微分中值定理及其应用目的,
掌握理解几个中值定理的内容实质,熟练掌握罗比塔法则求各种不定式极限的方法,
会利用导数求极值,证明不等式,判别函数的单调性、凹凸性。
重点难点：
罗比塔法则运用，泰勒定理微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用
0x
在前一章,我们介绍了函数的导数以及微分的概念,求导数微分的运算法则,我们知道函数在一点 的导数反映的是函数在该点处关于自变量的变化率,几何上表现为在平面曲线上一点 处曲线的切线的斜率,
数学分析的研究对象是变量与变量之间相互变化的依赖关系 ---函数,
0x
)( xfy? ),( yx
这一章我们来讨论如何利用导数 的已知性质来推断函数 的性质,包括函数的单调性、
极值、凹凸性以及求不定式的极限等,在微分概念基础上建立的微分中值定理是我们进行这些讨论的有效工具,
'f
f
第一节 拉格朗日定理和函数的单调性问题 1,如果函数 在 处可微,则有函数改变量、自变量改变量以及函数导数之间的关系此时,要求 和 之间距离很小,是否可以将上述公式中的近似等式变成严格等式,而且取掉自变量改变量很小的限制？即将这里的局部性质变成整体性质，如果要能这样作，对函数需要什么要求？导数应是何初的值？
)( xfy?
0x
))(()()( 000 xxxfxfxf
0xx
问题 2,常量函数的导数处处为零,导数处处为零的函数一定是常数吗?
问题 3,函数 在点 可导,则有即在 附近,用一次多项式
)(xf 0x
)())((')()( 0000 xxoxxxfxfxf
0x
))((')( 000 xxxfxf
逼近函数 时,其逼近误差为的高阶无穷小量,那么,当 在 满足什么条件时,可以用一个 次多项式逼近它,
而且误差为 的高阶无穷小量?
)(xf )(
0xx?
)(xf
0x
n
nxx )( 0?
问题 4,对于函数求极限,如果其分子、分母的极限均为零或均为无穷大时，不能再利用除法公式进行计算。但我们知道导数存在时,导数定义中的求导正是处理分子分母极限均为零时的一种特殊商函数的极限,对于一般情形,求极限可否借助于导数来计算?