1
,f
f
我们先简述一下求不定积分为什么要比求导数困难得多？
我们知道，如果已知一个函数可导，则我们利用求导公式及导数的运算法则，总可以求出它的导数。但是求函数的不定积分则不然，
它的运算关键是求出被积函数的一个原函数，而原函数的定义不象导数定义那样具有构造性，它只告诉我们其导数恰是某个已知函数 并没有告诉我们怎样由 求出它的原函数的具体形式和途径。因此，求一个函数的不定积分要比求一个函数的导数要困难得多。根 据不定积分运算法则与不定积分公式只能求出很少一部分比较简单的函数的不定积分，而对于更广泛函数的不定积分要因函数不同形式或不同类型选
§ 2 换元积分法与分部积分法
2
1( f?
用不同的方法，因此求不定积分具有很大的灵活性。本节所讲的换元积分法与分部积分法是求不定积分的最基本最常用的两种重要方法。
这两种方法都能化繁为简，即都能将不定积分的被积函数化简，直到能应用不定积分表中的公式求出它的不定积分。
一、换元积分法由复合函数求导法则，可得两种换元积分法。它是求不定积分经常使用的极为重要的方法，常常在应用其它方法的同时，也要伴随着应用换元积分法。
、第一换元法 凑微分法：设
) ( ),( )
( ) ( ) ( ( ) )
()
()
u d u F u C u u x
f u x u x d x F u x C
ux
f u d u
可微，则：
称这种为凑微分法，是因为在实际计算时,的形式是“凑出来”的，目的是使被积表达式可以看成为,同时能积出来。
3
2 ) ( ) ( )1
1 ( ) ( )
2
( ) ( ),( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ),
1 ; 2
F x f u x
f u x u x dx
u x dx d u x f u x u x
f u x u x dx f u x d u x F u x C
t gx dx
、设）凑微分说明：
）、凑微分法适用于求被积函数呈 的不定积分。
）、用凑微分法求不定积分时，关键是把被积函数适当地分成两部分：
一部分当成 与 凑成 而剩下部分,恰为 的函数。
其积分过程为：
例、求 例,
22
22
22
,( 0)
3,( 0) ; 4,( 0) ;
5 se c
dx
a
ax
dx dx
aa
xa
ax
x dx
求例,求 例,
例,求
4
2 ( )
( ) ( ),( ( ) ) ( ) ( ),
( ) ( ( ) ),
1
2
()
f x dx
x x t t t x f x t x t dx F t C
f x dx F t x C
f x dx
作
、第二换元法 代入换元法，也称逆代换法：设 存在，
可微且存在反函数 又若 则：
说明：
）、一般来说，若被积函数含有根号，而用凑微分法难以求出其积分时，可考虑用代入换元法作代换，作代换的目的在于去掉被积函数的根号。
）、代入换元法的积分过程恰与凑微分法相反，其过程为：
( ) ( ) ( ( ) ) ( )
1
( ( ) ) ( ) ( )
( ( ) ),
x x t F t f x t x t
tx
f x t x t dt F t C
F t x C
代换,设把 还原成 的函数
5
22
3
2
22 22
22
6,7,( 0),
8 ( 0) 9,( 0),
10,
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),(
du
a x dx a
uu
dx dx
aa
xa xa
dx
xx
u x v x u x v x dx u x v x dx
u x v x dx u x v x u x v x dx
例,求 例,求例,求,,例,
例,求二、分部积分法由乘积求导法，容易推出：
设 与 可微,存在，则 也存在，并有：
称为分部积分法公式）
6
1
2
3,
1;
2
u d v
v d x d v
v u d x
说明：
）、分部积分法是与求导运算中的乘积求导法则相对应的积分法则。
）、如果被积函数中出现幂函数、指数函数、三角函数这三类函数中两类或两类以上函数的乘积，或者出现对数函数，反三角函数，都可以考虑用分部积分法求其积分。
）、应用分部积分法，最关键是如何正确选择 与 一般来说，它们选择应遵循两个原则：
（）、作为 的函数与 要比较容易凑成：
（ ）、应用公式后，未积出部分,要比
u v d x?
使用公式前的：
简单。
7
1 2 3
32
3
(4
11 c os ; 12,
13 l n 14
15 c os sin,
1
x
a x a x
uv dx ud v uv v du v u dx
x x dx arc tgx dx
x x dx x e dx
e bx dx e bx dx
、凑,使用公式,微分出来否则，使用分部积分法失效。
（ ）、应用分部积分法求其积分的过程：
、求最后积分）
例,求 例,求例,求 例,求例,求 与最后补充说明一下：
）、对一个积分需连续几 次使用分部积分法才能求出其积分的问题
8
2
3)
4
n
v dx dv v
I
，选择 与 凑成 时，每一次选择的 必须是同类函数。
）、有些积分，如：被积函数是指数函数与三角函数之积时，往往要连续几次使用分部积分法后常常会出现原来要求积的积分，经移项合并后，即可得所求积分。
、采用不同方法求不定积分，往往结果的表面会不同，是否正确，可对积分结果求导，若求导结果恰为被积函数，则是正确的结果，否则积分结果不正确。
）、利用分部积分法能得到一些有用的递推公式，如求：
1
ln
l n l n l n
n
n n n
x dx
x x n x dx x x n
n n - 1
的递推公式。
解：I I
,f
f
我们先简述一下求不定积分为什么要比求导数困难得多？
我们知道，如果已知一个函数可导，则我们利用求导公式及导数的运算法则，总可以求出它的导数。但是求函数的不定积分则不然，
它的运算关键是求出被积函数的一个原函数，而原函数的定义不象导数定义那样具有构造性，它只告诉我们其导数恰是某个已知函数 并没有告诉我们怎样由 求出它的原函数的具体形式和途径。因此，求一个函数的不定积分要比求一个函数的导数要困难得多。根 据不定积分运算法则与不定积分公式只能求出很少一部分比较简单的函数的不定积分，而对于更广泛函数的不定积分要因函数不同形式或不同类型选
§ 2 换元积分法与分部积分法
2
1( f?
