（ 1）
第二章 逻辑代数基础
§ 2.1 概述
§ 2.2 逻辑代数中的三种基本运算
§ 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
§ 2.5 逻辑函数及其表示方法
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
§ 2.6 逻辑函数的化简方法
§ 2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简
（ 2）
内容提要本章介绍分析数字电路逻辑功能的数学方法。
首先介绍逻辑代数的基本公式、
常用公式和重要定理；然后讲述逻辑函数及其表示方法；最后介绍如何应用上述公式、定理化简逻辑函数。
（ 3）
§ 2.1 概述在二值逻辑中，逻辑代数中的逻辑变量取值只有两个,1（逻辑壹）,0（逻辑零）。
0和 1表示两个对立的逻辑状态。
（ 4）
§ 2.2 逻辑代数中的三种基本运算基本逻辑运算,与 ( and ),或 (or ),非 ( not )。
一、“与”逻辑与逻辑,决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。
规定,
开关合为逻辑,1”
开关断为逻辑,0”
灯亮为逻辑,1”
灯灭为逻辑,0”
E Y
A B C
（ 5）
&A
B
C
Y
逻辑符号：
A YB C
000 0100 0
010 0110 0
001 0101 0
011 0111 1
逻辑式,Y=A?B?C
逻辑乘法
（逻辑与）
真值表
E Y
A B C
真值表特点,任 0 则 0,全 1则 1
与逻辑运算规则：
0? 0=0 0? 1=0
1? 0=0 1? 1=1
（ 6）
二,“或”逻辑
A
E Y
B
C
或逻辑,决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。
规定,
开关合为逻辑,1”
开关断为逻辑,0”
灯亮为逻辑,1”
灯灭为逻辑,0”
（ 7）
A YB C
000 0100 1
010 1110 1
001 1101 1
011 1111 1
真值表
1AB
C
Y
逻辑符号：
逻辑式,Y=A+B+C
逻辑加法
(逻辑或 )
A
E Y
B
C
真值表特点：
任 1 则 1,全 0则 0。
或逻辑运算规则,
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=1
（ 8）
三,“非”逻辑
“非”逻辑,决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。
规定,
开关合为逻辑,1”
开关断为逻辑,0”
灯亮为逻辑,1”
灯灭为逻辑,0”
AE Y
R
（ 9）
逻辑符号：
逻辑非
(逻辑反 )
A Y
0 1
1 0
真值表
AE Y
R
真值表特点,
1则 0,0则 1。
AY?逻辑式：
运算规则：
10,01
A Y1
（ 10）
四、几种常用的复合逻辑运算
“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑运算，任何其它的复杂逻辑运算都可以用与、
或、非的组合来实现。
CBAY
与非,条件
A,B,C都具备，则 Y 不发生。
&AB
C
Y
其他几种常用的逻辑运算如下表：
（ 11）
CBAY
或非,条件
A,B,C任一具备，则 Y 不发生。
1AB
C
Y
BA
BABAY
异或,条件 A、
B有一个具备，
另一个不具备则
Y 发生。
=1AB
C
Y
同或,条件
A,B相同，则
Y 发生。
=AB
C
Y
BA
BAABY
（ 12）图 2.2.3 复合逻辑的图形符号和运算符号
（ 13）
A YB C
000 1100 1
010 1110 1
001 1101 1
011 1111 0
与非逻辑真值表
A YB C
000 1100 0
010 0110 0
001 0101 0
011 0111 0
或非逻辑真值表异或逻辑真值表
A B Y
000 110
101 011
同或逻辑真值表
A B Y
100 010
001 111
（ 14）
§ 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
2.3.1 基本公式加 运算规则,
0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1
乘 运算规则,
0?0=0 0?1=0 1?0=0 1?1=1
非 运算规则,
1001
AA?
0,,1,00 AAAAAAAA
1,,11,0 AAAAAAAA
一、基本定律
（ 15）
二、交换律三、结合律四、分配律
A+B=B+A
A? B=B? A
A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B
A? (B? C)=(A? B)? C
A(B+C)=A? B+A? C
A+B? C=(A+B)(A+C) 普通代数不适用 !
