1
§ 3 函数概念函数 是整个高等数学中最基本的研究 对 象,可以 说 数学分析就是研究函数的,因此我 们对 函数的概念以及常 见 的一些函数 应 有一个清楚的 认识,
一 函数的定 义
1,函数的 几点 说 明,
函数的两要素,定义域和对应法则约定,定 义 域是自 变 量所能取的使算式有意 义 的一切 实 数 值,
2
1,,[ 1,1 ]y x D，例 如
2
1
,,( 1,1 )
1
yD
x
例 如,
(
(
)
)
0
x
0
()fx
对应 法 则 f
x
y
D
W
2
§ 3 函数概念函数 是整个高等数学中最基本的研究 对 象,可以 说 数学分析就是研究函数的,因此我 们对 函数的概念以及常 见 的一些函数 应 有一个清楚的 认识,
一 函数的定 义
1,函数的 几点 说 明,
函数的两要素,定义域和对应法则约定,定 义 域是自 变 量所能取的使算式有意 义 的一切 实 数 值,
2
1,,[ 1,1 ]y x D，例 如
2
1
,,( 1,1 )
1
yD
x
例 如,
(
(
)
)
0
x
0
()fx
对应 法 则 f
x
y
D
W
函数的表示法,解析法,列表法,图 像法,
分段函 数
1,0
s g n 0,0
1,0
x
xx
x
狄里克雷函数
1,
()
0
x
Dx
x
为 有 理 数
,为 无 理 数黎曼函数
1
,
()
0 0 1 0 1
p
x
qqRx
既 约 真 分 数
,下 ＝,和 （,） 内 的 无 理 数
y
1
- 1
x
o
图数为 有 理 数
,为 无 理 数既 约 真 分 数
,下 ＝,和 （,） 内 的 无 理 数
§
对 象 说的 见 应一 义说 明定 义 变 义 实 数 值
，例 如例 如,
法 则图数为 有 理 数
,为 无 理 数既 约 真 分 数
,下 ＝,和 （,） 内 的 无 理 数图数为 有 理 数
,为 无 理 数既 约 真 分 数
,下 ＝,和 （,） 内 的 无 理 数
3
2
2
1 ( ) 2 l g ( ) l g
2 ( ) a r c sin a r c c o s,
2
3 ( ) ( ),
f x x g x x
x g x x x x
f x x g x x
思考题：
下列函数是否相同，为什么？
、与
、f ( x ) = 与
、与
4
三 函数的四则运算
1 2 1 2
12
*
12
,,,
,
,
.
( ) 0
( ) 0,,
,.
f x D g x D D D D
D
D
D
D
D g x x
D x g x x D
fg
xD
D D D
*
*
给定两个函数 和 记,并设
，我们定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：
F(x)=f(x)+g(x),x
G(x)=f(x)-g(x),x
H(x)=f(x)g(x),x
若在 中剔除使 的 值，即令
D
可在D 上定义 与 的商运算如下：
f(x)
L(x)=
g(x)
注：若 fg，则 与 不能进行四则运算，例如：
5
22 12
12
22
( ) 1,1,( ) 4,2,
( ) ( ) 1 4
f x x x D x x g x x x D x x
DD
f x g x x x
因,所以表达式是没有意义的。
四 复 合 函数,
设有两个函数 ExxguDuufy,)(,,)(,若
})(|{
*
EDxgxE?,则
*
Ex,通过函数 g 对应 D 内唯一 u,而 u
通过函数 f 对应唯一 y
这样，
*
Ex 都有唯一 y 和它对应，因此确定了一个以 x 为自变量,y 为因变量的函数，记作 ))(( xgfy?,称为函数 gf 和 的复合函数，并称 f 为外函数,g
为内函数,u 为中间变量。
E
D
E*
g
)( ufy?
})(|{ Dxgx?
f
x
)( xgu?
6
四 复 合 函数,
设有两个函数 ExxguDuufy,)(,,)(,若
})(|{* EDxgxE?,则 *Ex,通过函数 g 对应 D 内唯一 u,而 u
通过函数 f 对应唯一 y
这样,*Ex 都有唯一 y 和它对应，因此确定了一个以 x 为自变量,y 为因变量的函数，记作 ))(( xgfy?,称为函数 gf 和 的复合函数，并称 f 为外函数,g
为内函数,u 为中间变量。
E
D
E*
g
)( ufy?
})(|{ Dxgx?
f
x
)( xgu?
22( ) 1 a r c sin ( 1 )f u u u x
思考题：
与 是否可复合成函数？
五 反函数
0
x
0
y
0
x
0
y
x
y
)( xfy?函数
o x
)( yx反函数
o
)( xfy?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy反函数
7
五 反函数
0
x
0
y
0
x
0
y
x
y
)( xfy?函数
o x
)( yx反函数
o
)( xfy?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy反函数六 初等函数
1、常数函数
2、幂函数
8
112
32( 0 )y x y x x x的图象，以,,的图象为例:
9
121
2( 0 )y x y x x x的图象 以,,的图象为例：
2yx
1yx
1
2yx
10
4
( 0,1 )x a a
x
a
3,指数函数图象y = a ( a > 0,a 1 ),对数函数
y=log 图象:
01a 的情形
1
2
lo gyx?
