第五章 导数和微分
§ 1 导数的概念
§ 2 求导法则
§ 3 参变量函数的导数
§ 4 高阶导数
§ 5 微分
1、给出了导数的物理模型 — 瞬时速度和几何模型 — 切线斜率。
2、给出了函数在一点的导数（可导）的定义和函数在一点的左、
右导数的定义，以及函数在区间上可导的定义；给出了可导与连续的关系。
3、给出了导数的几何意义 — 切线的斜率。
教学内容：
4、给出了应用导数的定义计算导数的例题。
教学重点,导数的定义和计算要求,
1、知道导数的构造性定义,理解导数在研究函数性态方面的作用,
2、知道导数和连续的关系,即可导必连续,连续不一定可导,
3、应用导数的定义计算函数在一点的导数,
§ 1 导数的概念问题的提出,
在中学里我们学习过，物体作匀速直线运动，其速度等于位移除以时间。而物体的运动往往不可能总是匀速的，
通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内的平均速度。平均速度不能反映物体的瞬时速度。如果我们已知物体的运动规律，如何计算它的瞬时速度?
两个例子,
1,瞬时速度
.0
).(
其在该时刻的速度为某一确定的时刻，求若其运动规律为设一质点作直线运动，
t
tss?
.]0,[],0[
0
)0()(
0
）上的平均速度（或是质点在时间段的时刻，则为邻近于设
tttt
tt
tsts
v
tt
则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为
t
svtv
tt?
000
limlim)(
t
tstts
t?
)()(l i m 00
0
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
2,切线的斜率的斜率为因为割线时的位置沿曲线无限接近与点当动点是割线处的切线在其上一点曲线
PQPQ
PQPTyxPxfy
.
)0,0()(?
x
Q
曲线 在其上一点 )0,0( yxP
,0 )0()( xx xfxfk
则极限的极限存在时如果所以当,0 kxx?
)(xfy?
0
)0()(lim
0 xx
xfxf
xx
k
即为曲线在点 P的切线的斜率,
O
P
T
y
一 导数的定义
x
y
x?
0lim)0(xf
).0(,
0,0,
xf
xfxf
记作处的导数在点并称该极限为函数处可导在点则称函数存在极限,的某 邻某邻域内有定义0 x在点 f ( x )设函数y?
0
)0()(l i m
0 xx
xfxf
xx?
定义 1:
即
0xx
)0f(xf ( x )
l im
)0f(x)0f(x
0
l im
0
xx
x
x
x
.处不可导0 x在点f式 极极限不存在，则 若 称
(1)
.处的切线方程 )1,1(点并求曲 线,处的导数 1在点x2)( 求函数 1例 在 xxf
解,由定义求得
2)2(
0
lim
22
0
lim
x
12x)(1
lim
f ( 1 ))f ( 1
0
lim)1(
0
x
xx
xx
x
xxx
x
x
f
处的切线斜率为)1,1( 在点2 由此知道抛物 线 xy?
2)( xfk
所以切线方程为
)1(21 xy 即,12 xy
.处不可导 00在点 )(证明函数 2例 xxxf
证 因为
0,1
,0,1
0
)0()(
x
x
x
x
x
fxf
.处不可导 0在点x 所以f,时极限不存在0x当注,
利用导数的定义可证,常量函数在任何点的导数为零,
即
.0C
)0(
0x-x
)0f(xf ( x )
x
lim
)0f(x)0f(x
0
lim
0x
lim
0
x
x
x
x
xx
y
定义 2:
限域若右 极,有定 义上 )0,0(的某 邻 0在点 )(设函数 xxxxfy
,)0(记作,的右 导0 在点 则称该极限为,存在 xfxf数类似地,可以定义 左导数
0x-x
)0f ( xf ( x )
x
l i m)0f ( x)0f ( x
0
l i m( x )/-f
0-
xx
x
x
左 ﹑ 右导数统称为单侧导数,
单侧导数与导数的关系,
A)0(xf)0(x-fA)0(xf
注,下列函数个别点的导数或左右导数应用导数的定义,
(1) 函数在个别点的函数值单独定义的,其余点的函数值用统一解析式定义的 (函数在个别点连续 ).
(2) 求分段函数在分段点的导数,
例
.
0)(
.0,
,0,c o s1
)(
导数与导数处的左右在讨论设?
xxf
xx
xx
xf
解 由于
,0,1
,0,c o s1)0()0(
x
x
x
x
x
fxf
因此
,0c o s1
0
l i m)0(
x x
x
f
11
0
l i m)0(?
x
f
.处不可导 0 在 所以,)0()0( 因 为 xfff
.为狄利克雷函数 )(其中,处可导 00仅在点)(2)( 证明函数 4例 xDxxDxxf
.处可导0 在点
)(所以,处不连续 00在点 )(由 归归结原理可,时00 当 证
xx
xfxxfx
得
.0)(
0
lim
0
)0()(
0
lim)0(
,)(,00
xxD
xx
fxf
x
f
xDx 因此得到为有界函数由于时当可导 → 连续 。 即可导是连续的充分条件。
可以证明：
连续是可导的必要条件。
二 导函数特别例 证明
(i) nnnxnx,1)( 为正整数,
(ii) xxxx s i n)( c o s,c o s)( s i n
(iii) ),0,1,0(l o g1)( lo g xaae
axxa,
1)(ln
xx
.上的可 导 为 则称 ),单侧导数仅考虑相应的,对区间端点(一点都可 导上 若函数在区 间函数导每
If
I
即或记作,,dxdyyf
.,)()(0lim)( Ixx xfxxfxxf
定义,
证 (i)和 (iii)的证明略,
(ii) 下面只证第一个等式,类似地可证第二个等式,由于
)
2
c o s (
2
2
s in)
2
c o s (
2
s in2s in)s in ( x
x
x
x
x
xxx
x
xxx
因此得到,函数上的),( 是co s 又由 连续x
xxx
xx
x
x
x c o s)
2
c o s (
0
lim
2
2
s in
0
lim)( s in
三 ﹑ 导数的几何意义
处切线方程为,0,0在点 所以曲 线
,处切线的斜率0,0 在点 等于曲 线)0(
yxxfy
yxxfyxf
000 xxxfyy
法线方程为,
)0()
0(
10 xx
xfyy
注,
.
