1
§ 4定积分性质一、定积分的基本性质上也可积，且在上可积，则在、若（线性性质）性质 ],[],[1 bagfbagf
2 [,],[,]
3 [,] (,),[,] [,],
f g a b f g a b
f a b c a b f a c c b
其中：,是常数证性质 若,在 上可积，则 在 上也可积。
证性质 在 上可积 在 与 上可积 此时又有
2
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x d x f x d x f x d x
等式证反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若性）：（积分关于函数的单调推论上可积且非负，则：在若性质是任意的大小顺序、、这里的则：
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性曲边梯形面积的公式的几何意义就是时，性质可加性。当及其公式称为积分区间）性质说明：性质
(.)()(],,[),()(
],[
.0)(],[4
.
)()()(
][][
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.
.
3
031
3
b
a
b
a
b
a
b
c
c
a
b
a
a
b
b
a
a
a
dxxgdxxfbaxxgxf
bagf
dxxfbaf
cba
dxxfdxxfdxxf
BAcbaBAf
dxxfdxxfdxxf
C c b BA a c C
A a b B
f
a b
A
C B
c
x
y
o
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若（积分关于函数的单调上可积且非负，则：在若是任意的大小顺序、、这里的
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性曲边梯形面积的公式的几何意义就是可加性。当及其公式称为积分区间说明：
x
y
o
a c b
BC
A
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若（积分关于函数的单调上可积且非负，则：在若是任意的大小顺序、、这里的
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性曲边梯形面积的公式的几何意义就是可加性。当及其公式称为积分区间说明：
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若（积分关于函数的单调上可积且非负，则：在若是任意的大小顺序、、这里的
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性曲边梯形面积的公式的几何意义就是可加性。当及其公式称为积分区间说明：
3
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若性）：（积分关于函数的单调推论上可积且非负，则：在若性质是任意的大小顺序、、这里的则：
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性曲边梯形面积的公式的几何意义就是时，性质可加性。当及其公式称为积分区间）性质说明：性质
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C c b BA a c C
A a b B
f
a b
A
C B
c
x
y
o
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若（积分关于函数的单调上可积且非负，则：在若是任意的大小顺序、、这里的
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性曲边梯形面积的公式的几何意义就是可加性。当及其公式称为积分区间说明：
利用性质 4可得一个重要的结论：即对 积分值大小的基本估计方法
4
可积。
上它在上不可积，但因在不成立，例如：这个性质的逆命题一般注意：
证上一定可积，且在上可积，则在若（绝对可积性）性质上的最大与最小值。在自然为与时，
上连续在地，当上的上、下确界，特别在分别为与其中：
]1,0[,1)(]1,0[,
,1
,1
)(
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],[],[5
],[
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xf
QRx
Qx
xf
dxxfdxxf
bafbaf
bafmM
bafbafmM
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b
a
b
a
b
a
5
1
1
1
1
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2 1,1 0,
()
,0 1.
