第三节 数列极限存在的条件冯永平
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数列极限的两大问题
数列极限的存在性；
（此问题为最关键的问题）
数列极限值的大小；
（存在性成立后,才想办法计算极限）
几种证明极限存在的方法：
按照数列极限的定义证明。
按照奇、偶子列的收敛性证明。
依据任意子列的收敛性证明。
利用夹逼准则证明。
最简单的思想是利用数列本身的性质证明数列极限的存在性几个简单的单调数列：;0l i m,.,,2,1,1
nnn
an
n
a;0lim,...2,1),10(,
nn
n
n anqqa;0lim,.,,2,1,1
nnn
an
n
a
满足条件如果数列 nx
,121nn xxxx 单调增加
,121nn xxxx 单调减少单调数列
x1x 2x 3x 1?nxnx
准则 I,单调有界准则单调有界数列必有极限,
几何解释,A M
几点说明,
通常该准则变通为：
1） 单调递增有上界的数列存在极限。
2） 单调递减有下界的数列存在极限。
本定理只是证明了存在性。
本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。
此定理的条件为充分非必要条件。
,....2,1,1)1( nna nn
例 1 设其中,证明 收敛。
证明,递增显然，下面证明有上界，事实上,
,.,,2,1,1.,,3 12 11 nna n
2 }{ na
}{ na
222
1...
3
1
2
11
na n
,.,,,2,1,12 nn
nn


)1(
1...
32
1
21
11
例 2 证明 存在 。
n
n n
)11(l i m?

证明：
1
1
1
1 1
1...
1
1...
1
1)1(1
1
11?







nk
k
n
n
n nnCnnna
nk
k
n
n
n nnCnnna





1.,,1.,,1111






n
k
nnk
nk
knnn
n
C
kk
k
n
1
1.,,
2
1
1
1
!
1
1
!
)1),,,(1(1









n
n
nnn
n
k
nnk
n
a
n
1
1.,,
2
1
1
1
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1
1
1.,,
2
1
1
1
!
1
.,,
1
1
!2
1
11
的展开式中共有 项，每一项为正数 。
na 1?n










1
1.,,
1
2
1
1
1
1
)!1(
1
1
1
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1
2
1
1
1
1
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1
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1
2
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1
1
1
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1
1
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1
11
1
n
n
nnn
n
n
nnn
n
k
nnk
n
a
n
的展开式中共有 项，每一项为正数 。
1?na 2?n
不难发现有,












1
11.,,
1
21
1
11
!
111.,,2111
!
1
n
k
nnkn
k
nnk
即 的第 项小于 的第 项，
此外 比 还多了一个正数项，故
na
na
1?na
1?na
k k
,.,,2,1,1 naa nn
严格增加下面证明有上界,
!
1
...
!3
1
!2
1
2
n
a n
nn


)1(
1.,,
32
1
2
12
31-3
n
Cauchy收敛准则,
数列 收敛的充要条件为：}{ na
||,,,,0 mn aaNmnN
1 收敛数列的各项越到后面，项之间几乎“挤”在了一起。
2 判别 的收敛性只要根据本身满足的特性就可以判别，不需要引入别的数列作参照。
3 把数列项与其极限的关系变换为数列各个项之间的关系。
}{ na