第四章 函数的连续性
§ 1 连续性概念教学内容：
1.连续性概念的引入
2.连续的几个等价定义
3.间断点的定义以及分类教学重点,函数在一点连续的概念教学难点,间断点的分类问题的提出：
（ 1）自然界中有许多现象,如气温的变化，河水的流动，植物的生长等等，都是连续地变化着的,这种现象在函数关系上的反应,就是函数的连续性,
（ 2）直观上来说，连续函数的图象是一条连绵不断的曲线。（如图 1）
O x
y
)(xfy?
0x图 1
一,函数在一点的连续性
1．定义的引入先回顾一下函数在
0x
点的极限,Axf
xx )(lim 0
定义中要求 )(xf 在
0x 的某个空心邻域内有定义，即 )(xf 在 0x 有没有定义、定义为多少均与极限有没有、极限为多少无关。这里 )( 0xf 可以有三种情况：
A )( 0xf
)()1( 0xf 无定义，比如上章讲过的特殊极限 1)s in (lim
0
0
0
xx xxxx
（图 2）
，Axf?)()2( 0 比如,
0
0
1)( xxx
xxxxf )()(l im
000 xfxxfxx
（图 3）
，Axf?)()3( 0 (图 1）
0x
)(xfy?
xO
y
图 2
xO
y
0x
)( 0xf
)(xfy?
图 3
A
第 3种情况与前两种情况不同，要求 )(xf 在
0x
有定义且极限等于,)( 0xf
我们称这种情况为 )(xf 在
0x
处连续。
2,)(xf 在 0x 处连续的定义定义 1,设函数 )(xf 在
0x
的某邻域 )(
0xU
内有定义，若
)()(l i m 00 xfxfxx （ 1）
则称 函数 )(xf 在
0x
点连续 。
)2(5)12(lim)(lim
212)(
22
fxxf
xxxf
xx
连续，因为在点例如函数无穷小）无穷小乘以有界量仍为处连续。因为在又如函数
()0(0
1
s i nlim)(lim
0
00
0
1
s i n
)(
00
f
x
xxf
x
x
x
x
x
xf
xx
3,等价定义先引入增量的定义：记 称为,0xxx 自变量 x )( 0x在点 的增量或 改变量 ；
0000 )()()()( yyxfxxfxfxfy
称为函数 )
0xy（在点的增量 或 改变量 。 要说明的是 增量 yx,
可以是正的，也可以是负的或 0。它们关系的几何意义如图 4所示
0x xx0
)( 0xf
x?
y? )(xfy?
xO
y
)( 0 xxf
图 4
利用增量定义得等价定义 1,设函数 的某邻域内有定义，在
0)( xxf,则称若 0l i m 0 yx
函数 )(xf 在 0x 点连续 。
定义：－也可以改用
等价定义 2,设函数 的某邻域内有定义，在
0)( xxf 0,0若对则称时，有使得当,)()( 00 xfxfxx 函数 )(xf
在 0x 点连续 。
注意问题：
的可交换性。与对应法则连续”意味着极限运算在可见“
）式又可表示为）（（
”；”换成““
”语言叙述中把－总成立，因此极限的“对中不等式点有定义，而等价定义在连续，要求在）函数（
连续的必要条件；在有极限是在）（
fxf
xfxfxf
xxxx
xxxfxf
xxfxxf
xxfxxf
xx
xxxx
0
00
lim0
)()lim()(lim13
0
)()(
2)()(2
)()(1
0
00
00
00
00
例 1,为狄利克雷函数。连续，其中在点证明函数 )(0)()( xDxxxDxf
连续。在定义推得，即可按＝只要取
，为使，对于及证明：由
0)(
)()0()(
01)(0)0(
xxf
xxxDfxf
xDf
4,左,右连续的定义当遇到分段函数的分段点或区间的端点时，依定义 1不能讨论 )(xf
的连续性，为此我们在定义 1的基础上，由 )(xf 在 0x 左、右极限的定义得定义 2,设
))()(lim()()(lim
))(()()(
00
000
00
xfxfxfxf
xUxUxxf
xxxx
或内有定义，若或左邻域的某右邻域在则称 函数 )(xf 在
0x
点右连续（ 或 左连续） 。
根据左、右极限与极限的关系我们容易得左、右连续和连续的关系定理 4,1,)(xf 在
0x
点连续的充要条件为,)(xf 在 0x 点既右连续又左连续。
由定理我们知道，要判别分段函数在分段点的连续性可通过左、右连续来讨论。
例 2：
的连续性。在讨论函数 002 02)( xxx xxxf
