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§ 4 定积分在的物理的某些应用学习目标：能够运用定积分解决物理问题学习要点：引力，变力沿直线所做的功学习基础：微元法，分部积分法，换元法定积分在物理中有广泛的应用，本节主要利用上一节所介绍的“微元法”把物理学上的一些问题转化为计算定积分的问题。
这里介绍几个有代表性的例子。
1 变力沿直线所作的功问题从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力 F
作用，并且力 F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体
2
移动了距离 s时,力 F 对物体所作的功是,如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例 1说明如何计算变力所作的功。
所做的功。处时，计算电场力对它轴移到处沿从个单位正电荷在电场中是常数），如图，当这的作用力的大小为的地方，那么电场对它为点放在这个电场中距离原荷，如果有一个单位正电作用力，由物理学知道，并对周围的电荷产生处，它产生一个电场轴的原点的点电荷放在把一个带电量为例
)(
(
1
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babrr
ark
r
q
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ro
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3
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1 1 1
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rr
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d W d r W d W d r k q k q
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解：在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的
，取 为积分变量，它的变化区间为 在 上任取一小区间为当单位正电荷从 移到 时，电场力对它所做的功理论上可证明 因此做功微元为：
于是所求的功为
4
2
2
2 1 0 6,
2 0,
[ 0,2 0 ],[ 0,2 0 ]
[,],
/,
5
1 0,
mm
m
xx
x x x
x g k N m
x
x
液体静压力问题例 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长为 与高为 较长的底边与水面对齐，计算闸门的一侧所受的水压力。
解：如图所示，以闸门的长底边的中点为原点且铅直向下作 轴，取 轴为积分变量，
它的变化范围为 在 上任取一小区间 闸门上相应于该小区间的窄条各点所受到水的压强近似于这窄条的长度近似为 高为,因
55
1 0,1 0,F x g x F x g x o x
xx
而这一窄条的一侧所受的水压力近似为：
可以证明 因此：
5
20 20
00
5
10,
5 800
10 200 0 143 73 ( ),
3
3
3,
,,
dF x g dx
x
F dF x g dx g k N
x
l
a m M
y
M x o y
压力微元 于是所求的压力为：
引力问题例 设有一根长度为 线密度为 的均匀直棒，在其中垂线上距棒单位处有一质量为 的质点。试计算该棒对质点 的引力。
解 取坐标系如图所示，使棒位于 轴上，
质点 位于 轴上 棒的中点为原点 取为积分变量，它的变化区间
22
[,],
22
ll
ll
y y y
为,。
在,上任取一小区间
6
22
22
33
2 2 2 2
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x x x
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M r a y
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ay
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F F k F k
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o y M F
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把细直棒上相应于 的一段近似地看成质点，其质量为与 相距 因此，可以按照两质点间的引力计算公式求出这段细直棒对质点 的引力 从而求出 在水平方向分力的近似值，即 且可证明于是，细棒对质点 的引力在水平方向分力 的微元为：
3
22
2
,
am
k dy
ay
于是得到引力在水平方向的分力为：
7
22
3 22
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22
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ll
x x x
ll
y
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F d F k d y F x
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F
其中负号表示 指向轴的负向 又由对称性可知，引力在铅直方向分力
§ 4 定积分在的物理的某些应用学习目标：能够运用定积分解决物理问题学习要点：引力，变力沿直线所做的功学习基础：微元法，分部积分法，换元法定积分在物理中有广泛的应用，本节主要利用上一节所介绍的“微元法”把物理学上的一些问题转化为计算定积分的问题。
这里介绍几个有代表性的例子。
1 变力沿直线所作的功问题从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力 F
作用，并且力 F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体
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移动了距离 s时,力 F 对物体所作的功是,如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例 1说明如何计算变力所作的功。
所做的功。处时，计算电场力对它轴移到处沿从个单位正电荷在电场中是常数），如图，当这的作用力的大小为的地方，那么电场对它为点放在这个电场中距离原荷，如果有一个单位正电作用力，由物理学知道，并对周围的电荷产生处，它产生一个电场轴的原点的点电荷放在把一个带电量为例
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解：如图所示，以闸门的长底边的中点为原点且铅直向下作 轴，取 轴为积分变量，
它的变化范围为 在 上任取一小区间 闸门上相应于该小区间的窄条各点所受到水的压强近似于这窄条的长度近似为 高为,因
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引力问题例 设有一根长度为 线密度为 的均匀直棒，在其中垂线上距棒单位处有一质量为 的质点。试计算该棒对质点 的引力。
解 取坐标系如图所示，使棒位于 轴上，
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其中负号表示 指向轴的负向 又由对称性可知，引力在铅直方向分力
