1
§ 2 数集 ·确界原理教学内容：
区间与邻域；有界集与确界原理重点：区间与邻域的概念，确界定义与确界原理要求：正确理解数集上下确界与数集上下界的定义。
R本节先定义 中两类重要的数集——区间与邻域，然后讨论有界集并给出确界定义与确界原理。
a b
a b
§ 2 数集,确界 原理一 区 间 与 邻 域,
区间,
),( ba记作
}{ bxax ],[ ba记作称 为开 区 间,
称 为 闭 区 间,
}{ bxax
2
a b
a b
§ 2 数集,确界 原理一 区 间 与 邻 域,
区间,
),( ba记作
}{ bxax ],[ ba记作称 为开 区 间,
称 为 闭 区 间,
}{ bxax
a b
a b
§ 2 数集,确界 原理一 区 间 与 邻 域,
区间,
),( ba记作
}{ bxax ],[ ba记作称 为开 区 间,
称 为 闭 区 间,
}{ bxax
§ 数集 确界 原理一 区 间 与 邻 域区间,
记作记作称 为开 区 间称 为 闭 区 间
a b
}{ bxax 称为半开区间,),[ ba记作
3
a b
ao
}{ bxax ],( ba记作称为半开区间,
}{),[ xaxa无限区 间
4
x
ao
o xb
}{),[ xaxa
}{),( bxxb
),(
x
5
（见下页示图）
6
x
aaa
7
二 有界数集,确 界原理,
1,有界数集,
定 义 ( 上、下有界,有界 ) 设 S 为实数 R 上的一个数集，若存在一个数 M （ L ）,
使得对一切 Sx? 都有 )( LxMx,则称 S 为有上界 ( 下界 ) 的数集。
若集合 S 既有上界又有下界，则称 S 为有界集。
例如,闭 区 间,(,) (,a b a b 为 有限数）,邻 域等都是有界数集,集合
),(,s i n xxyyE 也是有界数集,
无界数集,若 对 任意 0M?,存在,| |x S x M,则 称 S 为 无界集。
例如,),0 (,) 0,(,),(,有理数集 等都是无界数集,
例 1 证 明 集合
) 1,0 (,
1
x
x
yyE 是无界数集,
8
证 明,对 任意 0M?,存在
11
( 0,1 ),,1
1
x y E y M M
Mx
由无界集定 义,E 为 无界集。
确界,先给 出 确界的 直 观 定 义,若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上 确界,记作 Ss u p ；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界,记作 Si n f 。
M
M2M1
上确界 上界
m2
m
m1
下确界下界
9
确界的精确定义定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数? 满足一下两条,
（ 1 ） 对一切 Sx? 有x,即? 是数集 S 的上界；
（ 2 ） 对 任意 0,存在 Sx?
0
使得
0
x （即? 是 S 的最小上界）,
则称数? 为数集 S 的上确界。记作 Ss u p
定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数? 满足一下两条,
1 ） 对一切 Sx? 有x,即? 是数集 S 的下界；
2 ） 对 任意 0,存在 Sx?
0
使得
0
x （即? 是 S 的最大下界）,
则称数? 为数集 S 的下确界。记作 Si n f
0
x
0
x
S
设 是
（ ） 有
（ ） 对,是,
设 是
） 有
） 对,是,
10
确界的精确定义定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数? 满足一下两条,
（ 1 ） 对一切 Sx? 有x,即? 是数集 S 的上界；
（ 2 ） 对 任意 0,存在 Sx?0 使得0x （即? 是 S 的最小上界）,
则称数? 为数集 S 的上确界。记作 Ss u p
定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数? 满足一下两条,
1 ） 对一切 Sx? 有x,即? 是数集 S 的下界；
2 ） 对 任意 0,存在 Sx?0 使得0x （即? 是 S 的最大下界）,
则称数? 为数集 S 的下确界。记作 Si n f
0x
0x
S
设 是
（ ） 有
（ ） 对,是,
设 是
） 有
） 对,是,
例 1 （ 1 ）,
) 1(
1
n
S
n
则,_______i n f ______,s u p SS
（ 2 ）,),0(,s i n xxyyE 则
._________i n f ________,s u p EE
定理 1,1 ( 确 界原理 ),设 S 为 非空数集，若 S 有上界,则 S 必有上 确 界；
若 S 有下界,则 S 必有下 确 界。
证 明 ( 建教材 p7)
例 2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的,
例 3 设 S 和 A 是非空数集，且有,AS? 则 有
.i n fi n f,s u ps u p ASAS,
例 4 设 A 和 B 是非空数集,若 对 Ax 和,By 都有,yx? 则 有
.i n fs u p BA?