（ 16）
求证,（分配律第 2条） A+BC=(A+B)(A+C)
证明,
右边 =(A+B)(A+C)
=AA+AB+AC+BC ; 分配律
=A +A(B+C)+BC ; 结合律,AA=A
=A(1+B+C)+BC ; 结合律
=A? 1+BC ; 1+B+C=1
=A+BC ; A? 1=A
=左边
（ 17）
五、德?摩根定理 (反演律）
（ De? Morgan)
证明：
真值表法、
穷举法推广到多变量：
CBACBA
CBACBA
说明：两个（或两个以上）变量的 与非 （ 或非 ）
运算等于两个（或两个以上）变量的 非或 （ 非与 ）运算。
BABA1
BABA2
（ 18）
用真值表证明摩根定理成立
A · B=A+B A+B= A · B
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
Y1=A·B Y2=A+B
1
1
1
0
1
1
1
0
相等
√
（ 19）
吸收：多余（ 冗余 ）项，多余（ 冗余 ）因子被取消、去掉? 被消化了。
1.原变量的吸收,A + AB = A
证明,左式 =A(1+B)
原式成立 口诀：
长中含短,
留下短。
长项短项
=A
=右式
1
||
2.3.2 若干常用公式 --几种形式的吸收律
（ 20）
2,反变量的吸收,A + A B = A + B
证明：
=右式口诀：
长中含反,
去掉反。
原 (反 )变量 反 (原 )变量添冗余项
BAABA左式
)AA(BA
1
||
（ 21）
3.混合变量的吸收：
证明：
添冗余因子
A B + A C + BC=AB+AC
互 为 反 变量
=右式口诀：
正负相对,
余全完。
（消 冗余项）
添加
BCCAAB左式
BC)AA(CAAB
BCAA B CCAAB
)BCACA()A B CAB(
CAAB
（ 22）
证明：
4,A ·A ·B=A ·B A ·A ·B=A
A·A·B = A· (A+B) =A ·B
A ·A ·B=
A ·A ·B=?
A·(A+B)=A
A A
A·B A·B
√ ×
× ×
（ 23）
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理内容,在任何一个包含变量 A的逻辑等式中，
若以另外一个 逻辑式 代替式中所有的变量 A，
则等式仍然成立。
例,用代入规则证明 德? 摩根定理 也适用于多变量的情况。
二变量的德? 摩根定理为：
BABA1
BABA2
（ 24）
以（ B·C）代入（ 1）式中 B，以（ B+C）代入
（ 2）式中 B，则得到：
CΒΑC)( ΒΑC)( ΒΑ
CBAC)(BAC)(BA
注,代入定理还可以扩展其他基本定律的应用范围 ！
BABA1
BABA2
（ 25）
2.4.2 反演定理内容,将函数式 F中所有的
+
+?
变量与常数均取反
1.遵循先括号? 再乘法?后加法的 运算顺序 。
2.不是一个变量上的反号 不动 。
规则,
用处,实现互补运算（求反运算）。
新表达式,F
显然,FF?
(反函数 )
（ 26）
例 1：
1)DC()BA(F 1
0DCBAF 1
与或式注意括号注意括号
DBDACBCAF 1
（ 27）
)EDCB(A
)EDCB(A
例 2,EDCBAF
2
EDCBAF 2
与或式反号不动反号不动
EDACABAF 2
（ 28）
2.4.3 对偶定理将函数式 F中所有的对偶式：
+
+?
常量 取反新表达式,DF
对偶式对偶定理,当某个逻辑恒等式成立时，
则其对偶式也成立。
若 0DCBAF
1
则：
1D)(C)BA(F D1
DBCBDACA
（ 29）
注,证明两个逻辑式相等时，也可以通过证明它们的对偶式相等来完成。
（ 30）
§ 2.5 逻辑函数及其表示方法
事物之间的逻辑关系可以通过描述逻辑输入变量和输出变量的变化关系来确定，这是一种函数关系，称为 逻辑函数 。
记为,Y=F（ A,B,C,·· ）
例如与非门,Y= A · B 就是一个两输入变量 A和 B，一个输出变量的逻辑函数。
逻辑函数的输入和输出取值为 0和 1。
任何一个逻辑因果关系都可以用一个逻辑函数来描述。
2.5.1 逻辑函数
（ 31）
四种表示方法逻辑函数式 (逻辑表示式,逻辑代数式 )
1
1
&
&
≥1
A
B
Y
逻辑图,
波形图
n2n个输入变量 种组合 。
真值表,将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。
BABAY
2.5.2 逻辑函数的表示方法
（ 32）
逻辑问题：裁判电路
问题抽象,输入变量 A,B,C分别代表主裁和两个副裁，同意为 1；输出变量 Y代表运动员成绩，有效为 1。
问题描述如下：
举重比赛中有 A,B,C三个裁判,A为主裁,B,C为副裁，规定当主裁和至少一个副裁认定成绩有效时，则运动员成绩 Y有效；否则无效。
（ 33）
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
列真值表的方法：
一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，
列出所有可能的状态。
一、真值表
（ 34）
二、逻辑函数式
由规定当主裁 A和至少一个副裁 B,C
认定成绩有效时，则运动员成绩 Y有效，
可知：
Y=A ·（ B+C）
对于较复杂的逻辑问题，往往很难直接写出逻辑函数式，可以通过真值表的帮助来获得逻辑函数式。
（ 35）
把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来，就构成了 逻辑图 。
&A
B
&C
A
1 Y
三、逻辑图
（ 36）
四、波形图
A
B
C
Y
t
t
t
t
t
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
波形图,将逻辑函数输入变量每一种可能出现的取值与对应的输出值按时间顺序依次排列起来的图形。