1
2 [ 1,1 ]
( ) 1 1 ( )
x
f x dx
xx
fx
ex
f x dx F F F x
例 求 其中思考题：
）、对于分段函数的定积分，为什么可采用积分区间的可加性来计算？
）、如果要求直接在 上使用牛顿—莱布尼茨公式来计算
（） （ ），这时 应取怎样的函数？
6
00
2 ( ) [,] ( ) 0 ( ) 0,
( ) 0,
[,] ( ) 0,( ) 0,
b
a
b
a
f x a b f x f x d x
fx
f
x a b f x f x d x
例 证明：若 在 上连续，且,
则证明（用反证法）
从此例可知，即使 为一非负可积函数，只要它在某点上连续，且 则
7
9,7 ( [,]
[,] ( ) ( ) ( ),
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()
1
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( ) [,]
b
a
b
a
f a b
a b f x d x f b a
f a b y f x a b
f
a b f x d x
ba
f x a b
二、积分中值定理定理 积分第一中值定理）若 在 上连续，则至少存在一点,使得：
证定理的几何意义：
若 在 上非负连续，则 在上曲边梯形的面积等于右图所示的 为高,为底的矩形面积而则可理解为 在 上所有函数值的平均值。这通常是有限数的算术平均数的推广 。
x
y Y=f(x)
0
8
1
1
lim2.0s i nlim1
).,2
8.97.9.7.91)(1
)()()()(
],,[],[
)(],[(8.9
1
2
0
2
2
dxe
x
x
ba
xg
dxxgfdxxgxf
baba
xgbagf
x
nn
n
n
n
n
b
a
b
a
）、）、
证明下列极限：例题：
（可进一步证明指出：）、
的特殊情形。是定理即定理时，即为定理）、当说明：
证使得：一点上不变号，则至少存在在上连续，且都在与若理）推广的积分第一中值定定理
§ 4定积分性质一、定积分的基本性质上也可积，且在上可积，则在、若（线性性质）性质 ],[],[1 bagfbagf
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f g a b f g a b
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其中：,是常数证性质 若,在 上可积，则 在 上也可积。
证性质 在 上可积 在 与 上可积 此时又有
2
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x d x f x d x f x d x
等式证反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若性）：（积分关于函数的单调推论上可积且非负，则：在若性质是任意的大小顺序、、这里的则：
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性曲边梯形面积的公式的几何意义就是时，性质可加性。当及其公式称为积分区间）性质说明：性质
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反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若（积分关于函数的单调上可积且非负，则：在若是任意的大小顺序、、这里的
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性曲边梯形面积的公式的几何意义就是可加性。当及其公式称为积分区间说明：
x
y
o
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BC
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反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若（积分关于函数的单调上可积且非负，则：在若是任意的大小顺序、、这里的
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性曲边梯形面积的公式的几何意义就是可加性。当及其公式称为积分区间说明：
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若（积分关于函数的单调上可积且非负，则：在若是任意的大小顺序、、这里的
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性曲边梯形面积的公式的几何意义就是可加性。当及其公式称为积分区间说明：
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反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若性）：（积分关于函数的单调推论上可积且非负，则：在若性质是任意的大小顺序、、这里的则：
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性曲边梯形面积的公式的几何意义就是时，性质可加性。当及其公式称为积分区间）性质说明：性质
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反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若（积分关于函数的单调上可积且非负，则：在若是任意的大小顺序、、这里的
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）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性曲边梯形面积的公式的几何意义就是可加性。当及其公式称为积分区间说明：
利用性质 4可得一个重要的结论：即对 积分值大小的基本估计方法
4
可积。
上它在上不可积，但因在不成立，例如：这个性质的逆命题一般注意：
证上一定可积，且在上可积，则在若（绝对可积性）性质上的最大与最小值。在自然为与时，
上连续在地，当上的上、下确界，特别在分别为与其中：
]1,0[,1)(]1,0[,
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例 求 其中思考题：
）、对于分段函数的定积分，为什么可采用积分区间的可加性来计算？
）、如果要求直接在 上使用牛顿—莱布尼茨公式来计算
（） （ ），这时 应取怎样的函数？
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例 证明：若 在 上连续，且,
则证明（用反证法）
从此例可知，即使 为一非负可积函数，只要它在某点上连续，且 则
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二、积分中值定理定理 积分第一中值定理）若 在 上连续，则至少存在一点,使得：
证定理的几何意义：
若 在 上非负连续，则 在上曲边梯形的面积等于右图所示的 为高,为底的矩形面积而则可理解为 在 上所有函数值的平均值。这通常是有限数的算术平均数的推广 。
x
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证明下列极限：例题：
（可进一步证明指出：）、
的特殊情形。是定理即定理时，即为定理）、当说明：
证使得：一点上不变号，则至少存在在上连续，且都在与若理）推广的积分第一中值定定理
