1
- M
y
M
x
o
y= f(x )
X
有界函数有界函数
§ 4 具有某些特性的函数
1,有界函数 若函数 )( xf 在定义域 D 上既有上界又有下界，则称 f 为 D 上的 有 界函数。这个定义显然等价于，对一切 Dx?,恒有 Kxf?|)(|
有界函数的几何意义
M
2
M
- M
x
o
X
0
x
y
无界函数无界函数请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义。
例 ),0(,s i n)( xxxxf 是无界函数。 证 明 对 任意的
0?M,存在 Mnn
2
2:
,取
2
2
nx
m
,则
3
)( xfy?
)(
1
xf
)(
2
xf
x
y
o
I
Mnxf
m

2
2)(
2,单调 函数看下面函数的图像，给出单调函数的定义
)( xfy?
)(
1
xf
)(
2
xf
x
y
o
I
4
o
- 2- 4
2 4
- 2
2
4
- 4
奇函数与偶函数
（ 1 ）定义域关于原点对称
（ 2 ）奇函数（偶函数）对任何 Dx? 有 )()( xfxf,
（ )()( xfxf ）
5
奇函数
)( xf?
y
x
)( xf
o
x
- x
)( xfy?
奇函数两条缺一不可。
c l f,x = - 2,1 / 2 0,2 ; y 1 = x,^ 3 ; y 2 = x,^ 2 - 1;
s u b p l o t ( 1,2,1 )
p l o t ( x,y 1,' r ',' l i n e w i d t h ',2 ),h o l d o n
两条件缺一不可。
12
10
8
6
4
2
-5 5 10
x
y
o
x- x
偶函数
( ) ( )f x f x
()y f x?
偶函数偶函数
6
奇、偶函数的运算性质请看下面几个图象，回答奇偶函数的运算性质
c l f,x = - 1,2 * p i,1 / 2 0,1,2 * p i ; 1?、奇 奇= 偶？?2,奇 偶 奇？
3,偶 偶 偶？?4,奇 奇 奇？
5,偶 偶 偶？ 6、偶 奇 奇 或是 偶？
思考题：
1,奇、偶函数的定义域是否都是关于原点对称的区间？
2,若数集A 关于原点对称，则在A 上有定义的函数f ( x ) 是否一定可表为奇、偶函数之和？
7
o
-2-4
2 4
-2
1
周期函数例如常见的三角函数
1) 通常我们所说的周期总是指函数的最小周期
2) 有的周期函数不一定有最小周期,例如常函数是周期函数,
狄里克雷 函数，它们显然没有最小周期
8
思考题：
两周期函数之和是否为周期函数？
（可考察 f (x )= si nx 与 g (x )= si n 2 x 之和的情况。
再用反正法证明 f (x )+ g( x) 不是周期函数,）