1
第八章 不 定 积 分
§ 1不定积分概念与基本积分公式教学内容：
1）不定积分的概念
2）不定积分与微分的关系
3）不定积分的基本积分公式
4）不定积分的线性性质重点：不定积分与微分的关系，基本积分公式要求：熟记基本积分公式和不定积分的线性性质
2
首先，我们简 要说明积分运算是如何产生的？
一般来说，在数学中，一种运算的出现都伴随着它的逆运算。
例如，有加就有减，有乘就有除，有乘方就有开方，等等。我们前面学过的微分运算也不例外，它也有逆运算 — 积分运算。我们已经知道，微分运算的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，那么我们很自然地会提出与之相反的问题是：求一个未知函数，使其导函数恰是某一已知函数。提出这样的逆问题，是因为它存在于许多实际的问题中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足的某一规律），求曲线方程等等。要解决这些实际问题，自然会想到微分运算的逆运算，这就是产生积分运算的原因。
为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算，我们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较：
3
我们熟悉乘方运算：
)1(82 3
也熟悉导数运算：
)'1(22xx
于是提出新问题：
)2(8? 3 )'2(2x
同样提出问题：
这不是乘方运算，而是它的逆运算 —
开方运算。
这不是求导运算，而是它的逆运算 —
积分运算。
一般来说，在下式里
)3(3ba )'3()()(xfxF
同样，在下式里
4
,3
,3
a b a
b
ba
ba
ba
ab
若 已知,未知，由则称（）式为乘方运算，称 为 的立方。
若 已知,未知，由则称（）式为开方运算，称 为 的立方根。
( ) ( ) ( )
( ),3 '
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ),
3 ' ( )
()
F x f x F x
fx
f x F x f x
F x f x F x
Fx
fx
若 已知,未知，由则称（）式为求导运算，
称 为 的导数。若 已知,未知，由 则称（）式为积分运算，称 为的原函数。
通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以下先给出原函数与不定积分的有关的定义。
一、原函数与不定积分
1 ( ) ( ),,f F I F x f x x I
F f I
定义 设函数 与 在区间 上都有定义，若则称 为 在区间 上的一个原函数。
5
3 2 3 2
3 2 3 2
11
,
33
11
(.
33
x x x x
x c c x x c x
例如,是 在,上的一个原函数，
是任意常数）也是 在,上的原函数，
3 c os 0.5 3 c os 3 si n
3 c os 0.5 3 c os 3 si n,
x x c x
x x c x
同样,与 都是 在,
的原函数，
21( ) l n ( 1 ) ( )
2
F x x a rc tg x x f x a rc tg x
如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推的话，那么是 的一个原函数，
就没那么明显了，这样给我们提出了问题：
6
1
2
8.1
( ) ( ),.
(
f
F
f I f I
F F x f x x I
、满足何种条件的函数才存在原函数？原函数有多少个？
这些原函数之间有何关系？
、若已知某个函数原函数存在，又如何把它求出来？
关于第一个问题，从例子里已看出，若 存在原函数
，则其原函数不止一个，我们有下面两个定理：
定理 若函数 在区间 上连续，则 在区间 上存在原函数,即：
本定理到第九章才能证明）
7
1
2 sg n( )
0
8,2
1
( 2)
( ),
x
x
F f I
F C f C
fI
f F x
思考题：
、初等函数在其定义区间里是否一定存在原函数？（初等函数的原函数不一定是初等函数）
、若函数存在间断点，它是否一定存在原函数？（可考虑函数：
在点 是否存在原函数）
定理 设 是 在区间 的原函数，则：
（）,也是 的原函数，其中 是任意常量函数（或称为任意常数）；
,在区间 上任意 两个原函数之间，只可能相差一个常数。
即是说，如果 存在原函数 则它有无限,
,( )
f
F x C?
多个原函数 且 的全体原函数可表为 。
8
.1c o s)(
)()()2
.1c o s)(
)()(1
)(2
),0()1,()(,
),0(,1
2
)1,(,
2
)(
,
2
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)(1
2
2
2
xxf
xFxf
xxf
xFTxf
RfxF
xxf
x
x
x
x
xG
x
xFxxxf
xf
考虑：
是否为奇函数？是偶函数，那么如果、
考虑：
是否为周期函数？么为周期的周期函数，那是以）、如果上的原函数，问：在是连续函数设、
如何？函数，它们之间的关系的原在都是则可考虑函数
？间是否仅相差一个常数数彼此之的区间，那么它的原函的定义域是若干个分离如果函数、
思考题：
9
2
( ) ( ) ( 1 )
( ) ( ),
1
2
f I f I
f x d x F x C
f x f x d x x
关于第二个问题，其解答则是本章要介绍的各种积分法。
定义 （不定积分）函数 在区间 上的全体原函数称为 在 上的不定积分，
记作：
其中：为积分号,为被积函数,为被积表达式 为积分变量。
说明：
）、不定积分与原函数的关系是总体与个体的关系，即不定积分是一个函数族，它不是一个函数。
）、不定积分的各个部分虽有其特定名称，但在使用时必须把他们看作是一
3)
C
个整体。
、求不定积分，关键是要找到被积函数的一个原函数，再加上任意常数即可。
10
。互相平行（即斜率均为这些切线相同的点处作切线，则标曲线上横坐显然，若在每一条积分族（如右图）切积分曲线组成的曲线轴方向任意平移所得一积分曲线沿的某一示的不定积分在几何上表
，的一条积分曲线，于是的图象为的一个原函数，则称是若义：）、不定积分的几何意
))(
.
)(
4
xf
x
y
ff
f
xFyfF?
