第一节 函数极限概念冯永平
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.xx xsin 时的变化趋势当观察函数
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
x xy s i n?
问题,函数 )( xfy? 在x 的 过程中,对应函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf
.xXx 的过程表示
.0s i n)(,无限接近于无限增大时当 x xxfx?
通过上面的观察,
问题,如何用数学语言刻划函数,无限接近,,
:.1 定义定义"" X
.Axf,Xx,X, )(00 恒有时使当
Axflimx )(
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小 ),
总存在着正数,使得对于适合不等式 的一切,所对应的函数值 都满足不等式,
那末常数 就叫函数 当 时的极限,
记作
X Xx?
x
)(xf
Axf )(
A
)(xf
x
)()()( xAxfAxflimx 当或
:x,情形02
.Axf,X|x|,X, )(00 恒有时使当
:x,情形01 Axfx )(l i m
.A)x(f,Xx,X, 恒有时使当00
Axflimx )(
2.另两种情形,
Axfx )(l i m:定理,)(l i m)(l i AxfAxf xx 且
x
xy sin?
3.几何解释,

X? X
.2,
)(,
的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当


Ay
xfyXxXx
A
Axflimx )(
例 1,01l i m?
xx
证明证
xx
101,?
,0,1X取 时恒有则当 Xx?
,01
x
.01l i m?
xx
故例 2
.2a r c t a nl i m

x
x
证明证
,0
,2t a nX取 时恒有则当 Xx?
,)
2
(a r c t a nx
2
a r c t a n
2
|)
2
(a r c t a n|,0


x
x
左半部分成立，只考察右半部分 的范围，,则有：
2

2t a n2t a nx
.2a r c t a nl i m

x
x
故二、自变量趋向有限值时函数的极限问题,函数 )( xfy? 在 0xx? 的 过程中,对应函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf
x0x0x0x

,0 邻域的去心点?x,xx 程度接近体现 0?
.xxxx 的过程表示 00 0
:.1 定义定义""
.)(
,0,0,0 0


Axf
xx
恒有时使当定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小 ),
总存在正数,使得对于适合不等式的一切,对应的函数值 都满足不等式,
那末常数 就叫函数 当 时的极限,
记作
00 xx
x
)(xf
Axf )(
A
)(xf
0xx?
)()()(lim 0
0
xxAxfAxfxx 当或
2.几何解释,
)(xfy?
A
A
A
0x0x0x

x
y
o,2
,
)(,
0
的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当
Ay
xfy
xx
注意,;)(.1 0 是否有定义无关在点函数极限与 xxf
..2 有关与任意给定的正数
.,,就有无穷多个后找到一个显然?
证例 3,l i m 0
0
xxxx证明
,)( 0xxAxf,0任给,取
,0 0 时当 xx
0)( xxAxf,成立
.lim 0
0
xxxx
例 4,4
2
4l i m 2
2

x
x
x
证明证
4
2
4)( 2?

x
xAxf?,0任给
,只要取
,0 0 时当 xx
函数在点 x=2处没有定义,
2 x
,)( Axf要使
,424
2
xx就有
.211lim
2
1

x
x
x
例 5
.11l i m 202
0
xx
xx

证
2
0
2 11)( xxAxf
,0任给
,21
2
0 x取
,0 0 时当 xx
2
0
2
2
0
2
11 xx
xx


,)( Axf要使
,11 202 xx就有
,
1
2
1 20
0
2
0
00
x
xx
x
xxxx


.
2
1 20
0?
xxx只要
.11lim,0||,2020
0
xxx xx时当证明几点注释
1 定义中的 相当于数列极限中的,
它与 有关，但不是唯一确定。
2 定义中只考虑在 空心邻域内有定义的情形，一般不考虑函数在 有无定义。
3 以上的定义可以用邻域的形式简单给出。
N
0x
0x
3.单侧极限,
例如,
.1)(lim
0,1
0,1
)(
0
2


xf
xx
xx
xf
x
证明设两种情况分别讨论和分 00 xx
,0xx 从左侧无限趋近 ;00 xx记作
,0xx 从右侧无限趋近 ;00 xx记作
y
o x
1
xy 1
12 xy
左极限
.)(
,,0,0 00


Axf
xxx
恒有时使当右极限
.)(
,,0,0 00


Axf
xxx
恒有时使当
}0{}0{
}0{:
00
0


xxxxxx
xxx
注意
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx



或记作
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx



或记作
.)0()0()(lim,00
0
AxfxfAxfxx定理
.lim
0
不存在验证 xx
x?
y
x
1
1?
o
x
x
x
x
xx

00
limlim
左右极限存在但不相等,.)(lim 0 不存在xfx
例 6
证
1)1(lim 0x
x
x
x
x
xx 00
l i ml i m

11lim 0x
例 7
.4l i m 22 xx证明证 4)( 2 xAxf?
,0任给
,5取,0 0 时当 xx
4)( 2 xAxf有,成立 4lim 2
2 xx
,22 xx
,31 x限制,2522 xxx
4)( 2xAxf要使
,25x只需