证 Ax 和,By 都有,yx? y? 是 A 的上界,而 As u p 是 A 的最小上界,s u p yA 此式又 As u p? 是 B 的下界, As u p Bi n f （ B 的最大下界）
例 （ ） 则
（ ） 则确 设 为 则 确若 则 确证 明例例 设 和 则 有例 设 和 若 对 和 则 有证 和 是 而 是是 （
确
11
例 1 （ 1 ）,
) 1(
1
n
S
n
则,_______i n f ______,s u p SS
（ 2 ）,),0(,s i n xxyyE 则
._________i n f ________,s u p EE
定理 1,1 ( 确 界原理 ),设 S 为 非空数集，若 S 有上界,则 S 必有上 确 界；
若 S 有下界,则 S 必有下 确 界。
证 明 ( 建教材 p7)
例 2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的,
例 3 设 S 和 A 是非空数集，且有,AS? 则 有
.in fin f,s u ps u p ASAS,
例 4 设 A 和 B 是非空数集,若 对 Ax 和,By 都有,yx? 则 有
.in fs u p BA?
证 Ax 和,By 都有,yx? y? 是 A 的上界,而 As u p 是 A 的最小上界,s u p yA 此式又 As u p? 是 B 的下界, As u p Bin f （ B 的最大下界）
例 （ ） 则
（ ） 则确 设 为 则 确若 则 确证 明例例 设 和 则 有例 设 和 若 对 和 则 有证 和 是 而 是是 （
例 5 A 和 B 为 非空数集,.BAS 试证 明,
,i n f,i n f m i ni n f BAS?
证,Sx 有 Ax? 或,Bx? 由 Ai n f 和 Bi n f 分 别 是 A 和 B 的下界,有
Ax i n f? 或,i n f,i n f m i n,i n f BAxBx
即 i n f,i n f m i n BA 是数集 S 的下界,,i n f,i n f m i ni n f BAS
又 SAS, 的下界就是 A 的下界,Si n f 是 S 的下界,Si n f? 是 A 的下界,;i n fi n f AS 同理有,i n fi n f BS? 于是有
i n f,i n f m i ni n f BAS?,
综 上,有 i n f,i n f m i ni n f BAS?,
1,数集与 确 界的 关 系,确 界不一定属于原集合,
2,确 界与最 值 的 关 系,设 E 为 数集,
E 的最 值 必属于 E,但 确 界未必,确 界是一 种临 界点,
非空有界数集必有 确 界 ( 见 下面的 确 界原理 ),但未必有最 值,
若 Em a x 存在,必有,s u pm a x EE?,对 下 确 界有 类 似的 结论,
12
例 5 A 和 B 为 非空数集,.BAS 试证 明,
,i n f,i n f m i ni n f BAS?