))0(,0()(,
,0)(.
))0(,0()(,0)(
垂直的切线轴可能存在与在点即曲线是无穷大它的导数可能不可导在因为函数可能存在切线在点则曲线不可导在若函数
xxfxxfy
xxf
xfxxfyxxf
例
.法 线线方处的切线方程与 )0,0(在点 3求曲 线程
yxPxy?
解 由于
,203203 xxxxxy
,203)203203(0lim0 xxxxxxxf
方程为的切 线 在点 3曲 线,所以 Pxy?
)0(2030 xxxyy
方程为法 线的 在点 3曲 线 Pxy?
)0(2
03
13
0 xxxxy
.值点称极大值点﹑极小值点统,极值极大值﹑极小值统称为
,值点)小(为极大0 称点,值)小(取得 极 0在点 则称函数
) ),()0(()(0
有 )0(一切内 )0(的某 邻某0 在点 若函数极为大对
xxf
xfxfxfxf
xUxxUxf
定义 3
定理 (费马定理 )
0)0(
,0
.0,0
xf
fx
xxf
则必有的极值点为若点可导且在点的某邻域内有定义在点设函数注,极值点与稳定点的关系,
1,极值点不一定是稳定点,稳定点也不一定是极值点,
2,可导函数的极值点一定是稳定点,
达布 (Darboux)定理 (导函数的介值定理 )
kf
ba
bfafkbfafbaf
)(
),,(,
)(),(),()(,],[
使得则至少存在一点之间任一数为介于且上可导在若函数证,(略 )
§ 2 求导法则教学内容：
1,给出了函数的和、差、积、商的求导法则,
2,给出了反函数的求导法则,并得到了指数函数,反三角函数的求导公式,
3,给出了复合函数的求导法则,并得到了幂函数的求导公式,
教学重点,
熟练掌握复合函数的求导法则,
要求,
1,掌握求导法则,尤其是复合函数的求导法则,
2,能熟练应用求导法则及基本初等函数的求导公式计算初等函数的导数,
一 导数的四则运算和复合函数的链式法则
))(),((,.4
.
2
11
,
2
.3
);()(,)(.2;)(.1
为可导函数为常数
xuufy
dx
du
du
dy
dx
dy
v
v
v
vuvu
v
u
cuccuvuvuuv
vuvu
则有为可导函数已知,)(),( xvvxuu
问题的提出,
从上一节可以看到,应用导数的定义可以求函数的导数,
但通常比较繁琐,有没有更为简单、方便有效的方法求函数特别是初等函数的导数?
初等函数导数的计算方法,
1.利用求导的四则运算法则及复合函数的链式法则求导；
2.利用反函数求导法则求导；
3.对数求导法；
4.利用导数的定义求导；
例 ).1(),0(,12)( ffxxf 求设解 由于
,
12
)12(
122
112)(
x
xx
x
xxf
.21)1(,0)0( ff因此例 求下列函数的导函数,
.12t a n)()2();21ln ()()1( xxfxxxf
解
.
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
)
2
1ln ()1(
xx
x
xx
xx
xx
xx
二 反函数的导数基本求导法则,
.1
dy
dxdx
dy?
例,)(),1,0(ln)()1( xexeaaaxaxa 特别地其中
.2
1
1)( a r c c o s;
21
1)( a r c s i n)2(
x
x
x
x
.2
1
1)c o t(;
21
1)( a r c t a n)3(
x
xa r c
x
x
证
.ln
lo g)( lo g
1
)(
,),0(
,lo g,)1(
a
x
a
ea
y
ya
x
a
y
yaxRx
x
ay
故的反函数为对数函数由于
(2) (3)的证明略去,
三 对数求导法对数求导法的步骤,
1,两端取绝对值之后,再取自然对数,
2,等式两端分别对自变量求导,
( x ),yy,3,?左端即等式两端再乘以例,),4(
)4(5)2(
)4(2)5(
2
1
3
1
yx
xx
xx
y
求设先对函数取对数,得解
).4l n (
2
1
)2l n (5)4l n (
3
1
)5l n (2
)4(
5
)2(
)4(
2
)5(
lnln
2
1
3
1
xxxx
xx
xx
y
再对上式两边分别求对数,得
.)4(2 125)4(3 152 xxxxyy
整理后得到
.
)4(2
1
2
5
)4(3
1
5
2
)4(5)2(
)4(2)5(
2
1
3
1
xxxx
xx
xx
y
补充,分段函数的导数例 设
),1,0(
0,
s i n
0,
2
1
2
)( aa
x
x
x
x
a
x
a
a
xf
).(xf?求当解
2
s i nc o s
)(,0
ln
2
)(,0
x
xxx
xfx
x
aa
a
xfx
当
x
a
xa
a
xx
fxf
x
f
1212
0
lim
0
)0()(
0
lim)0(_
a
ax
xa
a
x
ln2
)1(2
0
l im?
x
x
x
xx
fxf
x
f
1s in
0
lim)0()(
0
lim)0(
02 1c o s
0
lim2s i n
0
lim
xx
xx
xx
x
)0()0( ff?
.0,
2
s i nc o s
,0,ln
2
)()0(
x
x
xxx
xxaa
axff 因此不存在，故
§ 3 参变量函数的导数教学内容：
本节给出了由参量方程所确定的参变量函数的求导法则,
教学重点,
参量方程的求导法则,
要求,
能熟练求出参变量函数的导数,
问题的提出,
前面两节我们学习了显函数的导数的求解方法,如何求由参量方程所确定的参变量函数的导数呢?
