1
§ 2 牛顿 — 莱布尼兹公式若用定积分定义求?b
a
dxxf )(,一般来说是比较困难的。是否有较简便的方法求
b
a
dxxf )(
？下面介绍的牛顿 — 莱布尼兹公式不仅为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。
证成：莱布尼茨公式，它常写称为牛顿上可积，且：在则即上连续，且存在原函数在若函数定理
).()()()(
).()()(
],[],,[
),()(),(],[1.9
aFbFxFdxxf
aFbFdxxf
bafbax
xfxFxFbaf
b
a
b
a
b
a
2
公式使用说明：
便是多余的条件。
的假设定理中对存在原函数的定理后，）、在学习连续函数必则公式仍成立。续，且除有限个点外有上连在上可积，在同时减弱为：与）、若定理中的公式仍成立。
，这时上可积（不一定连续）的要求可减弱为：在）、对不影响定理的证明。
）内可导，且：上连续，在（的要求可减弱为：在）、对弱，如：定理的条件还可适当减、
求出。可由的原函数失效。即公式求数，否则使用的原函数必须是初等函时，在应用公式求、
F
xfxF
baFbaffF
baf
xfxF
babaF
dxxfxFxfdxxf
xfdxxf
b
a
b
a
4
),()(
],[],[3
],[2
).()(
,],[1
2
)()()()(
)()(1
3
dxxxx d x
badx
x
dxeNndxx
b
a
b
a
x
b
a
n
2
0
2
0
2
4)5,s i n)4
).0
1
)3,)2),(1
1
、、
（、、）、
积分莱布尼茨公式求下列定—利用牛顿、例
利用定积分的定义可求某些数列的极限：若待求极限的数列通过适当的变形，能化成某一函数在某一区间上关于某一特定分割的积分和时，则可用定积分的定义来求数列的极限。
解用定积分的定义求极限、例
nnnn 2
1
2
1
1
1
lim
2
4
§ 3 可积条件一个函数究竟要满足何种条件，才能可积？这是本节所要讨论的的主要问题。
一、可积的必要条件界的。时，总是假设函数是有以下讨论函数的可积性可积的充分条件二、
充分。可积的必要条件，但不由此可见，有界是函数上有界，但不可积。，在
，
）（
狄利克雷函数定可积。如：
注意，有界函数却不一数一定是有界的，但要定理指出，任何可积函证上一定有界。在上可积，则在若函数定理
]10[,
,0
1
],[],[2.9
QRx
Qx
xD
bafbaf
5
1.思路与方案,
思路,鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和,用相应于分法的,最大,和,最小,的两个,积分和,去双逼一般的积分和
,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且与分法 及介点 无关的条件 。
T
i?
方案,定义上和 和下和,研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件,
2,达布和,
1,2,,[,] [,]
su p ( ),in f ( ),1,2,,.
ii
i
i
ii x
x
T i n a b f a b
M f x m f x i n
设 为对 的任一分割，由 在 上有界，它在每一个 上存在上、下确界：
)(TS )(Ts
6
11
( ),( )
nn
ii
ii
S T M s T m
fT
作和分别称为 关于分割 的上和与下和（或称为达布上和与达布下和，统称为达布和）
由达布 和 定义可知，达布 和未必是积分和,但 达布 和由分法唯一确定,则显然有：
1
( ) ( ) ( ) ( 1 )
0 [,]
23 1 23 6
n
ii
i
s T f x S T
T f a b
P
由此可见，只要通过上、下和当 时的极限就揭示 在 上是否可积了。所以可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的。
（有关上、下和性质的详细讨论参见课本 — ）
7
1
1
9,3 ( [,] 0
( ),
,( )
,
9,3 ' [,] 0
.