)0(2)2(lim)(lim 00 fxxf xx解：因为
)0(2)2(l i m)(l i m 00 fxxf xx
）如图不连续。在从而右连续，但不左连续，在所以
5(0)(
0)(
xxf
xxf
2
－ 2
x
y
O
x+2
x-2 图 5
二,间断点及其分类
1．间断点的定义定义 3：
的为但不连续，则称点有定义无定义，或在点在点内有定义，若在某设函数
fx
xxfxUf
0
000
0 )(
间断点 或 不连续点 。
从定义我们可以得到,形之一：的间断点，则是下列情为函数若 fx 0
）无定义（如图在点 2)1 0xf
）如图存在，但有定义且在点）
不存在；
3()()(lim3
)(lim)2
00
0
0
xfAAxfxf
xf
xx
xx
根据这几种情形，联系左、右极限，我们对函数的间断点进行分类
2．间断点的分类
1）可去间断点：
的为函数，则称无定义，或有定义但在点，而若
fxxfA
xfAxf
xx
00
0
)(
)(lim
0
可去间断点。
例 3：
的可去间断点。是故
，，，
)(0
1)0(0)0(1)(lims g n)(
0
xfx
ffxfxxf
x
例 4：
的可去间断点。是故无定义在，但，
)(0
0)(1)(lims in)(
0
xfx
xxfxf
x
xxf
x
说明,
连续。使它在得一个新的函数有定义但在点的值无定义）或改变在点以补充（对可去间断点，我们可
000
00
),(~))((
)(
xxfxfAxf
xfxf
的值）连续。（改变在，则中，取如例 )0(0)(~01 0s g n)(~3 fxxfx xxxf?
的值）连续。（补充在，则中，取如例 )0(0)(~
01
0s in
)(~4 fxxf
x
x
x
x
xf?
2）跳跃间断点：
的为函数则称点不相等，即的左、右极限都存在但在点若函数
fx
xfxf
xf
xxxx
0
0
)(lim)(lim
00
跳跃间断点。
例 5：
为整数）其中 nnxnxxxf nxnx (][lim,1][lim,][)(
）如图的跳跃间断点。是，故由于 6(][)(][lim][lim xxfnxxx nxnx
例 6：
）如图的跳跃间断点。是故
，，
7(s g n0
1)(lim1)(lims g n)(
00
xx
xfxfxxf
xx
。 。
。 。
。。 x
y
O 1 2 3 4
-1
-2
1
2
3
-1-2
图 6
。
。
,x
y
O
1
-1
图 7
f(x)=sgnxf(x)=[x]
我们把 可去间断点 和 跳跃间断点 通称为 第一类间断点。
注意,第一类间断点的特点是函数在该点的左、右极限均存在。
3）第二类间断点,函数至少有一侧极限不存在的那些点成为 第二类间断点。
是它的第二类间断点；故时不存在有限的极限，当例如，函数 001 xxxy
是它的第二类间断点；，故时左、右极限均不存在当函数 001s i n xxxy
。都是它的第二类间断点，每一个实数狄利克雷函数 xxD )(
三,区间上的连续函数
1．区间上的连续函数若函数 f(x)在区间（ a,b)上的每一点都连续，则称 f(x)为 （ a,b)上的连续函数（ 或称 f(x)在（ a,b)上连续） ；
若函数 f(x)在区间（ a,b)上连续，且在 x=a右连续，在 x=b左连续，
则称 f(x)为 [a,b]上的连续函数（ 或称 f(x)在 [a,b]上连续）。
上的连续函数。，都是和，，例如，函数 )(co ss i n xyxyxycy
上连续。右连续，因而它在在左连续，上的每一点都连续，在，在－又如，函数
]1,1[1
1)11(1 2
x
xxy
2．分段连续函数若函数 f(x)在区间 [a,b]上仅有有限个第一类间断点，则称 f(x)为 [a,b]
上的分段连续函数（ 或称 f(x)在 [a,b ]上分段连续）。
上是分段连续函数。为正整数，在和例如，函数 )(][][][ kkkxxyxy
§ 1 连续性概念教学内容：
1.连续性概念的引入
2.连续的几个等价定义
3.间断点的定义以及分类教学重点,函数在一点连续的概念教学难点,间断点的分类问题的提出：
（ 1）自然界中有许多现象,如气温的变化，河水的流动，植物的生长等等，都是连续地变化着的,这种现象在函数关系上的反应,就是函数的连续性,
（ 2）直观上来说，连续函数的图象是一条连绵不断的曲线。（如图 1）
O x
y
)(xfy?
