1
2
22
2
2 2 2 2
2 sin,c o s ) ;
3 sin,c o s )
21
1,sin,c o s,
2 11
2 2 1 2
,sin,c o s ),.,
1 1 1 1
R x x
R x x d x
x t t
tg t x x
tt
tt
d x d t R x x d x R d t
t t t t
、三角函数有理式用 （ 表示
,（ 的求法：
）、万能置换法：令 则
（
从而可用有理函数的积分法求出其积分。
1 ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
u x v x
u x v x
u x v x R
二、三角函数有理式的不定积分
、,的有理式由,及常数经过有限次的四则运算所得到的函数称为关于,的有理式，并用（u(x)、v(x))表示。
2
在理论上，任一有理三角函数的不定积分，通过万能置换法总可以求出其积分，但其计算过程都比较烦琐，因此在特殊的情况下，
一般不采用此方法。（见下面介绍）
2 2 2
2
2)
1
1 c os 2
si n c os,si n,
2
1 c os 2
c os,
2
si n,c os,si n,si n,c os,c os,( )
x
a mx dx mx dx x
x
x
b mx nx dx mx nx dx mx nx dx m n
、特殊情形的求法：
（）、三角恒等变换法
、对于,,可利用倍角公式来计算
、对于,,,
可用三角函数的积化和差公式：
3
22
11
si n,si n c os( ) c os( ),si n,c os si n( )
22
c os( )
1
c os,c os c os( ) c os( ),
2
si n c os,
1
si n c os si n 2 ;
2
1 c os 2 1
si n ; c os
2
mn
c x x dx m n
m n x x x
x
xx
，
求出其积分。
、对于 当,中有一奇数时，可拆开它，然后用凑微分法求其积分；
当,均为偶数时，可利用倍角公式：
c os 2
2
x
反复使用即可求出其积分。
4
( 2) ( sin,c os ) ( sin,c os ),( sin,c os )
c os sin ; ( sin,c os )
( sin,c os ) c os ; ( sin,c os )
( sin,c os ),.
( sin,c os )
2
R x x R x x R x x
x x t R x x
R x x x t R x x
R x x tgx t c tgx t
R x x dx
、若 即关于 是奇函数，则令,若
，则令：
则令,或 在何种情况下，
才考虑用万能置换法？
一般地，不满足上述 ）的各种特殊情形 的，才考虑用万能置换法。
1
2
1
s i n c o s,
1
(
m m n n
nnd x d x x d x I t g x d x t g x In
拆项与反复使用倍角公式
、对于,
可用分部积分法 递推公式求出）
5
1
1,,,;
2,
n
n
n
n
n
ax b
R x ax b dx R x dx
c x d
ax b
ax b t t
c x d
R x ax b ax
三、某些无理（根式）函数的不定积分一般的无理（根式）函数的不定积分并不一定能求得出来，而对于一些简单的无理函数则可通过适当的代换可化为有理函数的不定积分，作代换的目的就是去掉根号。以下是一些常见无理（根式）函数的不定积分的求法：
、形如 或,可作变换：
或：
、形如,, 1,,,,
k
k
n
nn
ax b ax b
b dx R x dx
c x d c x d
或：
6
12
3
4
1
1112
12
64
11 14 12 8 15 13 9
3
5 13 3
4 12 4
,,,,;
21
1.
,,12,0.
2 1 4 24 4
.1 2 12 2
5 13 3
4 24 4
.
5 13 3
n
n
k
ax b
ax b t t n n n n
c x d
xx
dx
x
t x x t dx t dt t
tt
t dt t t t dt t t t C
t
x x x C
可作变换,或,其中：
例求解：令原式
7
22
2
2 2 2
2
3,,0,0,
1 0,
2
1 0,,
3 2 3 ( 2 3 )
,,
2 ( 1 ) 2 ( 1 )2 ( 1 )
R x a x b x c d x a a x b x c
a a x b x c t a x
t a x
a x t
t t t t t
x d x d t
tt t
2
2
2
、形如 在一般的情况下采用欧拉变换法：
（）第一欧拉变换法：若 令,或：
dx
例 求I =
x x - 2 x - 3
解：因 采用第一欧拉变换法，令 x - 2 x - 3 则可解出：
x - 2 x - 3
8
2
2 2 22
2
2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 3 2
..
