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第九章 定 积 分
§ 1 定积分的概念教学内容：
1) 定积分概念的引入
2）,分割、近似求和、取极限”数学思想的建立
3) 定积分的数学定义重 点,定积分的数学定义难 点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立定积分概念的引入一、背景
1、曲边梯形的面积 2、变力所做的功
2
1 曲边梯形的面积中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算
，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。
8
6
4
2
-2
-4
-5 5 10
用 9 个矩形面积作为曲边梯形的面积动态演示
1 I
3
上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲边图形的准确面积呢？
比如举世瞩目的长江三峡溢流坝,其断面形状是根据流体力学原理设计的，如图 1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢？在介绍微分定义时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，早在三国时代，我代数学家刘徽就提出了,割圆术,,以
,直,代,曲,把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积。
4
假设抛物线方程为,
将 等分成 n等份，抛物线下面部分分割成 n个小曲边梯形第 i个小曲边梯 形用宽为,高为 的矩形代替,如下图：
则它的第 i个小曲边梯形的面积：
所求的总面积,
5
我们分别取 n=10,50,
100用计算机把它的图象画出来，并计算出面积的近似值：
见右图）则积时，
形的面的面积之和作为曲边梯个小矩形时，用当）、
(.7 1 5 0.0:
10101
10?
s
n
见下图）
则为曲边梯形的面积时，个小矩形的面积之和作时，用当）、
(.6 7 6 6.0
:50502
50?
s
n
6
7
100
3 1 0 0 1 0 0,
0,6 7 1 7,(
n
s
）、当 时，用 个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则见下图）
8
由此可知，分割越细，越接近面积准确值再看一个 变力做功的问题设质点 m受力 的作用，沿直线由 A点运动到 B 点，求变力的做的功。
F 虽然是变力，但在很短一段间隔内看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，
,F的变化不大，可近似
1） 对 作分割：
9
当每个小区间 的长度都很小时，小区间 上的力：
在 上，力 F作的功
2） 求 和力 F在 上作的功分割越细，近似程度越好，分割无限细时，即分割细度：
时，
10
3）取极限对上面和式取极限，极限值就是 力 在 上作的功。
从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行,分割、近似求和、
取极限,,或者说都归结为形如：
的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，
作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义（下页）
11
定义 设 是定义在区间 上的一个函数，在闭区间上任取 n-1个分点把 [a,b] 分成 n个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一个分割，用 T表示,分割的细度用 表示，
在分割 T所属的各个小区间内各取一点 称为介点，
作和式,以后简记为
12
此和式称为 在 上属于分割 T的积分和（或黎曼和，
设 是一个确定的数，若对任意总存在某个,使得上的任何分割 T,只要它 的细度,属于分割 T的所有积分和 都有则称 在 上可积,称 J为函数 在上的定积分 (或黎曼积分 )，记作称为积分的下、上限。
分别、称为积分区间，为积分变量，称为积分函数，其中 babaxxf ],[)(
13
利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为,
变力作功问题可表示为例 用定义求积分解 分法与介点集选法如例 1,有
14
上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分三．理解定积分定义要注意以下三点,
1）定积分定义与我们前面讲的函数极限的,,定义形式上非常相似，但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，
给定了细度 以后，积分和并不唯一确定，同一细度分割有无穷多种，即使分割确定，介点 仍可以任意选取，所以积分和的极限比前面讲的函数极限要复杂的多。
2）定积分是积分和的极限，积分值与积分变量的符号无关
15
。
3) 表示分割越来越细的过程,分点个数
，但反 过来,并不能保证,所以,
不能写成：
4)、定积分的几何意义
(作图并解释）
a b
()y f x?