i i i i
n
ii
i
n
ii
i
f a b
T S T s T
M m f S T s T
x
f a b
Tx
定理 可积准则）函数 在 上可积的充分条件是：任给,
总 相应的一个分割,使得：（ ）
设 称为 在 上的振幅，这样 （ ）
因此可积准则改写为：
定理 函数 在 上可积 任给,总 相应的一个分割,使得：
证上必可积。在上的单调函数，，则是区间若定理证上必可积。
在有界函数，则上只有有限个间断点的是区间若定理证上必可积。在上连续，则在若定理的函数必是可积的。可以证明下面三种类型根据可积的准则，我们可积函数类三、
较方便。证明有界函数的可积性常用定理了。可积性来说，简单得多极限来判定有界函数的是否存在无关，这相对于用讨论而与复杂的
，与上的可积性，只依赖于函数在由定理可知，讨论有界
],[],[6.9
],[
],[5.9
],[],[4.9
'3.9
)(l i m)(
)()(],[
1
0
1
bafbaf
ba
fbaf
bafbaf
xfxf
TsTSba
i
n
i
i
T
i
n
i
i
8
证上必可积。在上的单调函数，，则是区间若定理证上必可积。
在有界函数，则上只有有限个间断点的是区间若定理证上必可积。在上连续，则在若定理的函数必是可积的。可以证明下面三种类型根据可积的准则，我们可积函数类三、
较方便。证明有界函数的可积性常用定理了。可积性来说，简单得多极限来判定有界函数的是否存在无关，这相对于用讨论而与复杂的
，与上的可积性，只依赖于函数在由定理可知，讨论有界
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9
定理 9.6说明，单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性。
思考题：
1,闭区间上仅有一个间断点的函数是否必可积？
2,闭区间上有无穷多个间断点的函数是否必不可积？
3,闭区间上的单调函数 是否 必可积？
例 2
上可积。，在证明,]10[)( xf
10
1
0
3
1
,,,
()
0,0,1 0 1
[ 0,1 ] ( ) 0
p
x p q q p
qqfx
x
f x dx
例 证明黎曼函数
,互质，
以及（,）内的无理数，
在 上可积，且：
（先画出f( x) 的图形，结合直观的图形给出证明的思路，
再作证明。）
§ 2 牛顿 — 莱布尼兹公式若用定积分定义求?b
a
dxxf )(,一般来说是比较困难的。是否有较简便的方法求
b
a
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？下面介绍的牛顿 — 莱布尼兹公式不仅为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。
证成：莱布尼茨公式，它常写称为牛顿上可积，且：在则即上连续，且存在原函数在若函数定理
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公式使用说明：
便是多余的条件。
的假设定理中对存在原函数的定理后，）、在学习连续函数必则公式仍成立。续，且除有限个点外有上连在上可积，在同时减弱为：与）、若定理中的公式仍成立。
，这时上可积（不一定连续）的要求可减弱为：在）、对不影响定理的证明。
）内可导，且：上连续，在（的要求可减弱为：在）、对弱，如：定理的条件还可适当减、
求出。可由的原函数失效。即公式求数，否则使用的原函数必须是初等函时，在应用公式求、
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积分莱布尼茨公式求下列定—利用牛顿、例
利用定积分的定义可求某些数列的极限：若待求极限的数列通过适当的变形，能化成某一函数在某一区间上关于某一特定分割的积分和时，则可用定积分的定义来求数列的极限。
解用定积分的定义求极限、例
nnnn 2
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2
1
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2
4
§ 3 可积条件一个函数究竟要满足何种条件，才能可积？这是本节所要讨论的的主要问题。
一、可积的必要条件界的。时，总是假设函数是有以下讨论函数的可积性可积的充分条件二、
充分。可积的必要条件，但不由此可见，有界是函数上有界，但不可积。，在
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狄利克雷函数定可积。如：
注意，有界函数却不一数一定是有界的，但要定理指出，任何可积函证上一定有界。在上可积，则在若函数定理
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1.思路与方案,
思路,鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和,用相应于分法的,最大,和,最小,的两个,积分和,去双逼一般的积分和
,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且与分法 及介点 无关的条件 。
T
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方案,定义上和 和下和,研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件,
2,达布和,
1,2,,[,] [,]
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设 为对 的任一分割，由 在 上有界，它在每一个 上存在上、下确界：
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作和分别称为 关于分割 的上和与下和（或称为达布上和与达布下和，统称为达布和）
由达布 和 定义可知，达布 和未必是积分和,但 达布 和由分法唯一确定,则显然有：
1
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ii
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由此可见，只要通过上、下和当 时的极限就揭示 在 上是否可积了。所以可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的。
（有关上、下和性质的详细讨论参见课本 — ）
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定理 可积准则）函数 在 上可积的充分条件是：任给,
总 相应的一个分割,使得：（ ）
设 称为 在 上的振幅，这样 （ ）
因此可积准则改写为：
定理 函数 在 上可积 任给,总 相应的一个分割,使得：
证上必可积。在上的单调函数，，则是区间若定理证上必可积。
在有界函数，则上只有有限个间断点的是区间若定理证上必可积。在上连续，则在若定理的函数必是可积的。可以证明下面三种类型根据可积的准则，我们可积函数类三、
较方便。证明有界函数的可积性常用定理了。可积性来说，简单得多极限来判定有界函数的是否存在无关，这相对于用讨论而与复杂的
，与上的可积性，只依赖于函数在由定理可知，讨论有界
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证上必可积。在上的单调函数，，则是区间若定理证上必可积。
在有界函数，则上只有有限个间断点的是区间若定理证上必可积。在上连续，则在若定理的函数必是可积的。可以证明下面三种类型根据可积的准则，我们可积函数类三、
较方便。证明有界函数的可积性常用定理了。可积性来说，简单得多极限来判定有界函数的是否存在无关，这相对于用讨论而与复杂的
，与上的可积性，只依赖于函数在由定理可知，讨论有界
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定理 9.6说明，单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性。
思考题：
1,闭区间上仅有一个间断点的函数是否必可积？
2,闭区间上有无穷多个间断点的函数是否必不可积？
3,闭区间上的单调函数 是否 必可积？
例 2
上可积。，在证明,]10[)( xf
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例 证明黎曼函数
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以及（,）内的无理数，
在 上可积，且：
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再作证明。）
