1
§ 3 有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分内容：
1）有理函数的部分分式分解
2）有理函数的不定积分难点：有理函数的部分分式分解要求：掌握有理函数的积分方法我们已经学习了不定积分的三种基本积分方法第一换元法，第二换元法，分部积分法。灵活的应用它们，就可以求出许多不定积分。
有理函数是指两个多项式的商表示的函数：
2
先介绍代数学中两个定理：
定理 1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式总那个可以唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积：
rslk hrxxqpxxbxaxbxQ )()()()()( 220
3
定理 2 （ 部分分式展开定理）：
4
因此有理函数的积分问题就归结为计算与例 1,求不定积分将被积函数按部分分式分解：
两边同乘比较同次项系数：
5
解此方程组得,A = -3,B = 5
由此得到,
所以例 2
解 将分母分解因式
6
因此可分成部分分式两边同乘比较同次项系数得
(*)
7
解此方程组得,A =1 B =2 C =-1 D =-1 E =1
从而得方程组：
从而：
8
( ) 0,
0,1 *
2 2 * 1 2,
,0 ( 1 2 *
- 10 - 4- 2C - 8E 1
x 1 ( 1 2
x Q x
x
x x A B
x A B
AB
上述的待定系数法有时可用较简便的方法（如用赋值法）
去代替，例如可将 的某些特定值（如 的根 再选择一些特殊值，如,等）代入（ ）式，以便得到一直接求得某几个待定系数的值。对于上例，若分别用
,代入（ ）式，立即可得：,再选择,）代入（ ）式，可得：
（ ）；
以,）代入（ *
4 3 2 18 2
x 1 ( 1 2 * 1 9 3 3,
1 2 3 1,1,1.
C D E
A B C E D
C D E
）式得：
（ ）（ ）；
以,）代入（ ）式得,（ ）（ ）
解由（）、（ ）、（ ）联立方程组得：
9
小结：
1、有理函数的原函数一定是初等函数；
2、求有理函数不定积分的步骤：
1）、若被积函数是有理假分式，则通过多项式除法，把它化成多项式 +有理真分式；
2）、用部分分式展开定理把有理真分式化成若干个简单分式之和，用比较系数法或赋值法求出各待定系数。
3）、求出各个简单分式的不定积分，
则有理函数的不定积分 =多项式的不定积分（若是有理假分式，
则必有此项积分） +各个简单分式的不定积分。
§ 3 有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分内容：
1）有理函数的部分分式分解
2）有理函数的不定积分难点：有理函数的部分分式分解要求：掌握有理函数的积分方法我们已经学习了不定积分的三种基本积分方法第一换元法，第二换元法，分部积分法。灵活的应用它们，就可以求出许多不定积分。
有理函数是指两个多项式的商表示的函数：
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先介绍代数学中两个定理：
定理 1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式总那个可以唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积：
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定理 2 （ 部分分式展开定理）：
4
因此有理函数的积分问题就归结为计算与例 1,求不定积分将被积函数按部分分式分解：
两边同乘比较同次项系数：
5
解此方程组得,A = -3,B = 5
由此得到,
所以例 2
解 将分母分解因式
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因此可分成部分分式两边同乘比较同次项系数得
(*)
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解此方程组得,A =1 B =2 C =-1 D =-1 E =1
从而得方程组：
从而：
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( ) 0,
0,1 *
2 2 * 1 2,
,0 ( 1 2 *
- 10 - 4- 2C - 8E 1
x 1 ( 1 2
x Q x
x
x x A B
x A B
AB
上述的待定系数法有时可用较简便的方法（如用赋值法）
去代替，例如可将 的某些特定值（如 的根 再选择一些特殊值，如,等）代入（ ）式，以便得到一直接求得某几个待定系数的值。对于上例，若分别用
,代入（ ）式，立即可得：,再选择,）代入（ ）式，可得：
（ ）；
以,）代入（ *
4 3 2 18 2
x 1 ( 1 2 * 1 9 3 3,
1 2 3 1,1,1.
C D E
A B C E D
C D E
）式得：
（ ）（ ）；
以,）代入（ ）式得,（ ）（ ）
解由（）、（ ）、（ ）联立方程组得：
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小结：
1、有理函数的原函数一定是初等函数；
2、求有理函数不定积分的步骤：
1）、若被积函数是有理假分式，则通过多项式除法，把它化成多项式 +有理真分式；
2）、用部分分式展开定理把有理真分式化成若干个简单分式之和，用比较系数法或赋值法求出各待定系数。
3）、求出各个简单分式的不定积分，
则有理函数的不定积分 =多项式的不定积分（若是有理假分式，
则必有此项积分） +各个简单分式的不定积分。