3 2 ( 1 ) 323
2 2 2 3
a r c ta n a r c ta n,
3 3 3 3
t t t t
I d t d t
t t ttt
t x x x
cc
于是所求不定积分直接化为有理函数的不定积分：
22 0,;
c a x b x c x t c
x t c
（）、第二欧拉变换法：若 令：
或
2( 3 ) 0a x b x c、第三欧拉变换法：若 有两个不同的实根 与,则
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2
2
2
2 2 2 2
2
( ) ( ) ( ),( )
1,
2 ),
a x b x c a x x t x t x
dx
a x b x c
a x b x c
d X d X
A
X A A X
m x n d x
a x b x c
令,或 。
注：利用欧拉变换求积分，一般都引入相当复杂的计算，在一些特殊的情况下，尽量避免欧拉变换法。
）、形如,先对 配方，最后还原成以下三种情况之一：
或,。（其中 是常数）
、形如,利用凑微分法和配方后作代换后即可求出其积分。
10
22
2 2 2 2
2
22
3,
4
1
5,(,3 ),,
3
n
ax bx c dx ax bx c
X A dX A X dX A
m x n ax bx c dx
dx
n N n x
t
x x a
n
）、形如,对 配方最终还原成：
或,三种情况之一。（ 是常数）
）、形如,先凑微分，再利用已知的积分公式。
）、形如,且 则令 再利用凑微分法或由已知公式；当 时，则一般用第二换元法
（作三角函数变换去根号）
2
22
2
2 2 2 2
2 sin,c o s ) ;
3 sin,c o s )
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、三角函数有理式用 （ 表示
,（ 的求法：
）、万能置换法：令 则
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从而可用有理函数的积分法求出其积分。
1 ( ) ( )
( ) ( )
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u x v x
u x v x
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二、三角函数有理式的不定积分
、,的有理式由,及常数经过有限次的四则运算所得到的函数称为关于,的有理式，并用（u(x)、v(x))表示。
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在理论上，任一有理三角函数的不定积分，通过万能置换法总可以求出其积分，但其计算过程都比较烦琐，因此在特殊的情况下，
一般不采用此方法。（见下面介绍）
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2)
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1 c os 2
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、特殊情形的求法：
（）、三角恒等变换法
、对于,,可利用倍角公式来计算
、对于,,,
可用三角函数的积化和差公式：
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、对于 当,中有一奇数时，可拆开它，然后用凑微分法求其积分；
当,均为偶数时，可利用倍角公式：
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2
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反复使用即可求出其积分。
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( 2) ( sin,c os ) ( sin,c os ),( sin,c os )
c os sin ; ( sin,c os )
( sin,c os ) c os ; ( sin,c os )
( sin,c os ),.
( sin,c os )
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、若 即关于 是奇函数，则令,若
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则令,或 在何种情况下，
才考虑用万能置换法？
一般地，不满足上述 ）的各种特殊情形 的，才考虑用万能置换法。
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1
(
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拆项与反复使用倍角公式
、对于,
可用分部积分法 递推公式求出）
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2,
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R x ax b dx R x dx
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三、某些无理（根式）函数的不定积分一般的无理（根式）函数的不定积分并不一定能求得出来，而对于一些简单的无理函数则可通过适当的代换可化为有理函数的不定积分，作代换的目的就是去掉根号。以下是一些常见无理（根式）函数的不定积分的求法：
、形如 或,可作变换：
或：
、形如,, 1,,,,
k
k
n
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例求解：令原式
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、形如 在一般的情况下采用欧拉变换法：
（）第一欧拉变换法：若 令,或：
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例 求I =
x x - 2 x - 3
解：因 采用第一欧拉变换法，令 x - 2 x - 3 则可解出：
x - 2 x - 3
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（）、第二欧拉变换法：若 令：
或
2( 3 ) 0a x b x c、第三欧拉变换法：若 有两个不同的实根 与,则
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( ) ( ) ( ),( )
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令,或 。
注：利用欧拉变换求积分，一般都引入相当复杂的计算，在一些特殊的情况下，尽量避免欧拉变换法。
）、形如,先对 配方，最后还原成以下三种情况之一：
或,。（其中 是常数）
、形如,利用凑微分法和配方后作代换后即可求出其积分。
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）、形如,对 配方最终还原成：
或,三种情况之一。（ 是常数）
）、形如,先凑微分，再利用已知的积分公式。
）、形如,且 则令 再利用凑微分法或由已知公式；当 时，则一般用第二换元法
（作三角函数变换去根号）
