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第 十 章 定 积 分 的 应 用
§ 1 平 面 图 形 的 面 积教学内容,平面图形面积的计算教学目的：
理解定积分的意义；学会、掌握微元法处理问题的基 本思想熟记平面图形面积的计算公式。
一,直角坐标系下平面图形的面积,
由定积分的几何意义，连续曲线 与直线：
轴所围成的曲边梯形的面积为：
2
( ) [,],
( ),
( ) ( )
( ) ( ),
b
a
cd
ac
eb
de
f x a b
A f x dx
f x dx f x dx
f x dx f x dx
若 在 上不都是非负的则所围成图形（如右图）
的面积为 )(xfy?
a
0
x
y
b
b
o
)( xfy?
c d e x
y
oa
3
1 1 2 2
12
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ),
( ) ( )
b
a
x
y f x y f x
x a x b
A f x f x
y
x g y x g y
y a y b
一般地，若平面区域是 —区域：由上曲线,下曲线,
左直线,右直线 所围成，
则其面积公式为：
若平面区域是 —区域：由左曲线
、右曲线,
下直线,上直线
x— 区域
21
,
( ) ( ),
b
a
A g y g y dy
所围成 则其面积公式为：
如图所示。
y— 区域
y
xo
)(11 xfy?
)(22 xfy?
a b
x
y
o
a
b
)(1 ygx? )(2 ygx?
4
如果平面区域既不是 x— 型区域，也不是 y— 型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个 x— 型区域与 y— 型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总的面积等于各区域面积之和。如右下图：
上曲线由三条不同的曲线：
AB,BC与 CD 构成；下曲线由两条不同曲线,EF与
FG所构成。为计算其面积，
可分别过点 B,C与 F作平行于 y轴的直线，则把平面区域分成 4个 x— 型区域。
y
x
E
a b
A B
C
D
F
G
o
5
如图所示：：解法积所围成的平面区域的面与直线：求抛物线例
1
.
0321 2 yxxy
所给的区域不是一个规范的 x-域,如图需将其切成两块,即可化成 x-形区域的面积问题。
第一块的面积,
A
B
1A
2A
,第二块的面积,
,总面积：
6
,
3
2
1032
3
,1,32
,
2
3
1
2
2
dyyyA
yy
yyx
yxy
积域面积的计算公式得面型区—直接由上直线为：
下直线：右曲线为：
型区域：则左曲线为：—
成若把围成的平面区域看：解法二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积设区间 上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示
7
且,在 上连续，
，（ 对于 或 的情况类似讨论 ）,
则计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法：
1）具体计算时常利用图形的几何特征
2）从 参数方程 定义域的分析确定
22
22 1
xy
ab
例2 求由椭圆 所围成的面积。
解
8
例 3 求摆线 的一拱与 x 轴所围的平面图形的面积 (如图阴影部分 )
由图看出,对应原点 (0,0 ),对应一拱的终点
,所以其面积为,
9
三、极坐标下平面图形的面积
drA
C
r
rrC
)(
2
1
.2
],[)(],[
,)(
2
平面图形的面积：
所围成的、两射线：
与由曲线上连续，
在给出，其中由极坐标方程曲线设
o
)(?rr?
)( 1 irr?)( irr
i
x
和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上下限的确定。确定上下限方法通常也是
1）利用图象； 2）分析 定义域 （见下页示图）
10
11
例 4 求双扭线 所围成的平面图形的面积
x
y
]
4
,0[
4
象限变化的范围为：
在第一而倍。限部分面积的一象的，故其面积是其在第对称平面图形是关于坐标轴它所围成的如图所示，解：
2
4
0
2
2c o s4 adaA
的面积为：
区域故双纽线所围成的平面
第 十 章 定 积 分 的 应 用
§ 1 平 面 图 形 的 面 积教学内容,平面图形面积的计算教学目的：
理解定积分的意义；学会、掌握微元法处理问题的基 本思想熟记平面图形面积的计算公式。
一,直角坐标系下平面图形的面积,
由定积分的几何意义，连续曲线 与直线：
轴所围成的曲边梯形的面积为：
2
( ) [,],
( ),
( ) ( )
( ) ( ),
b
a
cd
ac
eb
de
f x a b
A f x dx
f x dx f x dx
f x dx f x dx
若 在 上不都是非负的则所围成图形（如右图）
的面积为 )(xfy?
a
0
x
y
b
b
o
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c d e x
y
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3
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12
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( ) ( )
( ) ( ),
( ) ( )
b
a
x
y f x y f x
x a x b
A f x f x
y
x g y x g y
y a y b
一般地，若平面区域是 —区域：由上曲线,下曲线,
左直线,右直线 所围成，
则其面积公式为：
若平面区域是 —区域：由左曲线
、右曲线,
下直线,上直线
x— 区域
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,
( ) ( ),
b
a
A g y g y dy
所围成 则其面积公式为：
如图所示。
y— 区域
y
xo
)(11 xfy?
)(22 xfy?
a b
x
y
o
a
b
)(1 ygx? )(2 ygx?
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如果平面区域既不是 x— 型区域，也不是 y— 型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个 x— 型区域与 y— 型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总的面积等于各区域面积之和。如右下图：
上曲线由三条不同的曲线：
AB,BC与 CD 构成；下曲线由两条不同曲线,EF与
FG所构成。为计算其面积，
可分别过点 B,C与 F作平行于 y轴的直线，则把平面区域分成 4个 x— 型区域。
y
x
E
a b
A B
C
D
F
G
o
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如图所示：：解法积所围成的平面区域的面与直线：求抛物线例
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.
0321 2 yxxy
所给的区域不是一个规范的 x-域,如图需将其切成两块,即可化成 x-形区域的面积问题。
第一块的面积,
A
B
1A
2A
,第二块的面积,
,总面积：
6
,
3
2
1032
3
,1,32
,
2
3
1
2
2
dyyyA
yy
yyx
yxy
积域面积的计算公式得面型区—直接由上直线为：
下直线：右曲线为：
型区域：则左曲线为：—
成若把围成的平面区域看：解法二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积设区间 上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示
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且,在 上连续，
，（ 对于 或 的情况类似讨论 ）,
则计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法：
1）具体计算时常利用图形的几何特征
2）从 参数方程 定义域的分析确定
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xy
ab
例2 求由椭圆 所围成的面积。
解
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例 3 求摆线 的一拱与 x 轴所围的平面图形的面积 (如图阴影部分 )
由图看出,对应原点 (0,0 ),对应一拱的终点
,所以其面积为,
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三、极坐标下平面图形的面积
drA
C
r
rrC
)(
2
1
.2
],[)(],[
,)(
2
平面图形的面积：
所围成的、两射线：
与由曲线上连续，
在给出，其中由极坐标方程曲线设
o
)(?rr?
)( 1 irr?)( irr
i
x
和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上下限的确定。确定上下限方法通常也是
1）利用图象； 2）分析 定义域 （见下页示图）
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例 4 求双扭线 所围成的平面图形的面积
x
y
]
4
,0[
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象限变化的范围为：
在第一而倍。限部分面积的一象的，故其面积是其在第对称平面图形是关于坐标轴它所围成的如图所示，解：
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4
0
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的面积为：
区域故双纽线所围成的平面