)(
)(
)(
.1
t
ty
tx
C 量方程一般的表达形式是参变平面曲线
)1()( )( ttdxdy则
)2(
t a n)()(
)(t a n)(
,)(.2
dx
dy
C 则给出由极坐标曲线例 试求由上半椭圆的参变量方程
ttby tax 0,s i n,c o s
所确定的函数 )( xyy? 的导数,
解 由公式 (1)求得
ta
b
ta
tb
dt
dx
dt
dy
dx
dy c o t
c o s
s in
例
.,2 为常量的夹角上所有点的切线与向径对数螺线证明e?
证 由公式 (2)有
2a r c t a n
,2
2
1)(
)(
t a n
2
2
于的切线与向径的夹角等即在对数螺线上任一点
e
e
§ 4 高阶导数教学内容：
1、给出了高阶导数的定义，并得到幂函数 y=xn、三角函数
y=sinx,y=cosx、指数函数 y=ex的 n阶导数公式。
2、给出了求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式。
3、给出了求由参量方程所确定的函数的二阶导数的计算公式。
教学重点：
各类函数高阶导数的计算。
要求：
熟练掌握各类函数高阶导数的计算及莱布尼茨公式的应用。
问题的提出：
速度是位移的导数，而加速度又是速度的导数，那么加速度与位移是什么关系呢？
一 高阶导数的概念
1,二阶导数的定义定义 1：若函数 的导函数 在点 可导，则称 在点的导数为 在点 的二阶导数，记作,即同时称 在点 为二阶可导。
2,n 阶导数,的 n-1阶导数的导数称为 的 n 阶导数。
3,高阶导数,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。
0x
f f?
f?f
0x
0x
0()fx
0
0
0
( ) ( )l i m ( ),
x
f x f x fx
xx
f 0x
ff
二 高阶导数的计算
1,n 个初等函数的高阶导数例 1 求幂函数 （ n 为正整数）的各阶导数。nyx?
解 由幂函数的求导公式得
1
2
( 1 ) ( 2 )
( ) ( 1 )
( 1 ) ( 2 )
,
( 1 ),
( ) ( 1 ) 2
( ) ( ( 1 ) 2 ) !,
n
n
nn
nn
nn
y n x
y n n x
y y n n x
y y n n x n
yy
，
=?= 0.
由此可见，对于正整数幂函数 xn，每求导一次，其幂次降低 1，
第 n 阶导数为一常数，大于 n 阶的导数都等于 0。
注,用类似的方法，可求得三角函数 y=sin x,y=cos x及指数函数的各阶导数。
()
()
()
( sin ) sin ( )
2
( c os ) c os( )
2
()
n
n
x n x
x x n
x x n
ee
2、利用莱布尼茨公式求两个函数乘积的高阶导数莱布尼茨公式：
)()0()()()1()1(1)0()()()( nkknknnnnn vuvucvucvuuv
n
k
kknk
n vuc
0
)()(
例 4：设,求 xey x c o s?,)5(y
解 令 由例 2和例 3有 xxvexu x c o s)(,)(
).2c o s ()(,)( )()( nxxvexu nxn
应用莱布尼茨公式（ n=5）得
)22c o s (10)2c o s (5c o s)5( xexexey xxx
)25c o s ()24c o s (5)23c o s (10 xexexe xxx
)c o s( s i n4 xxe x
3、分段函数的高阶导数例 5 研究函数 的高阶导数。
0,
,0,)(
2
2
xx
xxxf
解 当 时，
当 时，
当 时，由左右导数定义不难求得而当 时,不存在，整理后得当 时
0?x
0?x
);3(0)(,2)(,2)( )( kxfxfxxf k
).3(0)(,2)(,2)( )( kxfxfxxf k
0?x
,0)0()0()0( fff
2?n )0()( nf
,0,2
,0,0
,0,2
)(
xx
x
xx
xf
,0,2
,0
,0,2
)(
x
x
x
xf 不存在，
3?n
不存在。)0(),0(0)( )()( nn fxxf
4、由参量方程所确定的函数的高阶导数由参量方程 所确定的函数 的一阶、二阶导数分别为,
)(
)(
ty
tx
)( xyy?
)(
)(
t
t
dx
dy
（ 1）
32
2
)(
)()()()(
t
tttt
dx
yd
（ 2）
例 6 试求由摆线参量方程 所确定的函数的二阶导数。
)c os(
),s i n(
ttay
ttax
)( xyy?
解 由公式（ 1）得再由公式（ 2）得
.2c o tc o s1 s i n))s i n(( ))c o s1(( ttttta tadxdy
.
2
c s c
4
1
)c o s1(
2
c s c
2
1
))s i n((
)
2
( c o t
4
2
2
2 t
ata
t
tta
t
dx
yd
§ 5 微分教学内容：
1、给出了函数在一点得微分（可微）的概念，并证明了可导与可微是等价的。
2、微分运算法则以及一阶微分形式的不变性。
3、高阶微分的定义与计算，并说明高阶微分不具有形式的不变性。
4、微分在近似计算中的应用。
要求,
1、掌握微分概念，理解微分的分析和几何意义。
2、掌握微分与导数的异同以及它们之间的联系。
问题的提出：
恩格斯在,反社林论,中指出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。这里所说的“一定条件”指的是什么？换句话说，怎样的函数可用线性函数去逼近？
由两部分组成：
（ Ⅰ ） （阴影部分）
（ Ⅱ ） 它是关于 的高阶无穷小量
s?
xx02
,)( 2x? x?
例：设一边长为 x的正方形，它的面积 是 的函数。若边长由 增加了,相应地正方形面积地增量 2xs?
x
0x x?
