第三节 函数极限存在的条件冯永平
Fypmath@gzhu.edu.cn
函数极限与数列极限的关系 (海涅定理 )
.)(l i m
,l i m},{);(
,)(l i m);()(
000
0
0
0
0
Axf
xxxxxxU
AxfxUxf
n
n
nn
n
n
xx




则有且若数列任意含于内有定义，在
定理注,本定理有如下几点注释：
1 本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。
2 本定理通常用来证明函数极限的不存在性。
证
.)(
,0,0,0 0


Axf
xx 恒有时使当
Axfxx )(l i m
0
.0
,,0,0
0

xx
NnN
n
恒有时使当对上述
,)( Axf n从而有,)(l i m Axf nx故
,lim 00 xxxx nnn 且又?
例如,x
xy sin?
1sinlim
0
x
x
x
,11s i nlim?
n
n
n
,11s i nlim?
n
n
n
11s i n1lim 2
2

n
n
n
n
n
xy 1sin?
例 1,1s i nl i m
0
不存在证明 x
x?
证,1 nx n取
,0lim nn x ;0?nx且
,
2
14
1

n
x n取
,0lim nn x ;0nx且
nx
nnn
s i nl i m1s i nl i m

而
,1?
2 14s i nlim1s i nlim

n
x nnn而
1lim n
二者不相等,.1s i nl i m 0 不存在故 xx?
,0?
单调有界准则：
);(lim xf
x
);(lim xf
x
);(l i m
0
xf
xx
);(l i m
0
xf
xx
以上 4种极限有相互对应的单调有界准则 。
存在。则右极限上的单调有界函数，为定义在设
)(l i m
);()(
0
0
0
xf
xUxf
xx
定理
Cauchy收敛准则,
设函数 在 内有定义。 存在的充要条件为：



|)''()'(|
),;('',',0,0 00
xfxf
xUxx
1 收敛函数的函数值在 几乎“挤”在了一起。
2 通常用 Cauchy收敛准则证明函数的极限不存在 。
)(xf );( 00?xU )(lim
0
xfxx?
);( 00?xU