用不同的方法，因此求不定积分具有很大的灵活性。本节所讲的换元积分法与分部积分法是求不定积分的最基本最常用的两种重要方法。
这两种方法都能化繁为简，即都能将不定积分的被积函数化简，直到能应用不定积分表中的公式求出它的不定积分。
一、换元积分法由复合函数求导法则，可得两种换元积分法。它是求不定积分经常使用的极为重要的方法，常常在应用其它方法的同时，也要伴随着应用换元积分法。
、第一换元法 凑微分法：设
) ( ),( )
( ) ( ) ( ( ) )
()
()
u d u F u C u u x
f u x u x d x F u x C
ux
f u d u
可微，则：
称这种为凑微分法，是因为在实际计算时,的形式是“凑出来”的，目的是使被积表达式可以看成为,同时能积出来。
3
2 ) ( ) ( )1
1 ( ) ( )
2
( ) ( ),( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ),
1 ; 2
F x f u x
f u x u x dx
u x dx d u x f u x u x
f u x u x dx f u x d u x F u x C
t gx dx
、设）凑微分说明：
）、凑微分法适用于求被积函数呈 的不定积分。
）、用凑微分法求不定积分时，关键是把被积函数适当地分成两部分：
一部分当成 与 凑成 而剩下部分,恰为 的函数。
其积分过程为：
例、求 例,
22
22
22
,( 0)
3,( 0) ; 4,( 0) ;
5 se c
dx
a
ax
dx dx
aa
xa
ax
x dx
求例,求 例,
例,求
4
2 ( )
( ) ( ),( ( ) ) ( ) ( ),
( ) ( ( ) ),
1
2
()
f x dx
x x t t t x f x t x t dx F t C
f x dx F t x C
f x dx
作
、第二换元法 代入换元法，也称逆代换法：设 存在，
可微且存在反函数 又若 则：
说明：
）、一般来说，若被积函数含有根号，而用凑微分法难以求出其积分时，可考虑用代入换元法作代换，作代换的目的在于去掉被积函数的根号。
）、代入换元法的积分过程恰与凑微分法相反，其过程为：
( ) ( ) ( ( ) ) ( )
1
( ( ) ) ( ) ( )
( ( ) ),
x x t F t f x t x t
tx
f x t x t dt F t C
F t x C
代换,设把 还原成 的函数
5
22
3
2
22 22
22
6,7,( 0),
8 ( 0) 9,( 0),
10,
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),(
du
a x dx a
uu
dx dx
aa
xa xa
dx
xx
u x v x u x v x dx u x v x dx
u x v x dx u x v x u x v x dx
例,求 例,求例,求,,例,
例,求二、分部积分法由乘积求导法，容易推出：
设 与 可微,存在，则 也存在，并有：
称为分部积分法公式）
6
1
2
3,
1;
2
u d v
v d x d v
v u d x
说明：
）、分部积分法是与求导运算中的乘积求导法则相对应的积分法则。
）、如果被积函数中出现幂函数、指数函数、三角函数这三类函数中两类或两类以上函数的乘积，或者出现对数函数，反三角函数，都可以考虑用分部积分法求其积分。
）、应用分部积分法，最关键是如何正确选择 与 一般来说，它们选择应遵循两个原则：
（）、作为 的函数与 要比较容易凑成：
（ ）、应用公式后，未积出部分,要比
u v d x?
使用公式前的：
简单。
7
1 2 3
32
3
(4
11 c os ; 12,
13 l n 14
15 c os sin,
1
x
a x a x
uv dx ud v uv v du v u dx
x x dx arc tgx dx
x x dx x e dx
e bx dx e bx dx
、凑,使用公式,微分出来否则，使用分部积分法失效。
（ ）、应用分部积分法求其积分的过程：
、求最后积分）
例,求 例,求例,求 例,求例,求 与最后补充说明一下：
）、对一个积分需连续几 次使用分部积分法才能求出其积分的问题
8
2
3)
4
n
v dx dv v
I
，选择 与 凑成 时，每一次选择的 必须是同类函数。
）、有些积分，如：被积函数是指数函数与三角函数之积时，往往要连续几次使用分部积分法后常常会出现原来要求积的积分，经移项合并后，即可得所求积分。
、采用不同方法求不定积分，往往结果的表面会不同，是否正确，可对积分结果求导，若求导结果恰为被积函数，则是正确的结果，否则积分结果不正确。
）、利用分部积分法能得到一些有用的递推公式，如求：
1
ln
l n l n l n
n
n n n
x dx
x x n x dx x x n
n n - 1
的递推公式。
解：I I