证,Sx 有 Ax? 或,Bx? 由 Ai n f 和 Bi n f 分 别 是 A 和 B 的下界,有
Ax i n f? 或,i n f,i n f m i n,i n f BAxBx
即 i n f,i n f m i n BA 是数集 S 的下界,,i n f,i n f m i ni n f BAS
又 SAS, 的下界就是 A 的下界,Si n f 是 S 的下界,Si n f? 是 A 的下界,;i n fi n f AS 同理有,i n fi n f BS? 于是有
i n f,i n f m i ni n f BAS?,
综 上,有 i n f,i n f m i ni n f BAS?,
1,数集与 确 界的 关 系,确 界不一定属于原集合,
2,确 界与最 值 的 关 系,设 E 为 数集,
E 的最 值 必属于 E,但 确 界未必,确 界是一 种临 界点,
非空有界数集必有 确 界 ( 见 下面的 确 界原理 ),但未必有最 值,
若 Em ax 存在,必有,s u pm ax EE?,对 下 确 界有 类 似的 结论,
上例 和 为 明证 有 或 由 和 分 别 是 和 有或即又 是 是综 上 有确 关 系 确确 值 的 关 系 设 为值 但 确 确确 界 见 确 值若,对 下 确 类上小结：
1,若数集E 存在上（下）确界，则上（下）确界是一个唯一确定的实数。
例 5 A 和 B 为 非空数集,.BAS 试证 明,
,i n f,i n f m i ni n f BAS?
证,Sx 有 Ax? 或,Bx? 由 Ai n f 和 Bi n f 分 别 是 A 和 B 的下界,有
Ax i n f? 或,i n f,i n f m i n,i n f BAxBx
即 i n f,i n f m i n BA 是数集 S 的下界,,i n f,i n f m i ni n f BAS
又 SAS, 的下界就是 A 的下界,Si n f 是 S 的下界,Si n f? 是 A 的下界,;i n fi n f AS 同理有,i n fi n f BS? 于是有
i n f,i n f m i ni n f BAS?,
综 上,有 i n f,i n f m i ni n f BAS?,
1,数集与 确 界的 关 系,确 界不一定属于原集合,
2,确 界与最 值 的 关 系,设 E 为 数集,
E 的最 值 必属于 E,但 确 界未必,确 界是一 种临 界点,
非空有界数集必有 确 界 ( 见 下面的 确 界原理 ),但未必有最 值,
若 Em a x 存在,必有,s u pm a x EE?,对 下 确 界有 类 似的 结论,
2、
3、
上
13
1
2
思考题：
、任何有限数集是否一定都存在上、下确界？
若都存在，它们分别是数集中的什么数？
、任何无限数集是否一定存在上、下确界？
3,若数集有界，则其上下界分别有多少个？
它的上下确界分别有多少个？
4,空集 有界吗？有确界吗？
§ 2 数集 ·确界原理教学内容：
区间与邻域；有界集与确界原理重点：区间与邻域的概念，确界定义与确界原理要求：正确理解数集上下确界与数集上下界的定义。
R本节先定义 中两类重要的数集——区间与邻域，然后讨论有界集并给出确界定义与确界原理。
a b
a b
§ 2 数集,确界 原理一 区 间 与 邻 域,
区间,
),( ba记作
}{ bxax ],[ ba记作称 为开 区 间,
称 为 闭 区 间,
}{ bxax
2
a b
a b
§ 2 数集,确界 原理一 区 间 与 邻 域,
区间,
),( ba记作
}{ bxax ],[ ba记作称 为开 区 间,
称 为 闭 区 间,
}{ bxax
a b
a b
§ 2 数集,确界 原理一 区 间 与 邻 域,
区间,
),( ba记作
}{ bxax ],[ ba记作称 为开 区 间,
称 为 闭 区 间,
}{ bxax
§ 数集 确界 原理一 区 间 与 邻 域区间,
记作记作称 为开 区 间称 为 闭 区 间
a b
}{ bxax 称为半开区间,),[ ba记作
3
a b
ao
}{ bxax ],( ba记作称为半开区间,
}{),[ xaxa无限区 间
4
x
ao
o xb
}{),[ xaxa
}{),( bxxb
),(
x
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（见下页示图）
6
x
aaa
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二 有界数集,确 界原理,
1,有界数集,
定 义 ( 上、下有界,有界 ) 设 S 为实数 R 上的一个数集，若存在一个数 M （ L ）,
使得对一切 Sx? 都有 )( LxMx,则称 S 为有上界 ( 下界 ) 的数集。
若集合 S 既有上界又有下界，则称 S 为有界集。
例如,闭 区 间,(,) (,a b a b 为 有限数）,邻 域等都是有界数集,集合
),(,s i n xxyyE 也是有界数集,
无界数集,若 对 任意 0M?,存在,| |x S x M,则 称 S 为 无界集。
例如,),0 (,) 0,(,),(,有理数集 等都是无界数集,
例 1 证 明 集合
) 1,0 (,
1
x
x
yyE 是无界数集,
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证 明,对 任意 0M?,存在
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( 0,1 ),,1
1
x y E y M M
Mx
由无界集定 义,E 为 无界集。
确界,先给 出 确界的 直 观 定 义,若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上 确界,记作 Ss u p ；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界,记作 Si n f 。
M
M2M1
上确界 上界
m2
m
m1
下确界下界
9
确界的精确定义定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数? 满足一下两条,
（ 1 ） 对一切 Sx? 有x,即? 是数集 S 的上界；
（ 2 ） 对 任意 0,存在 Sx?
