第四节 两个重要极限冯永平
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A
C
一 1
s i nl i m
0
x
x
x
)20(,, xxAO BO 圆心角设单位圆
,t a n,,s i n ACxABxBDx 弧于是有
xo
B
D
.A C O?，得作单位圆的切线
,xOA B 的圆心角为扇形,BDOA B 的高为?
,ta ns i n xxx,1s i nco s x xx即
.02 也成立上式对于 x,20 时当 x
xx co s11co s0 2s in2 2 x? 2)2(2 x?,2
2x
,02lim
2
0
x
x
,0)c o s1(lim 0 xx
,1c o sl i m0 xx,11l i m0x?又,1
s i nlim
0 x
x
x
例 1,co s1lim 2
0 x
x
x
求解 2
2
0
2
s i n2
l i m
x
x
x?
原式 2
2
0
)
2
(
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1
x
x
x?
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0
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2
2
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1
x
x
x?
21
2
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1?
二 ex
x
x


)11(l i m
n
n nx )
11(设
21!2 )1(1!11 nnnnn
).11()21)(11(!1)11(!2111 nnnnnn
nnn
nnnn 1
!
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1


n
n
nnn
n
n
nnnn
x n

,1 nn xx显然 ;是单调递增的n?
!
1
!2
111
nx n 12
1
2
111
n?
12
13
n,3 ;是有界的nx?
.l i m 存在nn x
en n
n


)11(l i m记为 )71828.2(e
,1 时当?x,1][][ xxx有
,)][ 11()11()1][ 11( 1][][ xxx xxx
)][ 11(lim)][ 11(lim)][ 11(lim ][1][ xxx
x
x
x
x
x



而,e?
11][
][
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1][
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1(l i m)
1][
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1][
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x
x
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x
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,e?
.)11(l i m ex xx
,xt令
t
t
x
x tx
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11(l i m)11(l i m t
t t )1
11(l i m

)111()111(lim 1 tt tt,e?
ex x
x


)11(lim
,1xt?令
t
t
x
x t
x )11(lim)1(lim
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,e?
ex x
x

1
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例 2,)11(l i m x
x x

求解
xx
x

)11(
1lim
1])11[(l i m

x
x x原式,
1
e?
例 3,)23(l i m 2 xx xx求解
422 )
2
11(])
2
11[(lim
xx
x
x原式,2e?
三、小结
1.两个准则
2.两个重要极限夹逼准则 ; 单调有界准则,;1s i nl i m1 0
某过程
.)1(l i m2
1
0 e
某过程
,为某过程中的无穷小设?