202020 )(2)( xxxxxxs
x?因此，当给 一个微小增量 时，由此引起的正方形增量 可近似地用 的线性部分 来代替，且由此产生的误差是一个关于 的高阶无穷小量。
0x x?
s? x? xx?02
x?
一 微分的概念定义,设函数 定义在点 的某邻域 内。当给一个增量 时，相应地得到函数的增量为：
如果存在常数 A，使得 能表示成则称函数 在点 可微，并称（ 1）式中的第一项 为 在点 的微分，记作
)( xfy? 0x )(
0xU 0x
)(,00 xUxxx
).()( 00 xfxxfy
y?
f 0x
),( xxAy（ 1）
xA? f
0x
xAdy xx 0 或 xAxdf xx 0)(
注意,①函数的微分与增量之间仅相差一个关于 的高阶无穷小量。
②若函数 在点 可微，则在点 的小邻域内可用切线代替曲线。
x?
f 0x ))(,( 00 xfx
二 可导与可微的联系与区别
1、函数 在点 可导与可微是等价的，且
.)( 0 xxfdy
f 0x
))(( 00 xxxfdy2、函数 在点 的导数 与微分的区别。
① 是一个函数，而微分 是 的线性函数，
它的定义域是 R,它是无穷小，即
②从几何意义上说，导数 是曲线 在点 的切线斜率，而微分 是曲线 在点的切线方程在点 的纵坐标。
③导数通常用于关于函数性质理论的研究，而微分通常用于近似计算和微分运算。
)(xf 0x )( 0xf?
)( 0xf? ))(( 00 xxxfdy x
,0))((limlim 00
00
xxxfdy xxxx
)( 0xf? )( xfy? ))(,( 00 xfx
))(( 00 xxxfdy )( xfy?
))(,( 00 xfx x
三 微分的运算法则
1、微分运算法则
①
②
③
④
；)()()()( xdvxduxvxud
);()()()()()( xdvxuxduxvxvxud;
)(
)()()()(
)(
)(
2 xv
xdvxuxduxv
xv
xud
).(,)()())(( xgudxxgufxgfd 其中
2、一阶微分方程的不变性
),(,)( xguxgfy
则 duufdxxgxgfdy )()()(
3、函数微分的计算方法
（ 1） 利用微分运算法则例 1 求 的微分。
22 c o s xI n xxy解
)( c o s)()c o s( 2222 xdI n xxdxI n xxddy
)( c o s)()( 222 xdI n xdxxI n x d
dxxI n xx )s i n212( 2
（ 2） 利用函数的导数求微分，即 ).( xfdy
例 求 的微分。 xIny 2t a n?
解 因为所以
x
xx
xy 2
2
c o s
s i n22s e c
t a n
1
dxxxdy 3c o ss i n2?
（ 3）利用一阶微分形式的不变性例 2 求 的微分。
)s i n ( baxey
解 由一阶微分形式不变性，可得
))( s i n ()s i n ( baxdedy bax
)()c o s ()s i n ( baxdbaxe bax
dxbaxae bax )c o s ()s i n ( ＋
四 高阶微分
3,高阶微分,二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
.)( 22 dxxfyd
1,二阶微分,一阶微分的微分称为二阶微分。记作且有
yd2
（ 1）
2,n阶微分,n-1阶微分的微分称为 n阶微分，记作且有
ydn
.)()( nnn dxxfyd? （ 2）
例 3 设 分别依公式（ 1）、
（ 2）求
.)(,s i n)( 2ttxxxfy
.2yd
解 由 得依公式（ 1）得类似地，依公式（ 2）得
,s i n4c o s2,c o s2 2222 tttytty
.)s i n4c o s2( 22222 dttttyd
22222 c o ss i n)()( xdxxdxxdxfdxxfyd
22222 2c o s)2(s i n dttdttt
.)s i n4c o s2( 2222 dtttt
2s in ty?
五 微分在近似计算
1、函数的近似计算近似计算公式：
① 当 很小时，x? xxfdyy )( 0
例 5 设钟摆的周期是 1秒，在冬季摆长至多缩短 0.01cm，试问此钟每天至多快几秒？
解 由物理学知道，单摆周期 T与摆长 l的关系为,2
g
lT
其中 g是重力加速度。已知钟摆周期为 1秒，故此摆原长为
.)2( 20?gl?
当摆长最多缩短 0.01cm时，摆长的增量 它引起单摆周期的增量 （见下页）
,01.0 l
lgllgldldTT ll
2
0
21
0
).(0002,0)01.0(9802
2
秒
这就是说,加快约 0.0002秒,因此每天大约加快
).(28.170 0 0 2.0246060 秒
例 4 求 的近似值。33sin
),606s i n (33s i n解 由于 因此取,6,s i n)( 0
xxxf
,60x 由上述式子得到
602
3
2
1
606c o s6s i n33s i n
,545.0?
② 当 很小时,xxfxfxxf )()()(
000x?
注,利用该公式时，要找一邻近 的点,使得 和容易计算。
x )( 0xf0x
)( 0xf?
注,在原点附近常用的近似公式：
xx?s in xx?ta n
xxIn )1( xe x 1
2、误差估计绝对误差限公式：
xxfxxfy?)()( 00
（ 为误差限）
x?
相对误差限公式：
x
y
xf
xf
y?
)(
)(
0
0
0
例 6 设测得一球体的直径为 42cm，测量工具的精度为 0.05cm.
