第十一章 反 常 积 分
§ 1 反常积分概念教学内容：
1,反常积分概念的引入
2,无穷积分的定义
3,瑕积分的定义教学重点,无穷积分敛散性的概念、常用的收敛与发散的无穷积分教学难点：反常积分概念的引入一,问题的提出定积分有两个基本的限制：积分区间是有限区间；函数为有界函数,
但实际问题很多都涉及无穷区间上的,积分,和无界函数的,积分,。
例 1：（第二宇宙速度问题） 在地球表面垂直发射火箭。要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？
万有引力定理）
处所受的引力为则火箭在距地心
。地面上的重力加速度为，初速度为，火箭质量为解：设地球半径为
(
)(
,
2
0
x
m g R
F
Rx
gvmR
从而火箭从地面上升到离地心 r(>R)处需作的功为
rR rRm g Rdxxm g R )11(22
也就把上式写为
，右边的极限，此时需作的功为上式意味着火箭要无限远离地球,m g Rr
最后由机械能守恒定律得
m g RrRm g Rdxxm g RR r )11(lim 22
m gRmv?2021
把各数值代入可求得结果。
例 2,圆柱形桶的内壁高为 h,内半径为 R,桶底有一半径为 r 的小孔。
试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？
解：从物理学知道，当桶内水位高度为 h-x 时，水从孔中流出的速度为为重力加速度）其中 gxhgv ()(2
设在很小一段时间 dt 内，桶中液面降低的微小量为 dx,它们满足
],0[,
)(22
2
22
hxdx
xhgr
R
dt
dtrvdxR
从而有
所以流完一桶水所需时间可写为“积分”?
h dx
xhgr
Rt
0 2
2
)(2
但是因为这里的被积函数是 [ 0,h )上的无界函数，故
2
2
2
0 2
2 2
)(2lim)(2lim
r
R
g
huhh
r
R
gdxxhgr
Rt
hu
u
hu
从上面的例题我们知道，通过定积分和极限就可以定义无穷区间以及无界函数的,积分,。
二,无穷区间上的反常积分
1.定义无穷区间有三种，分别给出其定义：
上),[)1(a
定义 1：
上的在为函数则称若存在极限上可积，在，上有定义，对任何在设
),[)(
)1()(lim
],[)(),[)(
axfJ
Jdxxf
uaxfauaxf
u
au
无穷限反常积分 （简称 无穷积分 ）,记为
a dxxfJ )(
a dxxf )(并称 收敛。 如果极限（ 1）不存在,a dxxf )(称 发散。
注意：
限值）；收敛时它是一个数（极分从本质上说，当无穷积a dxxf )()1(
时它只是一个记号。发散当无穷积分a dxxf )(
。（如右下图）无限延伸的区域的面积轴之间那一块向右以及，直线则其值就是介于曲线上为非负连续函数，在收敛的几何意义是：若
xaxxfy
axfdxxf
a
)(
),[)()()2(
同理可给出上],()2( b
b
uu
b dxxfdxxf )(l i m)(
上),()3(
),(),(],[)( auvxf 上可积，则对在任何有限区间若
aa dxxfdxxfdxxf )()()( uauauu dxxfdxxf )(lim)(lim
当且仅当上式右边两个无穷积分都收敛时，左边的无穷积分才收敛。
注意：
dxxf )( 的收敛性与收敛时的值，都与实数 a的选取无关。
)(xfy?
O x
y
a
2,利用定义讨论无穷积分的敛散性以及求其值方法,先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，无穷积分收敛，
极限值就是无穷积分的值；若极限不存在，无穷积分发散。
例 3,＋
的敛散性。讨论无穷积分 1 1 dxx p
u
u
up
p
px
px
pdx
x
u
1
1
1
1
1ln
1
1
1
1
1解：
1ln
1)1(
1
1 1
pu
pu
p
p
uppu
u
p
u
lnlim110lim 1?