（ 37）
方法：
① 找出所有使输出为 1的输入组合；
② 将每一种组合以 1
对应原变量,0对应反变量的方法变换为逻辑符号与的形式；
③ 将所有 ② 的结果相加 (或 )，得到的函数式就是 Y。
Y=ABC+ABC+ABC
1、由真值表写函数式
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
CBA
CAB
ABC
1 0 1
1 1 0
1 1 1
五、各种表示方法间的相互转换
（ 38）
2、由函数式写真值表
将输入变量的各种组合一一代入函数式中计算输出变量值，全部完成后得到 真值表 。
0
1
0
1
0
1
0
1
C
0
0
1
1
0
0
1
1
B
0
0
0
0
1
1
1
1
Y=A+BC+ABCA
0
1
1
·
·
·
0
1
1
1
1
例如：
Y=A+BC+ABC
求它的真值表。
（ 39）
B
AB
Y=A B+AB
A BA
1
&A
B
&
1
≥1
3、由逻辑图写逻辑函数式
Y
（ 40）
4、由函数式画逻辑图
A
1
B
1
C
1
&
≥1 &
≥1
已知逻辑函数为画出对应的逻辑图。
CCBACBAY
（ 41）
2.5.3 逻辑函数 的两种标准形式最小项 是构成逻辑函数的基本单元，对应于输入变量的每一种组合。 n变量的最小项有 2n个。
一、最大项和最小项
n变量的 最小项 m是 n个因子的乘积,每个变量都以 它的 原变量 或 反变量 的形式在乘积项 m中出现，且仅出现一次。
1,最小项：
最小项和最大项是构成逻辑函数的基本单元。
最小项与最大项是等价的两个概念，虽然从形式上看是互反的，但表达的内容是一致的。
（ 42）
2变量最小项
2变量 (A和 B)逻辑函数,A和 B两个因子构成的乘积项组合,AB,AB,AB、
AB，称为 2变量最小项。
显然,A,B,A,B不是 2变量最小项。
（ 43）
三变量 最小项
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
CBA
CBA
CBA
CAB
CBA
CBA
BCA
ABC
变量赋值为 1时用原变量表示；变量赋值为 0
时用该变量的反变量来表示,
可见输入变量的八种状态分别唯一地对应着八个最小项 。
（ 44）
最小项的性质 1
在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最小项的值为 1。
ABC
ABC
ABC
ABC
ABC
ABC
ABC
ABC
输入变量取值 A=0,B=1,C=0最小项
0
0
1
0
0
0
0
0
（ 45）
全体最小项之和为 1。
ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC
AB + AB + AB + AB
A + A
1
实际上性质 2可由性质 1推出，想一想，
为什么？
最小项的性质 2
（ 46）
任意两个最小项的乘积为 0。
ABC?ABC=0
实际上，性质 3也可以由性质 1推得，为什么？
最小项的性质 3
（ 47）
具有逻辑相邻性的两个最小项之和可以消去一对因子而合并成一项。
最小项的性质 4
逻辑相邻,若两个最小项只有一个因子以原、反区别，其他因子均相同，则称这两个最小项具有逻辑相邻性。
（ 48）
逻辑相邻；与例,BCACBA
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
CBA
CBA
CBA
BCA
CBA
CBA
CAB
ABC
是不是逻辑相邻？与 CBACBA
CABCACBA
逻辑相邻的项可以合并且消去一对因子
（ 49）
最小项的编号：
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
CBA
CBA
CBA
BCA
CBA
CBA
CAB
ABC
以三变量逻辑函数为例：
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
mi最小项通常用 表示，下标 i即最小项编号，
用十进制表示。
（ 50）
*2、最大项
定义：
在 n变量逻辑函数中，若 M为 n个变量之和，而且这 n个变量均以原变量或反变量的形式在 M中出现且只出现一次，则称 M
为该组变量的 最大项 。
n变量有 2n个最大项。
（ 51）
2变量最大项
2变量 (A和 B)函数,A和 B两个因子构成的和式组合有,A+B,A+B,B+A、
A+B，称为 2变量最大项。
显然,A,B,A,B不是 2变量最大项。
（ 52）
3变量最大项
A,B,C三个变量构成的最大项有：
CBACBACBACBA
CBACBACBACBA
,,,
,,,
如果把 ABC的取值 010看成一个二进制数，则它相当于十进制数 2，因此我们把最大项 A+B+C记为 M2。
（ 53）
最大项的性质 1
在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最大项的值为 0。
A+B+C
A+B+C
A+B+C
A+B+C
A+B+C
A+B+C
A+B+C
A+B+C
输入变量取值 A=0,B=1,C=0最大项
1
1
1
1
1
0
1
1
（ 54）
全体最大项之积为 0。
实际上性质 2可由性质 1推出，想一想，
为什么？
最大项的性质 2
（ 55）
最大项的性质 3
任意两个最大项的和为 1。
（ A+B+C） +（ A+B+C） =1
实际上，性质 3也可以由最大项定义或者性质 1推得。
（ 56）
最大项的性质 4
相邻的两个最大项之积可以消去一对因子而合并成一项相邻
两个最大项只有一个因子不同，称 相邻 。
A+B+C A+B+C
A+B+C A+B+C
（ A+B+C）?（ A+B+C） =B+C
推论,n变量的最大项有 n个相邻项。
（ 57）
最大项与最小项的关系
2
2
M
CBA
CBAm
ii Mm?
