1
§ 4 旋转曲面面积
0
1
( ) l i m ( ),
()
b
n
ii
T
i
a
b
a
f x dx f x
f x dx
Q
定积分 是和式的极限 如果所研究的问题总可以按“分割、近似求和与取极限”三个步骤能归结为求这种和式的极限，那么，应用定积分就可以求出问题的结果。为了使定积分的应用问题能简便地回归到求定积分 上来，我们往往采用以下介绍的方法—微元法。
何谓微元法？
一个待求的量 若要用定积分表示出来，它必须要具备两个特性：
一、微元法
2
1 [,]
2 [,]
[,] [,]
( ),
( ),
(
bb
aa
Q x a b
Q a b
QQ
Q a b x x x Q
Q f x d x d Q
Q Q d Q f x d x
Q
）,是一个与其变量 的变化区间 有关的量；
）,对于 具有代数的可加性，即其中 是 的子区间 所对应的部分量。如果 的近似表达式是：
则要计算的量只要把定积分计算出来，就是该问题所求的结果 所求量 的最终值）
这种方法称为微元法，其特点是直观、简单、方便。在应用定积分解决实际
Q?
问题时经常被使用。
使用微元法的关键就是正确给出 的近似表达式，即
3
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( )
()
()
1
Q f x d x d Q Q f x x o x
Q f x x o x Q f x x
Q f x x x
Q f x x
若不能保证：
，则 就不能用 作为近似表达式，否则用
,微元法”将导致错误的结果。要严格检验,是否为 的高阶无穷小，往往不是一件容易的事，因此对 的合理性要特别小心。
对于前面所学过的平面图形面积公式、立体体积公式和弧长公式都可以用微元法得到。
二、旋转曲面的面积
）、设
2
( ),[,],
( ) 0
2 ( ) 1 ( ),
b
a
C y f x x a b
f x C x
S f x f x d x?
平面光滑曲线 由直角坐标方程 （不妨设 ）给出，则曲线 绕 轴旋转一周所得旋转曲面面积为：
4
.
证明（如图，用微元法导出公式）
y
xba
S? y=f(x)
xxx
o
2 ( ) ( ),[,],C x x t y y t t）、若平面光滑曲线由参数方程：,
5
22
22
( ) 0
2 ( ) ( ) ( ),
3 ( ),[,] ( [,]
[ 0,],( ) 0 ),
2 ( ) si n ( ) ( )
y t C x
S y t x t y t dt
C r r
rC
S r r r d
给出，且：,则曲线 绕 轴旋转一周所得旋转曲面面积为：
）、若平面光滑曲线 由极坐标方程：
则曲线 绕极轴旋转一周所得旋转曲面面积为：
2 2 2
12
33
1 [,] [,]
2 c o s,sin
x y R x x R R
x
x a t y a t
x
例 计算圆 在上的弧段绕 轴旋转一周所得旋球带的面积。
例 计算由星形线：
绕 轴旋转一周所得旋转曲面的面积。
6
4
2
-2
-4
-6
-5 5
C
x
y
o
星形线
§ 4 旋转曲面面积
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( ) l i m ( ),
()
b
n
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T
i
a
b
a
f x dx f x
f x dx
Q
定积分 是和式的极限 如果所研究的问题总可以按“分割、近似求和与取极限”三个步骤能归结为求这种和式的极限，那么，应用定积分就可以求出问题的结果。为了使定积分的应用问题能简便地回归到求定积分 上来，我们往往采用以下介绍的方法—微元法。
何谓微元法？
一个待求的量 若要用定积分表示出来，它必须要具备两个特性：
一、微元法
2
1 [,]
2 [,]
[,] [,]
( ),
( ),
(
bb
aa
Q x a b
Q a b
Q a b x x x Q
Q f x d x d Q
Q Q d Q f x d x
Q
）,是一个与其变量 的变化区间 有关的量；
）,对于 具有代数的可加性，即其中 是 的子区间 所对应的部分量。如果 的近似表达式是：
则要计算的量只要把定积分计算出来，就是该问题所求的结果 所求量 的最终值）
这种方法称为微元法，其特点是直观、简单、方便。在应用定积分解决实际
Q?
问题时经常被使用。
使用微元法的关键就是正确给出 的近似表达式，即
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( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( )
()
()
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Q f x d x d Q Q f x x o x
Q f x x o x Q f x x
Q f x x x
Q f x x
若不能保证：
，则 就不能用 作为近似表达式，否则用
,微元法”将导致错误的结果。要严格检验,是否为 的高阶无穷小，往往不是一件容易的事，因此对 的合理性要特别小心。
对于前面所学过的平面图形面积公式、立体体积公式和弧长公式都可以用微元法得到。
二、旋转曲面的面积
）、设
2
( ),[,],
( ) 0
2 ( ) 1 ( ),
b
a
C y f x x a b
f x C x
S f x f x d x?
平面光滑曲线 由直角坐标方程 （不妨设 ）给出，则曲线 绕 轴旋转一周所得旋转曲面面积为：
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.
证明（如图，用微元法导出公式）
y
xba
S? y=f(x)
xxx
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2 ( ) ( ),[,],C x x t y y t t）、若平面光滑曲线由参数方程：,
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( ) 0
2 ( ) ( ) ( ),
3 ( ),[,] ( [,]
[ 0,],( ) 0 ),
2 ( ) si n ( ) ( )
y t C x
S y t x t y t dt
C r r
rC
S r r r d
给出，且：,则曲线 绕 轴旋转一周所得旋转曲面面积为：
）、若平面光滑曲线 由极坐标方程：
则曲线 绕极轴旋转一周所得旋转曲面面积为：
2 2 2
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1 [,] [,]
2 c o s,sin
x y R x x R R
x
x a t y a t
x
例 计算圆 在上的弧段绕 轴旋转一周所得旋球带的面积。
例 计算由星形线：
绕 轴旋转一周所得旋转曲面的面积。
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C
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星形线