1
2
x
y
11
1 的情形
12
5 三角函数
6 反三角函数 arcsinx,arccosx 图像
-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
asin (x)
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
acos (x)
13
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
atan(x)
arctgx 图 像
14
思考题：
1
2
(
y x y x
,与 是初等函数吗？
,初等函数分为代数函数与初等超越函数两类，
这两种函数是如何定义的？无理函数是代数函数吗？
3,为什么称三角函数、反三角函数、指数函数、
对数函数与幂函数x 是无理数）为初等超越函数？
§ 3 函数概念函数 是整个高等数学中最基本的研究 对 象,可以 说 数学分析就是研究函数的,因此我 们对 函数的概念以及常 见 的一些函数 应 有一个清楚的 认识,
一 函数的定 义
1,函数的 几点 说 明,
函数的两要素,定义域和对应法则约定,定 义 域是自 变 量所能取的使算式有意 义 的一切 实 数 值,
2
1,,[ 1,1 ]y x D，例 如
2
1
,,( 1,1 )
1
yD
x
例 如,
(
(
)
)
0
x
0
()fx
对应 法 则 f
x
y
D
W
2
§ 3 函数概念函数 是整个高等数学中最基本的研究 对 象,可以 说 数学分析就是研究函数的,因此我 们对 函数的概念以及常 见 的一些函数 应 有一个清楚的 认识,
一 函数的定 义
1,函数的 几点 说 明,
函数的两要素,定义域和对应法则约定,定 义 域是自 变 量所能取的使算式有意 义 的一切 实 数 值,
2
1,,[ 1,1 ]y x D，例 如
2
1
,,( 1,1 )
1
yD
x
例 如,
(
(
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0
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对应 法 则 f
x
y
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函数的表示法,解析法,列表法,图 像法,
分段函 数
1,0
s g n 0,0
1,0
x
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狄里克雷函数
1,
()
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为 有 理 数
,为 无 理 数黎曼函数
1
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p
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既 约 真 分 数
,下 ＝,和 （,） 内 的 无 理 数
y
1
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o
图数为 有 理 数
,为 无 理 数既 约 真 分 数
,下 ＝,和 （,） 内 的 无 理 数
§
对 象 说的 见 应一 义说 明定 义 变 义 实 数 值
，例 如例 如,
法 则图数为 有 理 数
,为 无 理 数既 约 真 分 数
,下 ＝,和 （,） 内 的 无 理 数图数为 有 理 数
,为 无 理 数既 约 真 分 数
,下 ＝,和 （,） 内 的 无 理 数
3
2
2
1 ( ) 2 l g ( ) l g
2 ( ) a r c sin a r c c o s,
2
3 ( ) ( ),
f x x g x x
x g x x x x
f x x g x x
思考题：
下列函数是否相同，为什么？
、与
、f ( x ) = 与
、与
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三 函数的四则运算
1 2 1 2
12
*
12
,,,
,
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.
( ) 0
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,.
f x D g x D D D D
D
D
D
D
D g x x
D x g x x D
fg
xD
D D D
*
*
给定两个函数 和 记,并设
，我们定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：
F(x)=f(x)+g(x),x
G(x)=f(x)-g(x),x
H(x)=f(x)g(x),x
若在 中剔除使 的 值，即令
D
可在D 上定义 与 的商运算如下：
f(x)
L(x)=
g(x)
注：若 fg，则 与 不能进行四则运算，例如：
5
22 12
12
22
( ) 1,1,( ) 4,2,
( ) ( ) 1 4
f x x x D x x g x x x D x x
DD
f x g x x x
因,所以表达式是没有意义的。
四 复 合 函数,
设有两个函数 ExxguDuufy,)(,,)(,若
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*
EDxgxE?,则
*
Ex,通过函数 g 对应 D 内唯一 u,而 u
通过函数 f 对应唯一 y
这样，
*
Ex 都有唯一 y 和它对应，因此确定了一个以 x 为自变量,y 为因变量的函数，记作 ))(( xgfy?,称为函数 gf 和 的复合函数，并称 f 为外函数,g
为内函数,u 为中间变量。
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D
E*
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f
x
)( xgu?
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四 复 合 函数,
设有两个函数 ExxguDuufy,)(,,)(,若
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通过函数 f 对应唯一 y
这样,*Ex 都有唯一 y 和它对应，因此确定了一个以 x 为自变量,y 为因变量的函数，记作 ))(( xgfy?,称为函数 gf 和 的复合函数，并称 f 为外函数,g
为内函数,u 为中间变量。
E
D
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)( xgu?
22( ) 1 a r c sin ( 1 )f u u u x
思考题：
与 是否可复合成函数？
五 反函数
0
x
0
y
0
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y
)( xfy?函数
o x
)( yx反函数
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x
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),( abQ
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)( xy反函数
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五 反函数
0
x
0
y
0
x
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)( xfy?函数
o x
)( yx反函数
o
)( xfy?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy反函数六 初等函数
1、常数函数
2、幂函数
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32( 0 )y x y x x x的图象，以,,的图象为例:
9
121
2( 0 )y x y x x x的图象 以,,的图象为例：
2yx
1yx
1
2yx
10
4
( 0,1 )x a a
x
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3,指数函数图象y = a ( a > 0,a 1 ),对数函数
y=log 图象:
01a 的情形
1
2
lo gyx?
1
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x
y
11
1 的情形
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5 三角函数
6 反三角函数 arcsinx,arccosx 图像
-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
asin (x)
-1 -0.5 0 0.5 1
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3
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-6 -4 -2 0 2 4 6
-1.5
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0
0.5
1
1.5
x
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arctgx 图 像
14
思考题：
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2
(
y x y x
,与 是初等函数吗？
,初等函数分为代数函数与初等超越函数两类，
这两种函数是如何定义的？无理函数是代数函数吗？
3,为什么称三角函数、反三角函数、指数函数、
对数函数与幂函数x 是无理数）为初等超越函数？