0x图 1
一,函数在一点的连续性
1．定义的引入先回顾一下函数在
0x
点的极限,Axf
xx )(lim 0
定义中要求 )(xf 在
0x 的某个空心邻域内有定义，即 )(xf 在 0x 有没有定义、定义为多少均与极限有没有、极限为多少无关。这里 )( 0xf 可以有三种情况：
A )( 0xf
)()1( 0xf 无定义，比如上章讲过的特殊极限 1)s in (lim
0
0
0
xx xxxx
（图 2）
，Axf?)()2( 0 比如,
0
0
1)( xxx
xxxxf )()(l im
000 xfxxfxx
（图 3）
，Axf?)()3( 0 (图 1）
0x
)(xfy?
xO
y
图 2
xO
y
0x
)( 0xf
)(xfy?
图 3
A
第 3种情况与前两种情况不同，要求 )(xf 在
0x
有定义且极限等于,)( 0xf
我们称这种情况为 )(xf 在
0x
处连续。
2,)(xf 在 0x 处连续的定义定义 1,设函数 )(xf 在
0x
的某邻域 )(
0xU
内有定义，若
)()(l i m 00 xfxfxx （ 1）
则称 函数 )(xf 在
0x
点连续 。
)2(5)12(lim)(lim
212)(
22
fxxf
xxxf
xx
连续，因为在点例如函数无穷小）无穷小乘以有界量仍为处连续。因为在又如函数
()0(0
1
s i nlim)(lim
0
00
0
1
s i n
)(
00
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x
xxf
x
x
x
x
x
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xx
3,等价定义先引入增量的定义：记 称为,0xxx 自变量 x )( 0x在点 的增量或 改变量 ；
0000 )()()()( yyxfxxfxfxfy
称为函数 )
0xy（在点的增量 或 改变量 。 要说明的是 增量 yx,
可以是正的，也可以是负的或 0。它们关系的几何意义如图 4所示
0x xx0
)( 0xf
x?
y? )(xfy?
xO
y
)( 0 xxf
图 4
利用增量定义得等价定义 1,设函数 的某邻域内有定义，在
0)( xxf,则称若 0l i m 0 yx
函数 )(xf 在 0x 点连续 。
定义：－也可以改用
等价定义 2,设函数 的某邻域内有定义，在
0)( xxf 0,0若对则称时，有使得当,)()( 00 xfxfxx 函数 )(xf
在 0x 点连续 。
注意问题：
的可交换性。与对应法则连续”意味着极限运算在可见“
）式又可表示为）（（
”；”换成““
”语言叙述中把－总成立，因此极限的“对中不等式点有定义，而等价定义在连续，要求在）函数（
连续的必要条件；在有极限是在）（
fxf
xfxfxf
xxxx
xxxfxf
xxfxxf
xxfxxf
xx
xxxx
0
00
lim0
)()lim()(lim13
0
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2)()(2
)()(1
0
00
00
00
00
例 1,为狄利克雷函数。连续，其中在点证明函数 )(0)()( xDxxxDxf
连续。在定义推得，即可按＝只要取
，为使，对于及证明：由
0)(
)()0()(
01)(0)0(
xxf
xxxDfxf
xDf
4,左,右连续的定义当遇到分段函数的分段点或区间的端点时，依定义 1不能讨论 )(xf
的连续性，为此我们在定义 1的基础上，由 )(xf 在 0x 左、右极限的定义得定义 2,设
))()(lim()()(lim
))(()()(
00
000
00
xfxfxfxf
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xxxx
或内有定义，若或左邻域的某右邻域在则称 函数 )(xf 在
0x
点右连续（ 或 左连续） 。
根据左、右极限与极限的关系我们容易得左、右连续和连续的关系定理 4,1,)(xf 在
0x
点连续的充要条件为,)(xf 在 0x 点既右连续又左连续。
由定理我们知道，要判别分段函数在分段点的连续性可通过左、右连续来讨论。
例 2：