（ 58）
根据最小项的特点，从真值表可直接用最小项写出逻辑函数式。
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
CBA
CBA
CBA
BCA
CBA
CBA
CAB
ABC
例如,由左图所示三变量逻辑函数的真值表，可写出其逻辑函数式：
A B CCABCBAY
验证,将八种输入状态代入该表示式，均满足真值表中所列出的对应的输出状态。
二、逻辑函数的最小项之和形式
,6,7 )m (5
（ 59）
将下列函数表示为最小项之和的形式：
CBCAABY1
CBCAABY 1111
CBAACBBACCAB )()()(
CBACABCBABCACABA B C
261367 mmmmmm
76321 mmmmm
i
i im )7,6,3,2,1(
（ 60）
三、逻辑函数的最大项之积形式
结论,任意逻辑函数可以表示为最大项之积的形式（和之积式）。
显然，由于最小项与最大项之间的对称关系，可以得到下面的结论：
（ 61）
A B C F
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
已知逻辑函数的真值表如下，写出 F
的最大项表达式。
)()( CBACBAF
（ 62）
2.5.4 逻辑函数形式的变换
CAABY设 与 -或
CAABCAABY 与非 -与非
))(( CABACAABY 或 -与非
CBBACAY
与非 -与CBBACAY
))()(( CBBACAY 或 -与
CBBACACBBACAY ))()(( 或非 -或非与或非
（ 63）
§ 2.6 逻辑函数的化简方法
◆ 同一逻辑函数可以有多种不同的逻辑式，一般来讲，逻辑式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，越有利于用最少的逻辑器件来实现这个函数。所以化简是必要的。
（ 64）
◆ 最简的标准与实际应用中能够提供的逻辑器件有关系，要根据实际而定；
◆常用的逻辑器件有与非门、或非门、与或非门、异或门、非门等；
◆以使用的器件数目最少、成本最低为判断最简的标准；
◆默认最简形式为最简 与 -或式,即用最少的与门和或门来实现函数。
（ 65）
2.6.1 公式化简法最简与或式,乘积项的 项数最少。每个乘积项中 变量个数最少。
例题：
BADCBABDABDBAF 1
并项法
DCBABDABDB 吸收消去
（长中含短，留下短）BDB
（长中含反，去掉反）
（最简与或式）
吸收消去
DBF 1
（ 66）
D E F GEFBA C E FBDCAABDAADF 2
(合并项 ) （长中含短，留下短）
A
D E F GEFBBDCAA
(长中含反,去掉反 )
吸收消去 吸收消去 (正负相对,余全完 )
吸收消去
（最简与或式） EFBBDCAF
2
DEF:冗余因子
DEFG:冗余项
（ 67）
)GF(ADEDBDBCBCBCAABF 3
添冗余项,BA (正负相对,余全完 )
消冗余项
DBDBCBCBA
（长中含短，留下短）
添冗余项,DC
（最简与或式）
(正负相对,余全完 )
DCDBCBAF 3
合并项,A
（ 68）
添冗余项,DC
（最简与或式）
(正负相对,余全完 )
添冗余项,BA (正负相对,余全完 )
消冗余项
DBDBCBCBA
（长中含短，留下短）合并项,A
DCDBCBAF
3
)GF(ADEDBDBCBCBCAABF 3
（ 69）
化简结果不唯一
)GF(ADEDBDBCBCBCAABF 3
经过化简得最简与或式,
或者,项数,因子数对应相同。
讨论,
DCDBCBAF 3
DCDBCBAF 3
（ 70）
题 1,A B CCABCBAF
反变量吸收提出 AB
=1
提出 A
课堂练习
)( CCABCBA
ABCBA
)( BCBA
)( BCA
ABAC
用公式化简法化简下列逻辑函数式：
（ 71）
题 2：
CBBCBAABF
)( CBBCBAAB ）（
摩根定律
CBAABC
CCBAAB
)(
)(
配项
CBBCAA B C
CBACBAAB
被吸收被吸收
CBBBCAAB )(
CBCAAB
（ 72）
结论,异或门可以用 4个与非门实现。
题 3,证明
BABBAABABABAY
BABBAA右边; 摩根定律
BABBAA
)BA(B)BA(A
BBABBAAA
0ABBA0
ABBA
左边?