1 1
1
1
1
1
1lim1
p
p
pdx
x
dx
x
u
pup
结论：
＋1 1 dxx p；值为时收敛，当
1
1
1)1(
p
p
时发散。当 1)2(?p
要求熟记注意：
时发散。时收敛；而当当此结论可以推广为：
＋
111
0
ppdx
x
a
a p
下面再看如何利用此结论解题例 4：
＋ 的敛散性。讨论无穷积分 2 )( ln 1 dxxx p
解题思路：无穷积分是通过定积分及极限来定义，可以考虑用定积分的有关方法如换元积分法或分部积分法来处理
duudxxxxu pp ＋，则解：设 2 2ln 1)( ln 1ln
时发散。时收敛；而当穷积分当由上例的结论得：该无 11 pp
3,利用公式判别无穷积分的敛散性及求无穷积分的值在定积分里，我们有牛顿－莱布尼兹公式：
ba ba xfxFaFbFxFdxxf 的一个原函数）是其中 )()(()()()()(
既然 无穷积分是通过定积分及极限来定义，所以也可以考虑用类似的公式来判别无穷积分的敛散性及计算无穷积分。
公式：
a xa aFxFxFdxxf
xfxF
)()(l i m)()(
)()( 的一个原函数，则是设其值；收敛，右边求出的就是存在时，其中当 ax dxxfxF )()(lim
发散。不存在时，当 ax dxxfxF )()(l i m
注意,上面的公式可以推广到另外两种无穷积分的情形。
例 5,
＋ 值。的收敛性，若收敛求其讨论无穷积分 dx
x 21
1
22
a r c t a nl ima r c t a nl ima r c t a n
1
1
2
xxxdx
x xx
a解：
＋ 。收敛，其值为故无穷积分?dxx 21 1
三,无界函数的反常积分
1.瑕点的定义的为函数的近旁是无界的，则称在点若函数 )()( 00 xfxxxf 瑕点。
2.无界函数反常积分的定义定义 2：
为则称此极限极限上有界且可积。若存在但在任何闭区间无界）
的任一右邻域在点的瑕点是上有定义，点在设
J
Jdxxf
babu
axfxfabaxf
b
uau?
)2()(lim
],(],[,
)(()(],()(
无界函数 上在 ],()( baxf 的 反常积分 （简称 瑕积分 ），记为
ba dxxfJ )(
ba dxxf )(并称 收敛。 ba dxxf )(2 ）不存在，称如果极限（ 发散。
注意：
。发散时它只是一个 记号瑕积分（是一个极限值）；当收敛时它是一个数质上说，当瑕积分与无穷积分类似，从本
b
a
b
a
dxxf
dxxf
)(
)(
同理可以给出另外几种情形的定义：
uabuba dxxfdxxf
bxfxfb
)(lim)(
)(()()1(
_
的任一左邻域无界）在点的瑕点是若点
b
vcv
u
acu
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxf
dxxfdxxfdxxf
cxfxfbac
)(lim)(lim
)()()(
)(()(),()2( 的任一邻域无界）在点的瑕点是若点当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛。
v
cbv
c
uau
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxf
dxxfdxxfdxxf
bacxfba
)(l i m)(l i m
)()()(
),()()3( 的瑕点，则都是、若点当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛。
注意,的选取无关。，都与实数的收敛性与收敛时的值 cdxxfb
a? )(
2.讨论无穷积分的敛散性以及求其值的方法
(1) 利用定义方法,先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，瑕积分收敛，
极限值就是瑕积分的值；若极限不存在，瑕积分发散。
例 6,?
10 )0(1 的敛散性。讨论瑕积分 qdxx q
1
1
11
1ln
1
1
1
1
)1,0(
0]10)0(
1
)(
u
u
u
q
q
q
qx
qx
qdx
x
u
xq
x
xf 为其瑕点连续，，在（解：被积函数
1ln
1)1(
1
1 1
qu
qu
q
q
uq qu
u
q
u
lnl i m1 100l i m
0
1
0
结论：
10 1 dxxq；值为时收敛，当
q
q
1
1
10)1(
时发散。当 1)2(?q
要求熟记
1 1
1
1
1
1
1lim1
p
p
pdx
x
dx
x
u
pup
注意,（ 1）此结论以后是经常用到的，要熟记。
（ 2）此结论可以推广为以下几种情形：
时发散。时收敛；而当当，瑕积分 11010)( 0 qqdxxbA b q
时发散。时收敛；而当当瑕积分 110)( 1)( qqdxaxB ba q
时发散。时收敛；而当当瑕积分 110)( 1)( qqdxxbC ba q
＋
＋
，定义对反常积分
0
1
0 1
0
111
1
)3(
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
ppp
p
由例 3和例 6的结论知，右边两个反常积分不能同时收敛，故可知结论,均发散。对任意实数反常积分 ＋ pdx
x p?
0
1
(2) 利用公式公式：
ba axba xFbFxFdxxf
xfaxfxF
)(lim)()()(
)()()( 的瑕点，则是的一个原函数，点是设其值；收敛，右边求出的就是存在时，其中当 baax dxxfxF )()(lim
发散。不存在时，当 baax dxxfxF )()(lim
注意,上面的公式可以推广到另外三种瑕积分的情形。
以下通过例子来说明例 7,?
