 数列 收敛的充要条件为：
的任何非平凡子列都收敛 。
1l i m n
n
nn a
a 1a
)1(l i m nnnn
}{ na
}{ na