第一节 数列极限的概念冯永平
Fypmth@gzhu.edu.cn
“割之弥细，
所失弥少，
割之又割，
以至于不可割，
则与圆周合体而无所失矣”
1、割圆术：
——刘徽一、概念的引入
R
正六边形的面积 1A
正十二边形的面积 2A
正 形的面积 126 n nA
,,,,,321 nAAAA S
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211?X第一天截下的杖长为;2 121 22X为第二天截下的杖长总和
;2 12 121 2 nnXn天截下的杖长总和为第
nnX 2
11 1
二、数列的定义定义,按自然数?,3,2,1
编号依次排列的一列数
,,,,
21 n
xxx (1 )
称为 无穷数列,简称 数列,
其中的每个数称为数列的 项,
n
x 称为 通项 ( 一般项 ),数列 (1 ) 记为 }{
n
x
例如;,2,,8,4,2 n;,21,,81,41,21 n
}2{ n
}21{ n
注意,1.数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点在数轴上依次取,,,,,21 nxxx
1x 2x3x 4x nx
2.数列是整标函数 ).( nfx n?;,)1(,,1,1,1 1 n})1{( 1 n;,)1(,,34,21,2
1
nn
n })1({
1
n
n n
.})1(1{
1
时的变化趋势当观察数列
nn
n
三、数列的极限问题,当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?
nxn
.1)1(1,
1
无限接近于无限增大时当 nxn
n
n
问题,,无限接近,意味着什么?如何用数学语言刻划它,
1nx? nnn
11)1( 1
通过上面的观察：
,1 0 011?n由,1 0 0时只要?n,10011nx有
,10001给定,1 0 0 0时只要?n
,1000011nx有,1 0 0 0 01给定,1 0 0 0 0时只要?n
,1 0 0 011nx有
,0给定,])1[( 时只要 Nn,1 成立有nx
100
1给定,
定义 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),总存在正数 N,使得对于 Nn? 时的一切
n
x,不等式 ax
n
都成立,那末就称常数 a 是数列 nx 的极限,或者称数列 nx
收敛于
a
,记为
,lim ax
n
n
或
).( nax
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的,
注意,;.1 的无限接近与刻划了不等式 axax nn
..2 有关与任意给定的正数?N
x1x2x 2?Nx1?Nx 3x
几何解释,?2aa
a
.)(
,),(,
落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当
N
aaxNn n
:定义N
其中;,每一个或任给的?,,至少有一个或存在?
.,,0,0
l i m
axNnN
ax
n
nn
恒有时使极限定义的辨析：
.2,,0,0 axNnN n恒有时使
.,0,0 axNnN n恒有时，使对
.0 axx nn 满足不等式，都有无穷多项对
.0 axx nn 满足不等式，都只有有限项对例 1
.01l i m?
kn n
证明证
0?nx kk nn
101
,0任给,0nx要
,1kn只要,11
k
n
或所以,
],1[ 1
k
N
取
,时则当 Nn?
.11lim?
kn n
即
,0nx
例 2
.333l i m 2
2
n
n
n
证明证
3?nx )3(
9
3
93
3
3
22
2
nnnn n
,0任给,3nx要,9
n只要,
9
n或所以,},9,3m a x {
N取
,时则当 Nn?
,3nx,333lim 2
2
n
n
n
即例 3,1,0lim
qq
n
n 其中证明证,0任给
,0 nn qx,lnlnn
],lnln[ qN取,时则当 Nn?
,0nq就有,0l i m nn q
,0?q若 ;00l i ml i m nnn q则
,10 q若
,lnln qn
例 4
)0.(1l i m aann证明证
,0任给,1nx要,1
n
a只要,1
an或所以,
,1]1[aN取,时则当 Nn?
.1l i m nn a即,1nx
0,1,1
1
则记 naa
)1(11)1(
1
nn anna由
n
aa n 111得几点补充,
的任意性,刻画了数列在趋于无穷时与某一常数之间的接近程度；可以限定其小于任意的给定正数。
的相应性,随 变化,但并不唯一,重要在于证明其存在性。
N N
N
等价定义,任给,若在 之外数列中至多有有限个，则称数列 收敛于极限 。
}{ na
}{ na
);(?aU
例 5 证明 和 都为发散数列。
例 6 设,作数列 如下：
证明 。
例 7 设 为给定的数列,为对 增加、减少或改变有限项之后得到的数列，则数列 和 同时收敛或发散，收敛时有相同的极限。
}{2n })1{( n?
ayx nnnn li mli m }{nz
,.,,,,.,,,,,,:}{ 2211 nnn yxyxyxz
aznnlim
}{ na }{ na
}{ na
}{nb
}{nb
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“割之弥细，
所失弥少，
割之又割，
以至于不可割，
则与圆周合体而无所失矣”
1、割圆术：
——刘徽一、概念的引入
R
正六边形的面积 1A
正十二边形的面积 2A
正 形的面积 126 n nA
,,,,,321 nAAAA S
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211?X第一天截下的杖长为;2 121 22X为第二天截下的杖长总和
;2 12 121 2 nnXn天截下的杖长总和为第
nnX 2
11 1
二、数列的定义定义,按自然数?,3,2,1
编号依次排列的一列数
,,,,
21 n
xxx (1 )
称为 无穷数列,简称 数列,
其中的每个数称为数列的 项,
n
x 称为 通项 ( 一般项 ),数列 (1 ) 记为 }{
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例如;,2,,8,4,2 n;,21,,81,41,21 n
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注意,1.数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点在数轴上依次取,,,,,21 nxxx
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2.数列是整标函数 ).( nfx n?;,)1(,,1,1,1 1 n})1{( 1 n;,)1(,,34,21,2
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.})1(1{
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三、数列的极限问题,当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?
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.1)1(1,
1
无限接近于无限增大时当 nxn
n
n
问题,,无限接近,意味着什么?如何用数学语言刻划它,
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1给定,
定义 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),总存在正数 N,使得对于 Nn? 时的一切
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都成立,那末就称常数 a 是数列 nx 的极限,或者称数列 nx
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,记为
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如果数列没有极限,就说数列是发散的,
注意,;.1 的无限接近与刻划了不等式 axax nn
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.2,,0,0 axNnN n恒有时使
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.0 axx nn 满足不等式，都有无穷多项对
.0 axx nn 满足不等式，都只有有限项对例 1
.01l i m?
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即例 3,1,0lim
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则记 naa
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的任意性,刻画了数列在趋于无穷时与某一常数之间的接近程度；可以限定其小于任意的给定正数。
的相应性,随 变化,但并不唯一,重要在于证明其存在性。
N N
N
等价定义,任给,若在 之外数列中至多有有限个，则称数列 收敛于极限 。
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例 5 证明 和 都为发散数列。
例 6 设,作数列 如下：
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例 7 设 为给定的数列,为对 增加、减少或改变有限项之后得到的数列，则数列 和 同时收敛或发散，收敛时有相同的极限。
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