AA;?; 展开
（ 73）
用 4个与非门实现异或：
&
&
&
&AB Y
BABBAABABABAY
（ 74）
2.6.2 卡诺图化简法 --图形化简法一,逻辑函数的卡诺图表示法
1,卡诺图的构成：
下面举例说明卡诺图的画法,
并且将 逻辑相邻 的最小项放在 相邻的几何位置 上,所得到的阵列图就是 n变量的卡诺图。
将 n个输入变量的 全部最小项用小方块阵列图表示，
卡 诺图的思想源于两个逻辑相邻的最小项可以化简的性质。
（ 75）
B 0 1A
0
1 m3
m0
m2
m1
输入变量二变量卡诺图卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。
一变量卡诺图
m0 m1
L
0 1
（ 76）
逻辑相邻,相邻单元输入变量的取值只能有一位不同。
0
1
00 01 11 10A BC
m0 m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
输入变量三变量卡诺图注意,m2与 m0逻辑相邻。
（ 77）
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
四变量 卡诺图
m0 m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
m12 m13 m15 m14
m8 m9 m11 m10
卡诺图的特点,具有循环邻接的特性。
（ 78）
5变量卡诺图
CDE
AB 000 001 011 010 110 111 101 100
00 m0 m1 m3 m2 m6 m7 m5 m4
01 m8 m9 m11 m10 m14 m15 m13 m12
11 m24 m25 m27 m26 m30 m31 m29 m28
10 m16 m17 m19 m18 m22 m23 m21 m20
6 5 4
14 13 12
30 29 28
22 21 20
（ 79）
卡诺图的简化表示法,有时为了方便，
用对应 最小项的编号 表示单元格。
A
BC00 01 11 10
0
1
0 1 3 2
4 5 7 6
简化的 三变量 卡诺图,简化的 四变量 卡诺图,
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
（ 80）
2,已知逻辑函数画卡诺图：
BC
A 00 01 11 10
0 m0 m1 m3 m2
1 m4 m5 m7 m6
0 0 0 0
0 1 1 1
方法：先将逻辑函数表示为最小项之和的形式，然后在卡诺图相应最小项位置填 1，其它地方填 0。
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
A B C
A B CCABCBAY
（ 81）
2,已知逻辑函数画卡诺图：
例 1,画出以下逻辑函数的卡诺图：
D)CBD ) ( ACBD ) ( ACBA(
)DCBA)(DCBA(D)C,B,L ( A,
解,根据反演规则，上式化成：
DCBADBCADCBADCABA B C DL
)0,6,10,13,15(m
（ 82）
所以,L的卡诺图为：
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
0 1 1 1
1 1 1 0
1 0 0 1
1 1 1 0
)0,6,10,13,15(mL
（ 83）
二,用卡诺图 化简 逻辑函数
原理：相邻的两个最小项可以化简消去一对因子。
0 1 0 0
1 0 0 1
0 0 1 0
1 1 1 1
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
（ 84）
化简原则
如果两个最小项相邻，可以合并为一项并消去 一对 因子；
如果四个最小项相邻，可以合并为一项并消去 两对 因子；
如果八个最小项相邻，可以合并为一项并消去 三对 因子；
如果 2n 个最小项相邻，可以合并为一项并消去 n对 因子。
（ 85）
两个最小项相邻的情况
1 1
1
1
1
1
1
（ 86）
四个最小项相邻的情况
1 1
1 1
1
1
1 1
1
1
1
1
（ 87）
八个最小项相邻的情况
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
（ 88）
卡诺图法化简步骤
(一 )布阵 （画法规则）
(二 )填项 (用卡诺图表示逻辑函数 )
(三 )勾圈化简 (用卡诺图 化简 )
三步曲
(一 )布阵（画法规则）：
1.N=2n 格（ n?5）,最小项
2.循环码编排 循环邻接上下封闭布阵
（ 89）
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
B
D
C
m0 m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
m8 m9 m11 m10
m12 m13 m15 m14
高位低位
（ 90）
(二 ) 填项：
用卡诺图表示逻辑函数填 F=1
的项 1.最小项直接填入；
2.刷项（填公因子所包含的项）；
3.按?（ m0,? m15) 编号填入。
按 F=1的 与或式 填项方法
（ 91）
例 1,BADCBABDABDBA)D,C,B,A(F
1
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
B
D
C
1
直接填入)CC?（
1
公因子,
BDA
有重复,1”者，只填一个,1”。
（ 92）
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
B
D
C
1 1
1 1
公因子,
BD
有重复,1”者，只填一个,1”。
刷项：
填公因子包含的项例 1,BADCBABDABDBA)D,C,B,A(F
1
（ 93）
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
B
D
C
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
有重复,1”者，只填一个,1”。
刷项：
填公因子包含的项例 1,BADCBABDABDBA)D,C,B,A(F
1
（ 94）
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
B
D
C
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
F=1的项全部填完以后,填项 结束 ;
不填者自动为,0”。
例 1,BADCBABDABDBA)D,C,B,A(F
1
0
0
0
0
（ 95）
(三 ) 勾圈化简：
1.尽量勾大,2i个格消 i个变量 (i?n);
3.每个圈至少有一个 独立格 ；
4.圈必须覆盖所有的,1”，即不能遗漏取值为,1”的小方块。
勾圈原则得到 最简与或式。
2.“1”可以重复利用；
（ 96）
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
B
D
C
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
D
保留公因子：
消 取值不同的变量：
1 AA
B
保留公因子：
DB)D,C,B,A(F 1
合理重叠（,1”可以重复使用）。
例 1,BADCBABDABDBA)D,C,B,A(F
1
0
0
0
0
（ 97）
也可以取 F=0的项化简,
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
0
0
0
0
DB)D,C,B,A(F 1?
