1
§ 2 由平行截面面积求体积
1、已知平行截面面积（函数）求体积的公式上节我们学习了平面图形面积的计算，还利用分割、求和的分析方法，导出了极坐标下平面图形的 面积公式,
A
现在我们看右图一个空间立体，假设我们知道它在 x 处截面面积为 A(x)，
可否利用类似于上节极坐标下推导面积公式的思想求出它的体积？
x
A(x)
2
如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似看作直柱体，其体积等于底面积乘高，
所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积
i
n
i
n
i
i xxAVV
11
)(
由此可得,
.)( dxxAV
b
a
这里，体积的计算的关键是求截面面积 A(x),常用的方法先画出草图，分析图象求出 A(x).
例 1 求两圆柱,
222222 RxzRyx 所围的立体体积,
3
解：两圆柱所围成的立体是关于 8个卦限对称的，因此，它的体积是其在第一卦限体积的 8倍。如何求其在第一卦限的体积？
下图就是其在第一卦限部分立体：
4
),0( R?该立体被平面（因为两圆柱半径相同）所截的截面,是一个边长为 的正方形,所以截面面积 。
22R
22)( RxA
2 2 3
0
168
3
R
V R x dx R
故两圆柱面所围成的立体体积 2 2 2
2 2 2
21
()
x y z
a b c
x
Ax
例 求由椭圆面 所围立体（椭球）的体积。(如上 图）
解法：画出草图，关键是求出用垂直于 轴（其它轴也可）的平面截立体所得截面面积函数 的具体表达式。
利用平行截面面积求立体体积，关键是求出截面面积函数的表达式，则立体体积的计算就可以轻易地转化为截面面积函数的定积分计算。
x
y
z
0 a- a
- c
c
- b
b
0
x
5
2、旋转体体积公式
2
2
[,]
0 ( )
,[,]
( ),[,]
( ),
3
b
a
f a b
y f x
x a b
x
A x f x x a b
V f x dx
设 是 上的连续函数，
是由平面图形：
（右图阴影部分）绕轴旋转一周所得的旋转体，
那么易知截面面积函数为
（ ）,
由已知平行截面面积求体积的公式可知，旋转体 的体积公式为：
例 求圆锥体的体积公式
ba
()y f x?
x
y
o
x
ba
()y f x?
x
y
o
6
2 2 24 ( ) ( 0 )x y R r r R x例 求由圆 绕 轴旋转一周所得环状立体体积。
1
2 2 2 2
2,,
yR
r x y R r x x r
x
解：如上图所示，上、下半圆方程分别为：
则环体体积是由上、
下两个半圆绕 轴旋转一周所得旋转体的体积之差
( 如下图所示）：
y
o xrr?
221y R r x上半圆,222y R r x下半圆：
y
x
o
r?
r
y
x
o
r?
r
7
22
2 2 2 2 2 2
12
2 2 2 2
4 2,
r r r
r r r
r
r
V y d x y d x R r x d x R r x d x
R r x d x r R
即环体体积：
§ 2 由平行截面面积求体积
1、已知平行截面面积（函数）求体积的公式上节我们学习了平面图形面积的计算，还利用分割、求和的分析方法，导出了极坐标下平面图形的 面积公式,
A
现在我们看右图一个空间立体，假设我们知道它在 x 处截面面积为 A(x)，
可否利用类似于上节极坐标下推导面积公式的思想求出它的体积？
x
A(x)
2
如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似看作直柱体，其体积等于底面积乘高，
所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积
i
n
i
n
i
i xxAVV
11
)(
由此可得,
.)( dxxAV
b
a
这里，体积的计算的关键是求截面面积 A(x),常用的方法先画出草图，分析图象求出 A(x).
例 1 求两圆柱,
222222 RxzRyx 所围的立体体积,
3
解：两圆柱所围成的立体是关于 8个卦限对称的，因此，它的体积是其在第一卦限体积的 8倍。如何求其在第一卦限的体积？
下图就是其在第一卦限部分立体：
4
),0( R?该立体被平面（因为两圆柱半径相同）所截的截面,是一个边长为 的正方形,所以截面面积 。
22R
22)( RxA
2 2 3
0
168
3
R
V R x dx R
故两圆柱面所围成的立体体积 2 2 2
2 2 2
21
()
x y z
a b c
x
Ax
例 求由椭圆面 所围立体（椭球）的体积。(如上 图）
解法：画出草图，关键是求出用垂直于 轴（其它轴也可）的平面截立体所得截面面积函数 的具体表达式。
利用平行截面面积求立体体积，关键是求出截面面积函数的表达式，则立体体积的计算就可以轻易地转化为截面面积函数的定积分计算。
x
y
z
0 a- a
- c
c
- b
b
0
x
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2、旋转体体积公式
2
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[,]
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,[,]
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b
a
f a b
y f x
x a b
x
A x f x x a b
V f x dx
设 是 上的连续函数，
是由平面图形：
（右图阴影部分）绕轴旋转一周所得的旋转体，
那么易知截面面积函数为
（ ）,
由已知平行截面面积求体积的公式可知，旋转体 的体积公式为：
例 求圆锥体的体积公式
ba
()y f x?
x
y
o
x
ba
()y f x?
x
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2 2 24 ( ) ( 0 )x y R r r R x例 求由圆 绕 轴旋转一周所得环状立体体积。
1
2 2 2 2
2,,
yR
r x y R r x x r
x
解：如上图所示，上、下半圆方程分别为：
则环体体积是由上、
下两个半圆绕 轴旋转一周所得旋转体的体积之差
( 如下图所示）：
y
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221y R r x上半圆,222y R r x下半圆：
y
x
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即环体体积：