试求以此直径计算球体体积时所引起的误差。
解 由直径 d计算球体体积的函数式为 3
6
1 dV
取 求得,05.0,420 dd? ),(39.38792
6
1 33
00 cmdV
并由上述公式可求得体积的绝对误差限和相对误差限分别为
)(54.138
05.042
22
1
3
22
0
cm
d dv
00
057.33
6
1
2
1
03
0
2
0
0
ddv
dd
d
V
§ 1 导数的概念
§ 2 求导法则
§ 3 参变量函数的导数
§ 4 高阶导数
§ 5 微分
1、给出了导数的物理模型 — 瞬时速度和几何模型 — 切线斜率。
2、给出了函数在一点的导数（可导）的定义和函数在一点的左、
右导数的定义，以及函数在区间上可导的定义；给出了可导与连续的关系。
3、给出了导数的几何意义 — 切线的斜率。
教学内容：
4、给出了应用导数的定义计算导数的例题。
教学重点,导数的定义和计算要求,
1、知道导数的构造性定义,理解导数在研究函数性态方面的作用,
2、知道导数和连续的关系,即可导必连续,连续不一定可导,
3、应用导数的定义计算函数在一点的导数,
§ 1 导数的概念问题的提出,
在中学里我们学习过，物体作匀速直线运动，其速度等于位移除以时间。而物体的运动往往不可能总是匀速的，
通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内的平均速度。平均速度不能反映物体的瞬时速度。如果我们已知物体的运动规律，如何计算它的瞬时速度?
两个例子,
1,瞬时速度
.0
).(
其在该时刻的速度为某一确定的时刻，求若其运动规律为设一质点作直线运动，
t
tss?
.]0,[],0[
0
)0()(
0
）上的平均速度（或是质点在时间段的时刻，则为邻近于设
tttt
tt
tsts
v
tt
则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为
t
svtv
tt?
000
limlim)(
t
tstts
t?
)()(l i m 00
0
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
2,切线的斜率的斜率为因为割线时的位置沿曲线无限接近与点当动点是割线处的切线在其上一点曲线
PQPQ
PQPTyxPxfy
.
)0,0()(?
x
Q
曲线 在其上一点 )0,0( yxP
,0 )0()( xx xfxfk
则极限的极限存在时如果所以当,0 kxx?
)(xfy?
0
)0()(lim
0 xx
xfxf
xx
k
即为曲线在点 P的切线的斜率,
O
P
T
y
一 导数的定义
x
y
x?
0lim)0(xf
).0(,
0,0,
xf
xfxf
记作处的导数在点并称该极限为函数处可导在点则称函数存在极限,的某 邻某邻域内有定义0 x在点 f ( x )设函数y?
0
)0()(l i m
0 xx
xfxf
xx?
定义 1:
即
0xx
)0f(xf ( x )
l im
)0f(x)0f(x
0
l im
0
xx
x
x
x
.处不可导0 x在点f式 极极限不存在，则 若 称
(1)
.处的切线方程 )1,1(点并求曲 线,处的导数 1在点x2)( 求函数 1例 在 xxf
解,由定义求得
2)2(
0
lim
22
0
lim
x
12x)(1
lim
f ( 1 ))f ( 1
0
lim)1(
0
x
xx
xx
x
xxx
x
x
f
处的切线斜率为)1,1( 在点2 由此知道抛物 线 xy?
2)( xfk
所以切线方程为
)1(21 xy 即,12 xy
.处不可导 00在点 )(证明函数 2例 xxxf
证 因为
0,1
,0,1
0
)0()(
x
x
x
x
x
fxf
.处不可导 0在点x 所以f,时极限不存在0x当注,
利用导数的定义可证,常量函数在任何点的导数为零,
即
.0C
)0(
0x-x
)0f(xf ( x )
x
lim
)0f(x)0f(x
0
lim
0x
lim
0
x
x
x
x
xx
y
定义 2:
限域若右 极,有定 义上 )0,0(的某 邻 0在点 )(设函数 xxxxfy
,)0(记作,的右 导0 在点 则称该极限为,存在 xfxf数类似地,可以定义 左导数
0x-x
)0f ( xf ( x )
x
l i m)0f ( x)0f ( x
0
l i m( x )/-f
0-
xx
x
x
左 ﹑ 右导数统称为单侧导数,
单侧导数与导数的关系,
A)0(xf)0(x-fA)0(xf
注,下列函数个别点的导数或左右导数应用导数的定义,
(1) 函数在个别点的函数值单独定义的,其余点的函数值用统一解析式定义的 (函数在个别点连续 ).
(2) 求分段函数在分段点的导数,
例
.
0)(
.0,
,0,c o s1
)(
导数与导数处的左右在讨论设?
xxf
xx
xx
xf
解 由于
,0,1
,0,c o s1)0()0(
x
x
x
x
x
fxf
因此
,0c o s1
0
l i m)0(
x x
x
f
11
0
l i m)0(?
x
f
.处不可导 0 在 所以,)0()0( 因 为 xfff
.为狄利克雷函数 )(其中,处可导 00仅在点)(2)( 证明函数 4例 xDxxDxxf
.处可导0 在点
)(所以,处不连续 00在点 )(由 归归结原理可,时00 当 证
xx
xfxxfx
得
.0)(
0
lim
0
)0()(
0
lim)0(
,)(,00
xxD
xx
fxf
x
f
xDx 因此得到为有界函数由于时当可导 → 连续 。 即可导是连续的充分条件。
可以证明：
连续是可导的必要条件。
二 导函数特别例 证明
(i) nnnxnx,1)( 为正整数,
(ii) xxxx s i n)( c o s,c o s)( s i n
(iii) ),0,1,0(l o g1)( lo g xaae
axxa,
1)(ln
xx
.上的可 导 为 则称 ),单侧导数仅考虑相应的,对区间端点(一点都可 导上 若函数在区 间函数导每
If
I
即或记作,,dxdyyf
.,)()(0lim)( Ixx xfxxfxxf
定义,
证 (i)和 (iii)的证明略,
(ii) 下面只证第一个等式,类似地可证第二个等式,由于
)
2
c o s (
2
2
s in)
2
c o s (
2
s in2s in)s in ( x
x
x
x
x
xxx
x
xxx
因此得到,函数上的),( 是co s 又由 连续x
xxx
xx
x
x
x c o s)
2
c o s (
0
lim
2
2
s in
0
lim)( s in
三 ﹑ 导数的几何意义
处切线方程为,0,0在点 所以曲 线
,处切线的斜率0,0 在点 等于曲 线)0(
yxxfy
yxxfyxf
000 xxxfyy
法线方程为,
)0()
0(
10 xx
xfyy
注,
.