的连续性。在讨论函数 002 02)( xxx xxxf
)0(2)2(lim)(lim 00 fxxf xx解：因为
)0(2)2(l i m)(l i m 00 fxxf xx
）如图不连续。在从而右连续，但不左连续，在所以
5(0)(
0)(
xxf
xxf
2
－ 2
x
y
O
x+2
x-2 图 5
二,间断点及其分类
1．间断点的定义定义 3：
的为但不连续，则称点有定义无定义，或在点在点内有定义，若在某设函数
fx
xxfxUf
0
000
0 )(
间断点 或 不连续点 。
从定义我们可以得到,形之一：的间断点，则是下列情为函数若 fx 0
）无定义（如图在点 2)1 0xf
）如图存在，但有定义且在点）
不存在；
3()()(lim3
)(lim)2
00
0
0
xfAAxfxf
xf
xx
xx
根据这几种情形，联系左、右极限，我们对函数的间断点进行分类
2．间断点的分类
1）可去间断点：
的为函数，则称无定义，或有定义但在点，而若
fxxfA
xfAxf
xx
00
0
)(
)(lim
0
可去间断点。
例 3：
的可去间断点。是故
，，，
)(0
1)0(0)0(1)(lims g n)(
0
xfx
ffxfxxf
x
例 4：
的可去间断点。是故无定义在，但，
)(0
0)(1)(lims in)(
0
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xxfxf
x
xxf
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说明,
连续。使它在得一个新的函数有定义但在点的值无定义）或改变在点以补充（对可去间断点，我们可
000
00
),(~))((
)(
xxfxfAxf
xfxf
的值）连续。（改变在，则中，取如例 )0(0)(~01 0s g n)(~3 fxxfx xxxf?
的值）连续。（补充在，则中，取如例 )0(0)(~
01
0s in
)(~4 fxxf
x
x
x
x
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2）跳跃间断点：
的为函数则称点不相等，即的左、右极限都存在但在点若函数
fx
xfxf
xf
xxxx
0
0
)(lim)(lim
00
跳跃间断点。
例 5：
为整数）其中 nnxnxxxf nxnx (][lim,1][lim,][)(
）如图的跳跃间断点。是，故由于 6(][)(][lim][lim xxfnxxx nxnx
例 6：
）如图的跳跃间断点。是故
，，
7(s g n0
1)(lim1)(lims g n)(
00
xx
xfxfxxf
xx
。 。
。 。
。。 x
y
O 1 2 3 4
-1
-2
1
2
3
-1-2
图 6
。
。
,x
y
O
1
-1
图 7
f(x)=sgnxf(x)=[x]
我们把 可去间断点 和 跳跃间断点 通称为 第一类间断点。
注意,第一类间断点的特点是函数在该点的左、右极限均存在。
3）第二类间断点,函数至少有一侧极限不存在的那些点成为 第二类间断点。
是它的第二类间断点；故时不存在有限的极限，当例如，函数 001 xxxy
是它的第二类间断点；，故时左、右极限均不存在当函数 001s i n xxxy
。都是它的第二类间断点，每一个实数狄利克雷函数 xxD )(
三,区间上的连续函数
1．区间上的连续函数若函数 f(x)在区间（ a,b)上的每一点都连续，则称 f(x)为 （ a,b)上的连续函数（ 或称 f(x)在（ a,b)上连续） ；
若函数 f(x)在区间（ a,b)上连续，且在 x=a右连续，在 x=b左连续，
则称 f(x)为 [a,b]上的连续函数（ 或称 f(x)在 [a,b]上连续）。
上的连续函数。，都是和，，例如，函数 )(co ss i n xyxyxycy
上连续。右连续，因而它在在左连续，上的每一点都连续，在，在－又如，函数
]1,1[1
1)11(1 2
x
xxy
2．分段连续函数若函数 f(x)在区间 [a,b]上仅有有限个第一类间断点，则称 f(x)为 [a,b]
上的分段连续函数（ 或称 f(x)在 [a,b ]上分段连续）。
上是分段连续函数。为正整数，在和例如，函数 )(][][][ kkkxxyxy