0
使得
0
x （即? 是 S 的最小上界）,
则称数? 为数集 S 的上确界。记作 Ss u p
定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数? 满足一下两条,
1 ） 对一切 Sx? 有x,即? 是数集 S 的下界；
2 ） 对 任意 0,存在 Sx?
0
使得
0
x （即? 是 S 的最大下界）,
则称数? 为数集 S 的下确界。记作 Si n f
0
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0
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S
设 是
（ ） 有
（ ） 对,是,
设 是
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确界的精确定义定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数? 满足一下两条,
（ 1 ） 对一切 Sx? 有x,即? 是数集 S 的上界；
（ 2 ） 对 任意 0,存在 Sx?0 使得0x （即? 是 S 的最小上界）,
则称数? 为数集 S 的上确界。记作 Ss u p
定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数? 满足一下两条,
1 ） 对一切 Sx? 有x,即? 是数集 S 的下界；
2 ） 对 任意 0,存在 Sx?0 使得0x （即? 是 S 的最大下界）,
则称数? 为数集 S 的下确界。记作 Si n f
0x
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S
设 是
（ ） 有
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例 1 （ 1 ）,
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则,_______i n f ______,s u p SS
（ 2 ）,),0(,s i n xxyyE 则
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定理 1,1 ( 确 界原理 ),设 S 为 非空数集，若 S 有上界,则 S 必有上 确 界；
若 S 有下界,则 S 必有下 确 界。
证 明 ( 建教材 p7)
例 2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的,
例 3 设 S 和 A 是非空数集，且有,AS? 则 有
.i n fi n f,s u ps u p ASAS,
例 4 设 A 和 B 是非空数集,若 对 Ax 和,By 都有,yx? 则 有
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证 Ax 和,By 都有,yx? y? 是 A 的上界,而 As u p 是 A 的最小上界,s u p yA 此式又 As u p? 是 B 的下界, As u p Bi n f （ B 的最大下界）
例 （ ） 则
（ ） 则确 设 为 则 确若 则 确证 明例例 设 和 则 有例 设 和 若 对 和 则 有证 和 是 而 是是 （
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例 1 （ 1 ）,
) 1(
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S
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定理 1,1 ( 确 界原理 ),设 S 为 非空数集，若 S 有上界,则 S 必有上 确 界；
若 S 有下界,则 S 必有下 确 界。
证 明 ( 建教材 p7)
例 2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的,
例 3 设 S 和 A 是非空数集，且有,AS? 则 有
.in fin f,s u ps u p ASAS,
例 4 设 A 和 B 是非空数集,若 对 Ax 和,By 都有,yx? 则 有
.in fs u p BA?
证 Ax 和,By 都有,yx? y? 是 A 的上界,而 As u p 是 A 的最小上界,s u p yA 此式又 As u p? 是 B 的下界, As u p Bin f （ B 的最大下界）
例 （ ） 则
（ ） 则确 设 为 则 确若 则 确证 明例例 设 和 则 有例 设 和 若 对 和 则 有证 和 是 而 是是 （
例 5 A 和 B 为 非空数集,.BAS 试证 明,
,i n f,i n f m i ni n f BAS?