))0(,0()(,
,0)(.
))0(,0()(,0)(
垂直的切线轴可能存在与在点即曲线是无穷大它的导数可能不可导在因为函数可能存在切线在点则曲线不可导在若函数
xxfxxfy
xxf
xfxxfyxxf
例
.法 线线方处的切线方程与 )0,0(在点 3求曲 线程
yxPxy?
解 由于
,203203 xxxxxy
,203)203203(0lim0 xxxxxxxf
方程为的切 线 在点 3曲 线,所以 Pxy?
)0(2030 xxxyy
方程为法 线的 在点 3曲 线 Pxy?
)0(2
03
13
0 xxxxy
.值点称极大值点﹑极小值点统,极值极大值﹑极小值统称为
,值点)小(为极大0 称点,值)小(取得 极 0在点 则称函数
) ),()0(()(0
有 )0(一切内 )0(的某 邻某0 在点 若函数极为大对
xxf
xfxfxfxf
xUxxUxf
定义 3
定理 (费马定理 )
0)0(
,0
.0,0
xf
fx
xxf
则必有的极值点为若点可导且在点的某邻域内有定义在点设函数注,极值点与稳定点的关系,
1,极值点不一定是稳定点,稳定点也不一定是极值点,
2,可导函数的极值点一定是稳定点,
达布 (Darboux)定理 (导函数的介值定理 )
kf
ba
bfafkbfafbaf
)(
),,(,
)(),(),()(,],[
使得则至少存在一点之间任一数为介于且上可导在若函数证,(略 )
§ 2 求导法则教学内容：
1,给出了函数的和、差、积、商的求导法则,
2,给出了反函数的求导法则,并得到了指数函数,反三角函数的求导公式,
3,给出了复合函数的求导法则,并得到了幂函数的求导公式,
教学重点,
熟练掌握复合函数的求导法则,
要求,
1,掌握求导法则,尤其是复合函数的求导法则,
2,能熟练应用求导法则及基本初等函数的求导公式计算初等函数的导数,
一 导数的四则运算和复合函数的链式法则
))(),((,.4
.
2
11
,
2
.3
);()(,)(.2;)(.1
为可导函数为常数
xuufy
dx
du
du
dy
dx
dy
v
v
v
vuvu
v
u
cuccuvuvuuv
vuvu
则有为可导函数已知,)(),( xvvxuu
问题的提出,
从上一节可以看到,应用导数的定义可以求函数的导数,
但通常比较繁琐,有没有更为简单、方便有效的方法求函数特别是初等函数的导数?
初等函数导数的计算方法,
1.利用求导的四则运算法则及复合函数的链式法则求导；
2.利用反函数求导法则求导；
3.对数求导法；
4.利用导数的定义求导；
例 ).1(),0(,12)( ffxxf 求设解 由于
,
12
)12(
122
112)(
x
xx
x
xxf
.21)1(,0)0( ff因此例 求下列函数的导函数,
.12t a n)()2();21ln ()()1( xxfxxxf
解
.
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
)
2
1ln ()1(
xx
x
xx
xx
xx
xx
二 反函数的导数基本求导法则,
.1
dy
dxdx
dy?
例,)(),1,0(ln)()1( xexeaaaxaxa 特别地其中
.2
1
1)( a r c c o s;
21
1)( a r c s i n)2(
x
x
x
x
.2
1
1)c o t(;
21
1)( a r c t a n)3(
x
xa r c
x
x
证
.ln
lo g)( lo g
1
)(
,),0(
,lo g,)1(
a
x
a
ea
y
ya
x
a
y
yaxRx
x
ay
故的反函数为对数函数由于
(2) (3)的证明略去,
三 对数求导法对数求导法的步骤,
1,两端取绝对值之后,再取自然对数,
2,等式两端分别对自变量求导,
( x ),yy,3,?左端即等式两端再乘以例,),4(
)4(5)2(
)4(2)5(
2
1
3
1
yx
xx
xx
y
求设先对函数取对数,得解
).4l n (
2
1
)2l n (5)4l n (
3
1
)5l n (2
)4(
5
)2(
)4(
2
)5(
lnln
2
1
3
1
xxxx
xx
xx
y
再对上式两边分别求对数,得
.)4(2 125)4(3 152 xxxxyy
整理后得到
.
)4(2
1
2
5
)4(3
1
5
2
)4(5)2(
)4(2)5(
2
1
3
1
xxxx
xx
xx
y
补充,分段函数的导数例 设
),1,0(
0,
s i n
0,
2
1
2
)( aa
x
x
x
x
a
x
a
a
xf
).(xf?求当解
2
s i nc o s
)(,0
ln
2
)(,0
x
xxx
xfx
x
aa
a
xfx
当
x
a
xa
a
xx
fxf
x
f
1212
0
lim
0
)0()(
0
lim)0(_
a
ax
xa
a
x
ln2
)1(2
0
l im?
x
x
x
xx
fxf
x
f
1s in
0
lim)0()(
0
lim)0(
02 1c o s
0
lim2s i n
0
lim
xx
xx
xx
x
)0()0( ff?
.0,
2
s i nc o s
,0,ln
2
)()0(
x
x
xxx
xxaa
axff 因此不存在，故
§ 3 参变量函数的导数教学内容：
本节给出了由参量方程所确定的参变量函数的求导法则,
教学重点,
参量方程的求导法则,
要求,
能熟练求出参变量函数的导数,
问题的提出,
前面两节我们学习了显函数的导数的求解方法,如何求由参量方程所确定的参变量函数的导数呢?