1
0 21
1 的值。求瑕积分 dx
x
2
a r c s in
1
1)1,0[
1
1
)(
1
0
1
0
2
2
x
x
dx
x
x
xf 为其瑕点连续，在解：被积函数
§ 1 反常积分概念教学内容：
1,反常积分概念的引入
2,无穷积分的定义
3,瑕积分的定义教学重点,无穷积分敛散性的概念、常用的收敛与发散的无穷积分教学难点：反常积分概念的引入一,问题的提出定积分有两个基本的限制：积分区间是有限区间；函数为有界函数,
但实际问题很多都涉及无穷区间上的,积分,和无界函数的,积分,。
例 1：（第二宇宙速度问题） 在地球表面垂直发射火箭。要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？
万有引力定理）
处所受的引力为则火箭在距地心
。地面上的重力加速度为，初速度为，火箭质量为解：设地球半径为
(
)(
,
2
0
x
m g R
F
Rx
gvmR
从而火箭从地面上升到离地心 r(>R)处需作的功为
rR rRm g Rdxxm g R )11(22
也就把上式写为
，右边的极限，此时需作的功为上式意味着火箭要无限远离地球,m g Rr
最后由机械能守恒定律得
m g RrRm g Rdxxm g RR r )11(lim 22
m gRmv?2021
把各数值代入可求得结果。
例 2,圆柱形桶的内壁高为 h,内半径为 R,桶底有一半径为 r 的小孔。
试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？
解：从物理学知道，当桶内水位高度为 h-x 时，水从孔中流出的速度为为重力加速度）其中 gxhgv ()(2
设在很小一段时间 dt 内，桶中液面降低的微小量为 dx,它们满足
],0[,
)(22
2
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hxdx
xhgr
R
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dtrvdxR
从而有
所以流完一桶水所需时间可写为“积分”?
h dx
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0 2
2
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但是因为这里的被积函数是 [ 0,h )上的无界函数，故
2
2
2
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r
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r
R
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Rt
hu
u
hu
从上面的例题我们知道，通过定积分和极限就可以定义无穷区间以及无界函数的,积分,。
二,无穷区间上的反常积分
1.定义无穷区间有三种，分别给出其定义：
上),[)1(a
定义 1：
上的在为函数则称若存在极限上可积，在，上有定义，对任何在设
),[)(
)1()(lim
],[)(),[)(
axfJ
Jdxxf
uaxfauaxf
u
au
无穷限反常积分 （简称 无穷积分 ）,记为
a dxxfJ )(
a dxxf )(并称 收敛。 如果极限（ 1）不存在,a dxxf )(称 发散。
注意：
限值）；收敛时它是一个数（极分从本质上说，当无穷积a dxxf )()1(
时它只是一个记号。发散当无穷积分a dxxf )(
。（如右下图）无限延伸的区域的面积轴之间那一块向右以及，直线则其值就是介于曲线上为非负连续函数，在收敛的几何意义是：若
xaxxfy
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a
)(
),[)()()2(
同理可给出上],()2( b
b
uu
b dxxfdxxf )(l i m)(
上),()3(
),(),(],[)( auvxf 上可积，则对在任何有限区间若
aa dxxfdxxfdxxf )()()( uauauu dxxfdxxf )(lim)(lim
当且仅当上式右边两个无穷积分都收敛时，左边的无穷积分才收敛。
注意：
dxxf )( 的收敛性与收敛时的值，都与实数 a的选取无关。
)(xfy?