DB
DB)D,C,B,A(F 1
（ 98）
DCBAA B DDCBBA)D,C,B,A(F 2
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1 1
1
1
填项：
（ 99）
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1 1
1
1 1 1
1
DCBAA B DDCBBA)D,C,B,A(F 2
F=1的项全部填完以后,其它补零。
0
0
00 0
0
0
（ 100）
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1 1
1
1 1 1
1
CA
BA
CB
AD
ADCBBACA)D,C,B,A(F 2
ADCBBA)D,C,B,A(F 2
冗 余项
DCBAA B DDCBBA)D,C,B,A(F 2
勾圈化简
0
0
00 0
0
0
（ 101）
CBBACABA)C,B,A(F 3
例 2：用公式化简法得到下式，问是否最简，
若不是,请化简之。
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1
B
C填项：
（ 102）
例 2：用公式化简法得到下式，问是否最简，
若不是,请化简之。
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1 1
1
B
C
CBBACABA)C,B,A(F 3
F=1的项全部填完以后,填项结束。
0
0
（ 103）
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1 1
1
BA
CA CB
CBCABA)C,B,A(F 3
CBBACABA)C,B,A(F 3
勾圈化简：
0
0
（ 104）
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1 1
1
CA
CB BA
BACBCA)C,B,A(F 3
CBBACABA)C,B,A(F 3
CBCABA)C,B,A(F 3
0
0
（ 105）
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1 1
1
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1 1
1
说明：化简结果不唯一。
0
0
0
0
（ 106）
F4(A,B,C,D)=?m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)
F4=?（ m0,m1,m2,m5,m6,m7,m8,m10,m11,m12,m13,m15)?
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1
1 11
1 11
1 1 1
高位 低位
(A,B,C,D)
0
0
0
0
（ 107）
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1
1 11
1 11
1 1 1
BD
CBA
DCA
DCA
CBA
CBADCADCACBABD
F4(A,B,C,D)=?m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)
每次勾圈时，应包含 尽量多的独立格。
0
0
0
0
（ 108）
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1
1 11
1 11
1 1 1
DB
CAB
BCA
DCA
ACD
DCAA C DBCACABDB
CBADCADCACBABD
F4(A,B,C,D)=?m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)
0
0
0
0
（ 109）
B
AB CD
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1
1 11
1 11
1 1 1
B
AB CD
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1
1 11
1 11
1 1 1
每次勾圈 时，应包含 尽量多的独立格,
以避免出现 冗 余项。
化简结果不唯一。
说明一：
说明二：
0
0
0
0
0
0
0
0
（ 110）
§ 2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简在分析某些具体的逻辑函数时,n个变量的 2n种组合中有一些变量取值 不会出现 (或 不允许出现 ),对输入变量取值所加的限制称为 约束 。 这些取值所对应的 最小项 称为 约束项,约束项的值恒等于 0。
在真值表和卡诺图中，用?或?表示 无关项 ;在逻辑式中,用?d 来表示 无关项之和。
另一种情况是输入变量的某些取值下函数是 1还是 0
皆可，并不影响电路功能。这些变量取值下，其值为 1
的那些最小项称为 任意项 。
约束项和任意项统称为 无关项。
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
（ 111）
十进制数 84 21 码
0 00 00
1 00 01
2 00 10
3 00 1 1
4 01 00
5 01 01
6 01 10
7 01 1 1
8 10 00
9 10 01
10 10 10
1 1 10 1 1
12 1 10 0
13 1 10 1
14 1 1 10
15 1 1 1 1
六个 约束项：
m10,m11,m12,m13,m14,m15
二? 十进制编码
（ 8421 BCD)
例,四变量?A,B,C,D取：
（ 112）
例题,将下列具有无关项的逻辑函数化为最简与或式。