证,Sx 有 Ax? 或,Bx? 由 Ai n f 和 Bi n f 分 别 是 A 和 B 的下界,有
Ax i n f? 或,i n f,i n f m i n,i n f BAxBx
即 i n f,i n f m i n BA 是数集 S 的下界,,i n f,i n f m i ni n f BAS
又 SAS, 的下界就是 A 的下界,Si n f 是 S 的下界,Si n f? 是 A 的下界,;i n fi n f AS 同理有,i n fi n f BS? 于是有
i n f,i n f m i ni n f BAS?,
综 上,有 i n f,i n f m i ni n f BAS?,
1,数集与 确 界的 关 系,确 界不一定属于原集合,
2,确 界与最 值 的 关 系,设 E 为 数集,
E 的最 值 必属于 E,但 确 界未必,确 界是一 种临 界点,
非空有界数集必有 确 界 ( 见 下面的 确 界原理 ),但未必有最 值,
若 Em a x 存在,必有,s u pm a x EE?,对 下 确 界有 类 似的 结论,
12
例 5 A 和 B 为 非空数集,.BAS 试证 明,
,i n f,i n f m i ni n f BAS?
证,Sx 有 Ax? 或,Bx? 由 Ai n f 和 Bi n f 分 别 是 A 和 B 的下界,有
Ax i n f? 或,i n f,i n f m i n,i n f BAxBx
即 i n f,i n f m i n BA 是数集 S 的下界,,i n f,i n f m i ni n f BAS
又 SAS, 的下界就是 A 的下界,Si n f 是 S 的下界,Si n f? 是 A 的下界,;i n fi n f AS 同理有,i n fi n f BS? 于是有
i n f,i n f m i ni n f BAS?,
综 上,有 i n f,i n f m i ni n f BAS?,
1,数集与 确 界的 关 系,确 界不一定属于原集合,
2,确 界与最 值 的 关 系,设 E 为 数集,
E 的最 值 必属于 E,但 确 界未必,确 界是一 种临 界点,
非空有界数集必有 确 界 ( 见 下面的 确 界原理 ),但未必有最 值,
若 Em ax 存在,必有,s u pm ax EE?,对 下 确 界有 类 似的 结论,
上例 和 为 明证 有 或 由 和 分 别 是 和 有或即又 是 是综 上 有确 关 系 确确 值 的 关 系 设 为值 但 确 确确 界 见 确 值若,对 下 确 类上小结：
1,若数集E 存在上（下）确界，则上（下）确界是一个唯一确定的实数。
例 5 A 和 B 为 非空数集,.BAS 试证 明,
,i n f,i n f m i ni n f BAS?
证,Sx 有 Ax? 或,Bx? 由 Ai n f 和 Bi n f 分 别 是 A 和 B 的下界,有
Ax i n f? 或,i n f,i n f m i n,i n f BAxBx
即 i n f,i n f m i n BA 是数集 S 的下界,,i n f,i n f m i ni n f BAS
又 SAS, 的下界就是 A 的下界,Si n f 是 S 的下界,Si n f? 是 A 的下界,;i n fi n f AS 同理有,i n fi n f BS? 于是有
i n f,i n f m i ni n f BAS?,
综 上,有 i n f,i n f m i ni n f BAS?,
1,数集与 确 界的 关 系,确 界不一定属于原集合,
2,确 界与最 值 的 关 系,设 E 为 数集,
E 的最 值 必属于 E,但 确 界未必,确 界是一 种临 界点,
非空有界数集必有 确 界 ( 见 下面的 确 界原理 ),但未必有最 值,
若 Em a x 存在,必有,s u pm a x EE?,对 下 确 界有 类 似的 结论,
2、
3、
上
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1
2
思考题：
、任何有限数集是否一定都存在上、下确界？
若都存在，它们分别是数集中的什么数？
、任何无限数集是否一定存在上、下确界？
3,若数集有界，则其上下界分别有多少个？
它的上下确界分别有多少个？
4,空集 有界吗？有确界吗？