x
y
o
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四．小结,
学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中看到定积分的基本思想是：首先作分割然后用
,直,的长方形去近似代替小曲边梯形，以,直,代,曲,；
然后把所有长方形加起来，近似求和，得到曲边梯形面积的一个近似值；当分割无限加细时，就得到曲边梯形的准确值，
即,这时又从,直,回到了,曲,。,分割、近似求和、取极限,是定积分的核心思想。
第九章 定 积 分
§ 1 定积分的概念教学内容：
1) 定积分概念的引入
2）,分割、近似求和、取极限”数学思想的建立
3) 定积分的数学定义重 点,定积分的数学定义难 点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立定积分概念的引入一、背景
1、曲边梯形的面积 2、变力所做的功
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1 曲边梯形的面积中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算
，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。
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用 9 个矩形面积作为曲边梯形的面积动态演示
1 I
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上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲边图形的准确面积呢？
比如举世瞩目的长江三峡溢流坝,其断面形状是根据流体力学原理设计的，如图 1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢？在介绍微分定义时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，早在三国时代，我代数学家刘徽就提出了,割圆术,,以
,直,代,曲,把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积。
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假设抛物线方程为,
将 等分成 n等份，抛物线下面部分分割成 n个小曲边梯形第 i个小曲边梯 形用宽为,高为 的矩形代替,如下图：
则它的第 i个小曲边梯形的面积：
所求的总面积,
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我们分别取 n=10,50,
100用计算机把它的图象画出来，并计算出面积的近似值：
见右图）则积时，
形的面的面积之和作为曲边梯个小矩形时，用当）、
(.7 1 5 0.0:
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10?
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见下图）
则为曲边梯形的面积时，个小矩形的面积之和作时，用当）、
(.6 7 6 6.0
:50502
50?
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100
3 1 0 0 1 0 0,
0,6 7 1 7,(
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）、当 时，用 个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则见下图）
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由此可知，分割越细，越接近面积准确值再看一个 变力做功的问题设质点 m受力 的作用，沿直线由 A点运动到 B 点，求变力的做的功。
F 虽然是变力，但在很短一段间隔内看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，
,F的变化不大，可近似
1） 对 作分割：
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当每个小区间 的长度都很小时，小区间 上的力：
在 上，力 F作的功
2） 求 和力 F在 上作的功分割越细，近似程度越好，分割无限细时，即分割细度：
时，
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3）取极限对上面和式取极限，极限值就是 力 在 上作的功。
从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行,分割、近似求和、
取极限,,或者说都归结为形如：
的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，
作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义（下页）
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定义 设 是定义在区间 上的一个函数，在闭区间上任取 n-1个分点把 [a,b] 分成 n个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一个分割，用 T表示,分割的细度用 表示，
在分割 T所属的各个小区间内各取一点 称为介点，
作和式,以后简记为
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此和式称为 在 上属于分割 T的积分和（或黎曼和，
设 是一个确定的数，若对任意总存在某个,使得上的任何分割 T,只要它 的细度,属于分割 T的所有积分和 都有则称 在 上可积,称 J为函数 在上的定积分 (或黎曼积分 )，记作称为积分的下、上限。
分别、称为积分区间，为积分变量，称为积分函数，其中 babaxxf ],[)(
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利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为,
变力作功问题可表示为例 用定义求积分解 分法与介点集选法如例 1,有
14
上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分三．理解定积分定义要注意以下三点,
1）定积分定义与我们前面讲的函数极限的,,定义形式上非常相似，但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，
给定了细度 以后，积分和并不唯一确定，同一细度分割有无穷多种，即使分割确定，介点 仍可以任意选取，所以积分和的极限比前面讲的函数极限要复杂的多。
2）定积分是积分和的极限，积分值与积分变量的符号无关
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。
3) 表示分割越来越细的过程,分点个数
，但反 过来,并不能保证,所以,
不能写成：
4)、定积分的几何意义
(作图并解释）
a b
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四．小结,
学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中看到定积分的基本思想是：首先作分割然后用
,直,的长方形去近似代替小曲边梯形，以,直,代,曲,；
然后把所有长方形加起来，近似求和，得到曲边梯形面积的一个近似值；当分割无限加细时，就得到曲边梯形的准确值，
即,这时又从,直,回到了,曲,。,分割、近似求和、取极限,是定积分的核心思想。