O x
y
a
2,利用定义讨论无穷积分的敛散性以及求其值方法,先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，无穷积分收敛，
极限值就是无穷积分的值；若极限不存在，无穷积分发散。
例 3,＋
的敛散性。讨论无穷积分 1 1 dxx p
u
u
up
p
px
px
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1
1
1
1
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1
1
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1解：
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1
1 1
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p
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u
p
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1 1
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1
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1
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p
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pdx
x
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x
u
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结论：
＋1 1 dxx p；值为时收敛，当
1
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p
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时发散。当 1)2(?p
要求熟记注意：
时发散。时收敛；而当当此结论可以推广为：
＋
111
0
ppdx
x
a
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下面再看如何利用此结论解题例 4：
＋ 的敛散性。讨论无穷积分 2 )( ln 1 dxxx p
解题思路：无穷积分是通过定积分及极限来定义，可以考虑用定积分的有关方法如换元积分法或分部积分法来处理
duudxxxxu pp ＋，则解：设 2 2ln 1)( ln 1ln
时发散。时收敛；而当穷积分当由上例的结论得：该无 11 pp
3,利用公式判别无穷积分的敛散性及求无穷积分的值在定积分里，我们有牛顿－莱布尼兹公式：
ba ba xfxFaFbFxFdxxf 的一个原函数）是其中 )()(()()()()(
既然 无穷积分是通过定积分及极限来定义，所以也可以考虑用类似的公式来判别无穷积分的敛散性及计算无穷积分。
公式：
a xa aFxFxFdxxf
xfxF
)()(l i m)()(
)()( 的一个原函数，则是设其值；收敛，右边求出的就是存在时，其中当 ax dxxfxF )()(lim
发散。不存在时，当 ax dxxfxF )()(l i m
注意,上面的公式可以推广到另外两种无穷积分的情形。
例 5,
＋ 值。的收敛性，若收敛求其讨论无穷积分 dx
x 21
1
22
a r c t a nl ima r c t a nl ima r c t a n
1
1
2
xxxdx
x xx
a解：
＋ 。收敛，其值为故无穷积分?dxx 21 1
三,无界函数的反常积分
1.瑕点的定义的为函数的近旁是无界的，则称在点若函数 )()( 00 xfxxxf 瑕点。
2.无界函数反常积分的定义定义 2：
为则称此极限极限上有界且可积。若存在但在任何闭区间无界）
的任一右邻域在点的瑕点是上有定义，点在设
J
Jdxxf
babu
axfxfabaxf
b
uau?
)2()(lim
],(],[,
)(()(],()(
无界函数 上在 ],()( baxf 的 反常积分 （简称 瑕积分 ），记为
ba dxxfJ )(
ba dxxf )(并称 收敛。 ba dxxf )(2 ）不存在，称如果极限（ 发散。
注意：
。发散时它只是一个 记号瑕积分（是一个极限值）；当收敛时它是一个数质上说，当瑕积分与无穷积分类似，从本
b
a
b
a
dxxf
dxxf
)(
)(
同理可以给出另外几种情形的定义：
uabuba dxxfdxxf
bxfxfb
)(lim)(
)(()()1(
_
的任一左邻域无界）在点的瑕点是若点
b
vcv
u
acu
c
a
b
c
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dxxfdxxf
dxxfdxxfdxxf
cxfxfbac
)(lim)(lim
)()()(
)(()(),()2( 的任一邻域无界）在点的瑕点是若点当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛。
v
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uau
c
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注意,的选取无关。，都与实数的收敛性与收敛时的值 cdxxfb
a? )(
2.讨论无穷积分的敛散性以及求其值的方法
(1) 利用定义方法,先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，瑕积分收敛，
极限值就是瑕积分的值；若极限不存在，瑕积分发散。
例 6,?
10 )0(1 的敛散性。讨论瑕积分 qdxx q
1
1
11
1ln
1
1
1
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)1,0(
0]10)0(
1
)(
u
u
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xf 为其瑕点连续，，在（解：被积函数
1ln
1)1(
1
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u
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lnl i m1 100l i m
0
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结论：
10 1 dxxq；值为时收敛，当
q
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1
1
10)1(
时发散。当 1)2(?q
要求熟记
1 1
1
1
1
1
1lim1
p
p
pdx
x
dx
x
u
pup
注意,（ 1）此结论以后是经常用到的，要熟记。
（ 2）此结论可以推广为以下几种情形：
时发散。时收敛；而当当，瑕积分 11010)( 0 qqdxxbA b q
时发散。时收敛；而当当瑕积分 110)( 1)( qqdxaxB ba q
时发散。时收敛；而当当瑕积分 110)( 1)( qqdxxbC ba q
＋
＋
，定义对反常积分
0
1
0 1
0
111
1
)3(
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
ppp
p
由例 3和例 6的结论知，右边两个反常积分不能同时收敛，故可知结论,均发散。对任意实数反常积分 ＋ pdx
x p?
0
1
(2) 利用公式公式：
ba axba xFbFxFdxxf
xfaxfxF
)(lim)()()(
)()()( 的瑕点，则是的一个原函数，点是设其值；收敛，右边求出的就是存在时，其中当 baax dxxfxF )()(lim
发散。不存在时，当 baax dxxfxF )()(lim
注意,上面的公式可以推广到另外三种瑕积分的情形。
以下通过例子来说明例 7,?
1
0 21
1 的值。求瑕积分 dx
x
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1
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1
1
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