)(
)(
)(
.1
t
ty
tx
C 量方程一般的表达形式是参变平面曲线
)1()( )( ttdxdy则
)2(
t a n)()(
)(t a n)(
,)(.2
dx
dy
C 则给出由极坐标曲线例 试求由上半椭圆的参变量方程
ttby tax 0,s i n,c o s
所确定的函数 )( xyy? 的导数,
解 由公式 (1)求得
ta
b
ta
tb
dt
dx
dt
dy
dx
dy c o t
c o s
s in
例
.,2 为常量的夹角上所有点的切线与向径对数螺线证明e?
证 由公式 (2)有
2a r c t a n
,2
2
1)(
)(
t a n
2
2
于的切线与向径的夹角等即在对数螺线上任一点
e
e
§ 4 高阶导数教学内容：
1、给出了高阶导数的定义，并得到幂函数 y=xn、三角函数
y=sinx,y=cosx、指数函数 y=ex的 n阶导数公式。
2、给出了求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式。
3、给出了求由参量方程所确定的函数的二阶导数的计算公式。
教学重点：
各类函数高阶导数的计算。
要求：
熟练掌握各类函数高阶导数的计算及莱布尼茨公式的应用。
问题的提出：
速度是位移的导数，而加速度又是速度的导数，那么加速度与位移是什么关系呢？
一 高阶导数的概念
1,二阶导数的定义定义 1：若函数 的导函数 在点 可导，则称 在点的导数为 在点 的二阶导数，记作,即同时称 在点 为二阶可导。
2,n 阶导数,的 n-1阶导数的导数称为 的 n 阶导数。
3,高阶导数,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。
0x
f f?
f?f
0x
0x
0()fx
0
0
0
( ) ( )l i m ( ),
x
f x f x fx
xx
f 0x
ff
二 高阶导数的计算
1,n 个初等函数的高阶导数例 1 求幂函数 （ n 为正整数）的各阶导数。nyx?
解 由幂函数的求导公式得
1
2
( 1 ) ( 2 )
( ) ( 1 )
( 1 ) ( 2 )
,
( 1 ),
( ) ( 1 ) 2
( ) ( ( 1 ) 2 ) !,
n
n
nn
nn
nn
y n x
y n n x
y y n n x
y y n n x n
yy
，
=?= 0.
由此可见，对于正整数幂函数 xn，每求导一次，其幂次降低 1，
第 n 阶导数为一常数，大于 n 阶的导数都等于 0。
注,用类似的方法，可求得三角函数 y=sin x,y=cos x及指数函数的各阶导数。
()
()
()
( sin ) sin ( )
2
( c os ) c os( )
2
()
n
n
x n x
x x n
x x n
ee
2、利用莱布尼茨公式求两个函数乘积的高阶导数莱布尼茨公式：
)()0()()()1()1(1)0()()()( nkknknnnnn vuvucvucvuuv
n
k
kknk
n vuc
0
)()(
例 4：设,求 xey x c o s?,)5(y
解 令 由例 2和例 3有 xxvexu x c o s)(,)(
).2c o s ()(,)( )()( nxxvexu nxn
应用莱布尼茨公式（ n=5）得
)22c o s (10)2c o s (5c o s)5( xexexey xxx
)25c o s ()24c o s (5)23c o s (10 xexexe xxx
)c o s( s i n4 xxe x
3、分段函数的高阶导数例 5 研究函数 的高阶导数。
0,
,0,)(
2
2
xx
xxxf
解 当 时，
当 时，
当 时，由左右导数定义不难求得而当 时,不存在，整理后得当 时
0?x
0?x
);3(0)(,2)(,2)( )( kxfxfxxf k
).3(0)(,2)(,2)( )( kxfxfxxf k
0?x
,0)0()0()0( fff
2?n )0()( nf
,0,2
,0,0
,0,2
)(
xx
x
xx
xf
,0,2
,0
,0,2
)(
x
x
x
xf 不存在，
3?n
不存在。)0(),0(0)( )()( nn fxxf
4、由参量方程所确定的函数的高阶导数由参量方程 所确定的函数 的一阶、二阶导数分别为,
)(
)(
ty
tx
)( xyy?
)(
)(
t
t
dx
dy
（ 1）
32
2
)(
)()()()(
t
tttt
dx
yd
（ 2）
例 6 试求由摆线参量方程 所确定的函数的二阶导数。
)c os(
),s i n(
ttay
ttax
)( xyy?
解 由公式（ 1）得再由公式（ 2）得
.2c o tc o s1 s i n))s i n(( ))c o s1(( ttttta tadxdy
.
2
c s c
4
1
)c o s1(
2
c s c
2
1
))s i n((
)
2
( c o t
4
2
2
2 t
ata
t
tta
t
dx
yd
§ 5 微分教学内容：
1、给出了函数在一点得微分（可微）的概念，并证明了可导与可微是等价的。
2、微分运算法则以及一阶微分形式的不变性。
3、高阶微分的定义与计算，并说明高阶微分不具有形式的不变性。
4、微分在近似计算中的应用。
要求,
1、掌握微分概念，理解微分的分析和几何意义。
2、掌握微分与导数的异同以及它们之间的联系。
问题的提出：
恩格斯在,反社林论,中指出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。这里所说的“一定条件”指的是什么？换句话说，怎样的函数可用线性函数去逼近？
由两部分组成：
（ Ⅰ ） （阴影部分）
（ Ⅱ ） 它是关于 的高阶无穷小量
s?
xx02
,)( 2x? x?
例：设一边长为 x的正方形，它的面积 是 的函数。若边长由 增加了,相应地正方形面积地增量 2xs?
x
0x x?