00
00
( ) ( )
(,)
F x y
xy
在求原函数的具体的问题中，往往先求出全体原函数，然后从中确定满足条件 称为初始条件，它由具体问题所决定的原函数，
它就是积分曲线族中通过点 的那条积分曲线。
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
动态演示不定积分的几何意义
O x
x
y
11
00
00
( ) ( ),( )
( ),( ),( ),
5)
1 ( ) ( ) ( ) ( ),
( 2) ( ) ( ) ( ) ( ),
8.3 (
a t v t a v t v
v t s t s s t
f x dx f x d f x dx f x dx
F x dx F x C dF x F x C
Th
例：质点作匀加速直线运动时,求满足初始条件,的又若已知,求
（解略）
、积分运算法则求已知函数的不定积分运算，称为积分运算。关于积分运算有下列的性质：
（）,或
、或不定积分的线性运算法则
1 2 1 2
1 2 1 2
,
f g I
k k k f k g I
k f k g dx k fdx k gdx
）若函数 与 在区间 上都存在原函数，
为两个任意常数，则 在 上也存在原函数，且：
12
11
1
1
2,1.
1
nn
i i i i
ii
k f dx k f dx
a dx x C
x dx x C
线性运算法则更一般形式为：
证明二、基本积分公式表由于积分运算是导数运算的逆运算，所以导数公式表中的每一个公式反转过来就得到了下列不定积分的公式表：
1,adx=ax+C,其中 是常数
,其中 是常数，且
13
11
3 l n,4,0,1,
ln
.
5 s i n c o s,6 c o s s i n,
xx
xx
d x x C a d x a C a a
xa
e d x e C
x d x x C x d x x C
、,其中 且特别有:
、、
22
2
2
7,8,
c os sin
9 a r c sin a r c c os,
1
10,
1
dx dx
tgx C c tgx C
xx
dx
x C x C
x
dx
arc tgx C
x
、
、
14
应用不定积分法则和基本的不定积分公式（以后还要补充）
能够求一些简单函数的不定积分。
1
0 1 1
4
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4 c os 3,sin,5 10 10,
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p x a x a x a x a
p x dx
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例 已知求例 求 例 求例 求 例 求
第八章 不 定 积 分
§ 1不定积分概念与基本积分公式教学内容：
1）不定积分的概念
2）不定积分与微分的关系
3）不定积分的基本积分公式
4）不定积分的线性性质重点：不定积分与微分的关系，基本积分公式要求：熟记基本积分公式和不定积分的线性性质
2
首先，我们简 要说明积分运算是如何产生的？
一般来说，在数学中，一种运算的出现都伴随着它的逆运算。
例如，有加就有减，有乘就有除，有乘方就有开方，等等。我们前面学过的微分运算也不例外，它也有逆运算 — 积分运算。我们已经知道，微分运算的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，那么我们很自然地会提出与之相反的问题是：求一个未知函数，使其导函数恰是某一已知函数。提出这样的逆问题，是因为它存在于许多实际的问题中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足的某一规律），求曲线方程等等。要解决这些实际问题，自然会想到微分运算的逆运算，这就是产生积分运算的原因。
为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算，我们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较：
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我们熟悉乘方运算：
)1(82 3
也熟悉导数运算：
)'1(22xx
于是提出新问题：
)2(8? 3 )'2(2x
同样提出问题：
这不是乘方运算，而是它的逆运算 —
开方运算。
这不是求导运算，而是它的逆运算 —
积分运算。
一般来说，在下式里
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称 为 的导数。若 已知,未知，由 则称（）式为积分运算，称 为的原函数。
通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以下先给出原函数与不定积分的有关的定义。
一、原函数与不定积分
1 ( ) ( ),,f F I F x f x x I
F f I
定义 设函数 与 在区间 上都有定义，若则称 为 在区间 上的一个原函数。
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例如,是 在,上的一个原函数，
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同样,与 都是 在,
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、满足何种条件的函数才存在原函数？原函数有多少个？
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、若已知某个函数原函数存在，又如何把它求出来？
关于第一个问题，从例子里已看出，若 存在原函数
，则其原函数不止一个，我们有下面两个定理：
定理 若函数 在区间 上连续，则 在区间 上存在原函数,即：
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思考题：
、初等函数在其定义区间里是否一定存在原函数？（初等函数的原函数不一定是初等函数）
、若函数存在间断点，它是否一定存在原函数？（可考虑函数：
在点 是否存在原函数）
定理 设 是 在区间 的原函数，则：
（）,也是 的原函数，其中 是任意常量函数（或称为任意常数）；
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即是说，如果 存在原函数 则它有无限,
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考虑：
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记作：
其中：为积分号,为被积函数,为被积表达式 为积分变量。
说明：
）、不定积分与原函数的关系是总体与个体的关系，即不定积分是一个函数族，它不是一个函数。
）、不定积分的各个部分虽有其特定名称，但在使用时必须把他们看作是一
3)
C
个整体。
、求不定积分，关键是要找到被积函数的一个原函数，再加上任意常数即可。
10
。互相平行（即斜率均为这些切线相同的点处作切线，则标曲线上横坐显然，若在每一条积分族（如右图）切积分曲线组成的曲线轴方向任意平移所得一积分曲线沿的某一示的不定积分在几何上表
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动态演示不定积分的几何意义
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例：质点作匀加速直线运动时,求满足初始条件,的又若已知,求
（解略）
、积分运算法则求已知函数的不定积分运算，称为积分运算。关于积分运算有下列的性质：
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、或不定积分的线性运算法则
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线性运算法则更一般形式为：
证明二、基本积分公式表由于积分运算是导数运算的逆运算，所以导数公式表中的每一个公式反转过来就得到了下列不定积分的公式表：
1,adx=ax+C,其中 是常数
,其中 是常数，且
13
11
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