202020 )(2)( xxxxxxs
x?因此，当给 一个微小增量 时，由此引起的正方形增量 可近似地用 的线性部分 来代替，且由此产生的误差是一个关于 的高阶无穷小量。
0x x?
s? x? xx?02
x?
一 微分的概念定义,设函数 定义在点 的某邻域 内。当给一个增量 时，相应地得到函数的增量为：
如果存在常数 A，使得 能表示成则称函数 在点 可微，并称（ 1）式中的第一项 为 在点 的微分，记作
)( xfy? 0x )(
0xU 0x
)(,00 xUxxx
).()( 00 xfxxfy
y?
f 0x
),( xxAy（ 1）
xA? f
0x
xAdy xx 0 或 xAxdf xx 0)(
注意,①函数的微分与增量之间仅相差一个关于 的高阶无穷小量。
②若函数 在点 可微，则在点 的小邻域内可用切线代替曲线。
x?
f 0x ))(,( 00 xfx
二 可导与可微的联系与区别
1、函数 在点 可导与可微是等价的，且
.)( 0 xxfdy
f 0x
))(( 00 xxxfdy2、函数 在点 的导数 与微分的区别。
① 是一个函数，而微分 是 的线性函数，
它的定义域是 R,它是无穷小，即
②从几何意义上说，导数 是曲线 在点 的切线斜率，而微分 是曲线 在点的切线方程在点 的纵坐标。
③导数通常用于关于函数性质理论的研究，而微分通常用于近似计算和微分运算。
)(xf 0x )( 0xf?
)( 0xf? ))(( 00 xxxfdy x
,0))((limlim 00
00
xxxfdy xxxx
)( 0xf? )( xfy? ))(,( 00 xfx
))(( 00 xxxfdy )( xfy?
))(,( 00 xfx x
三 微分的运算法则
1、微分运算法则
①
②
③
④
；)()()()( xdvxduxvxud
);()()()()()( xdvxuxduxvxvxud;
)(
)()()()(
)(
)(
2 xv
xdvxuxduxv
xv
xud
).(,)()())(( xgudxxgufxgfd 其中
2、一阶微分方程的不变性
),(,)( xguxgfy
则 duufdxxgxgfdy )()()(
3、函数微分的计算方法
（ 1） 利用微分运算法则例 1 求 的微分。
22 c o s xI n xxy解
)( c o s)()c o s( 2222 xdI n xxdxI n xxddy
)( c o s)()( 222 xdI n xdxxI n x d
dxxI n xx )s i n212( 2
（ 2） 利用函数的导数求微分，即 ).( xfdy
例 求 的微分。 xIny 2t a n?
解 因为所以
x
xx
xy 2
2
c o s
s i n22s e c
t a n
1
dxxxdy 3c o ss i n2?
（ 3）利用一阶微分形式的不变性例 2 求 的微分。
)s i n ( baxey
解 由一阶微分形式不变性，可得
))( s i n ()s i n ( baxdedy bax
)()c o s ()s i n ( baxdbaxe bax
dxbaxae bax )c o s ()s i n ( ＋
四 高阶微分
3,高阶微分,二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
.)( 22 dxxfyd
1,二阶微分,一阶微分的微分称为二阶微分。记作且有
yd2
（ 1）
2,n阶微分,n-1阶微分的微分称为 n阶微分，记作且有
ydn
.)()( nnn dxxfyd? （ 2）
例 3 设 分别依公式（ 1）、
（ 2）求
.)(,s i n)( 2ttxxxfy
.2yd
解 由 得依公式（ 1）得类似地，依公式（ 2）得
,s i n4c o s2,c o s2 2222 tttytty
.)s i n4c o s2( 22222 dttttyd
22222 c o ss i n)()( xdxxdxxdxfdxxfyd
22222 2c o s)2(s i n dttdttt
.)s i n4c o s2( 2222 dtttt
2s in ty?
五 微分在近似计算
1、函数的近似计算近似计算公式：
① 当 很小时，x? xxfdyy )( 0
例 5 设钟摆的周期是 1秒，在冬季摆长至多缩短 0.01cm，试问此钟每天至多快几秒？
解 由物理学知道，单摆周期 T与摆长 l的关系为,2
g
lT
其中 g是重力加速度。已知钟摆周期为 1秒，故此摆原长为
.)2( 20?gl?
当摆长最多缩短 0.01cm时，摆长的增量 它引起单摆周期的增量 （见下页）
,01.0 l
lgllgldldTT ll
2
0
21
0
).(0002,0)01.0(9802
2
秒
这就是说,加快约 0.0002秒,因此每天大约加快
).(28.170 0 0 2.0246060 秒
例 4 求 的近似值。33sin
),606s i n (33s i n解 由于 因此取,6,s i n)( 0
xxxf
,60x 由上述式子得到
602
3
2
1
606c o s6s i n33s i n
,545.0?
② 当 很小时,xxfxfxxf )()()(
000x?
注,利用该公式时，要找一邻近 的点,使得 和容易计算。
x )( 0xf0x
)( 0xf?
注,在原点附近常用的近似公式：
xx?s in xx?ta n
xxIn )1( xe x 1
2、误差估计绝对误差限公式：
xxfxxfy?)()( 00
（ 为误差限）
x?
相对误差限公式：
x
y
xf
xf
y?
)(
)(
0
0
0
例 6 设测得一球体的直径为 42cm，测量工具的精度为 0.05cm.
试求以此直径计算球体体积时所引起的误差。
解 由直径 d计算球体体积的函数式为 3
6
1 dV
取 求得,05.0,420 dd? ),(39.38792
6
1 33
00 cmdV
并由上述公式可求得体积的绝对误差限和相对误差限分别为
)(54.138
05.042
22
1
3
22
0
cm
d dv
00
057.33
6
1
2
1
03
0
2
0
0
ddv
dd
d
V