)14,11,8,3(d)15,9,7,5,1(m)D,C,B,A(F 1
)14,13,12,10,7,6,5,2(m)D,C,B,A(F 2
)11,9,8,3,1,0(d
2.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用
（ 113）
解,由于无关项是否写入逻辑函数式无关紧要，因此,用卡诺图法 利用无关项进行化简 时无关项的值可以当,0”处理，
也可以当,1”处理； 必要时当,1”处理,
这样可以使逻辑函数化得更简单（可以尽量勾大）。
（ 114）
)14,11,8,3(d)15,9,7,5,1(m)D,C,B,A(F 1
B
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1
11
1
1
DA
CD
DB
DBCDDA)D,C,B,A(F 1
高位 低位
00
0
0 0
0
0
（ 115）
B
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
11
1
1
1
1
1
1
DA
DC
CA
CADADC)D,C,B,A(F 2
)14,13,12,10,7,6,5,2(m)D,C,B,A(F 2
)11,9,8,3,1,0(d
0
0
（ 116）
课 堂 练 习
1,化简 F(A,B,C,D)=?m(0,2,3,5,6,8,9,10,11,
12,13,14,15)
AB
CD00 01 11 10
00
01
1 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 1
11
10
A
DC
CB
DB
DCB
DCBDBCBDCAF
（ 117）
AB
CD00 01 11 10
00
01
0 0 0 1
1 0 0 1
x x x x
1 0 x x
11
10
2,化简
,1 3,1 4,1 5 )d ( 1 0,1 1,1 2m ( 2,4,6,8 )
D)C,B,L ( A,
DC
DA
DB
DADBDCL
（ 118）
二、逻辑代数：
1.基本运算法则,结合律,交换 律,分配律等；
2.几种形式的吸收律；
3.几个定理,德? 摩根定理,反演定理。
逻辑代数：数字电路分析和设计的理论工具。
一,逻辑函数的表示方法 （五种）：
真值表，逻辑式，卡诺图，逻辑图，波形图。
第二章小结
（ 119）
1,公式法 —布尔代数；
2,图形法 —卡诺图 (n? 4),
三步：布阵、填项,勾圈化简；
具有约束的逻辑函数的化简。
三、逻辑函数的化简,两种方法
（ 120）
第二章习题课
1,已知逻辑函数如下：
))()()((),,,( DCADCADBADBADCBAY
要求,（ 1）用最少的 或门 -与门 实现；
（ 2）用最少的 或非门 实现。
2,设逻辑函数,证明其对偶函数
YD=A ⊙ B ⊙ C,且 Y=YD是一个自对偶函数。
CBAY
（ 121）
4,试用卡诺图判断下列两组逻辑函数 Y1和 Y2
有何关系：
ABCBCAY1
BACBCAY2
3,已知逻辑函数：
CDBDCCBDCBAY),,,(1
CBACDDADCBAY),,,(2
试求：
并化简成最简与或式。
21 YYY A N D 21 YYY OR 21 YYY X O R
（ 122）
1,已知逻辑函数如下：
))()()((),,,( DCADCADBADBADCBAY
要求,（ 1）用最少的 或门 -与门 实现；
（ 2）用最少的 或非门 实现。
解：
① 求函数 Y的对偶式 DY
DCACDADBAABDY D
② 化简 DY
DBADABDY D
习题解答
（ 123）
))()(()( DBADADBYY DD
③ 求 的对偶式，即函数 Y：DY
转换成或非式：
))()(( DBADADBY
)()()( DBADADB
（最简或 -与式）
（最简或非 -或非式）
对偶定理的妙用
（ 124）
2,设逻辑函数,证明其对偶函数
YD=A ⊙ B ⊙ C,且 Y=YD是一个自对偶函数。
CBAY
解,CBAY =A(B⊙ C) )( CBA
=A (B ⊙ C)+A(B ⊙ C)
=A ⊙ B ⊙ C
再证明 Y=YD。
)()(
)()()()(
)()(
CBBCACBCBA
CBCBACBCBAY
CBCBACBBCA
D
（ 125）
3,已知逻辑函数：
CDBDCCBDCBAY),,,(1
CBACDDADCBAY),,,(2
试求：
并化简成最简与或式。
21 YYY A N D 21 YYY OR 21 YYY X O R
（提示：巧用卡诺图进行逻辑运算,题 2.24）
DCACDBDCBY AN D
ACABDADCY OR
DACCBADCABDY X O R
解：
（ 126）
4,试用卡诺图判断下列两组逻辑函数 Y1和 Y2
有何关系：
ABCBCAY1
BACBCAY2
A
BC00 01 11 10
0
1
0 0 0 1
1 0 1 1
Y1
A
BC00 01 11 10
0
1
1 1 1 0
0 1 0 0
Y2
所以 Y1和 Y2互为反函数。
（ 127）
第二章结 束
（ 128）
作业讲解 (第一章）
题 1.22利用卡诺图之间的运算将下列逻辑函数化简为最简与或式。
))(()1( CBB CDCDADCBADBCAABY
题 1.20(3) 将下列函数化简为 最简与或函数式。
)()()2( CDDAA B CDCADCDCDAY
给定的约束条件为：,))(()( CBBADCBBAY
。0 B CDA CDA B DA B C
（ 129）
解题 1.20(3):
CBBADBCDCBA
CBBADCBBAY
))(()(
AB
CD00 01 11 10
00
01
1 1 1 1
1 1 x 1
1 x x x
0 0 x 1
11
10
0 B CDA CDA B DA B C
CBAY
（ 130）
解题 1.22:
))(()1( CBB CDCDADCBADBCAABY
AB
CD
00 01 11 10
00
01
0 1 1 1
0 0 1 1
1 1 1 1
0 1 1 0
11
10
AB
CD
00 01 11 10
00
01
0 0 1 1
0 0 1 0
0 0 1 0
0 1 1 1
11
10
AB
CD
00 01 11 10
00
01
0 0 1 1
0 0 1 0
0 0 1 0
0 1 1 0
11
10
Y1 Y2 Y1· Y2
Y1 Y2
DBACBACDYYY 21
（ 131）
)()()2( CDDAA B CDCADCDCDAY
Y1 Y2
AB
CD
00 01 11 10
00
01
1 1 0 1
1 1 0 1
0 1 0 1
0 1 0 1
11
10
AB
CD
00 01 11 10
00
01
0 1 1 0
0 1 1 0
1 0 1 1
1 0 1 0
11
10
AB
CD
00 01 11 10
00
01
1 0 1 1
1 0 1 1
1 1 1 0
1 1 1 1
11
10
Y1 Y2
BAADCADCYYY 21
21 YY?
第二章 逻辑代数基础
§ 2.1 概述
§ 2.2 逻辑代数中的三种基本运算
§ 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
§ 2.5 逻辑函数及其表示方法
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
§ 2.6 逻辑函数的化简方法
§ 2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简
（ 2）
内容提要本章介绍分析数字电路逻辑功能的数学方法。
首先介绍逻辑代数的基本公式、
常用公式和重要定理；然后讲述逻辑函数及其表示方法；最后介绍如何应用上述公式、定理化简逻辑函数。
（ 3）
§ 2.1 概述在二值逻辑中，逻辑代数中的逻辑变量取值只有两个,1（逻辑壹）,0（逻辑零）。
0和 1表示两个对立的逻辑状态。
（ 4）
§ 2.2 逻辑代数中的三种基本运算基本逻辑运算,与 ( and ),或 (or ),非 ( not )。
一、“与”逻辑与逻辑,决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。
规定,
开关合为逻辑,1”
开关断为逻辑,0”
灯亮为逻辑,1”
灯灭为逻辑,0”
E Y
A B C
（ 5）
&A
B
C
Y
逻辑符号：
A YB C
000 0100 0
010 0110 0
001 0101 0
011 0111 1
逻辑式,Y=A?B?C
逻辑乘法
（逻辑与）
真值表
E Y
A B C
真值表特点,任 0 则 0,全 1则 1
与逻辑运算规则：
0? 0=0 0? 1=0
1? 0=0 1? 1=1
（ 6）
二,“或”逻辑
A
E Y
B
C
或逻辑,决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。
规定,
开关合为逻辑,1”
开关断为逻辑,0”
灯亮为逻辑,1”
灯灭为逻辑,0”
（ 7）
A YB C
000 0100 1
010 1110 1
001 1101 1
011 1111 1
真值表
1AB
C
Y
逻辑符号：
逻辑式,Y=A+B+C
逻辑加法
(逻辑或 )
A
E Y
B
C
真值表特点：
任 1 则 1,全 0则 0。
或逻辑运算规则,
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=1
（ 8）
三,“非”逻辑
“非”逻辑,决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。
规定,
开关合为逻辑,1”
开关断为逻辑,0”
灯亮为逻辑,1”
灯灭为逻辑,0”
AE Y
R
（ 9）
逻辑符号：
逻辑非
(逻辑反 )
A Y
0 1
1 0
真值表
AE Y
R
真值表特点,
1则 0,0则 1。
AY?逻辑式：
运算规则：
10,01
A Y1
（ 10）
四、几种常用的复合逻辑运算
“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑运算，任何其它的复杂逻辑运算都可以用与、
或、非的组合来实现。
CBAY
与非,条件
A,B,C都具备，则 Y 不发生。
&AB
C
Y
其他几种常用的逻辑运算如下表：
（ 11）
CBAY
或非,条件
A,B,C任一具备，则 Y 不发生。
1AB
C
Y
BA
BABAY
异或,条件 A、
B有一个具备，
另一个不具备则
Y 发生。
=1AB
C
Y
同或,条件
A,B相同，则
Y 发生。
=AB
C
Y
BA
BAABY
（ 12）图 2.2.3 复合逻辑的图形符号和运算符号
（ 13）
A YB C
000 1100 1
010 1110 1
001 1101 1
011 1111 0
与非逻辑真值表
A YB C
000 1100 0
010 0110 0
001 0101 0
011 0111 0
或非逻辑真值表异或逻辑真值表
A B Y
000 110
101 011
同或逻辑真值表
A B Y
100 010
001 111
（ 14）
§ 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
2.3.1 基本公式加 运算规则,
0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1
乘 运算规则,
0?0=0 0?1=0 1?0=0 1?1=1
非 运算规则,
1001
AA?
0,,1,00 AAAAAAAA
1,,11,0 AAAAAAAA
一、基本定律
（ 15）
二、交换律三、结合律四、分配律
A+B=B+A
A? B=B? A
A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B
A? (B? C)=(A? B)? C
A(B+C)=A? B+A? C
A+B? C=(A+B)(A+C) 普通代数不适用 !
（ 16）
求证,（分配律第 2条） A+BC=(A+B)(A+C)
证明,
右边 =(A+B)(A+C)
=AA+AB+AC+BC ; 分配律
=A +A(B+C)+BC ; 结合律,AA=A
=A(1+B+C)+BC ; 结合律
=A? 1+BC ; 1+B+C=1
=A+BC ; A? 1=A
=左边
（ 17）
五、德?摩根定理 (反演律）
（ De? Morgan)
证明：
真值表法、
穷举法推广到多变量：
CBACBA
CBACBA
说明：两个（或两个以上）变量的 与非 （ 或非 ）
运算等于两个（或两个以上）变量的 非或 （ 非与 ）运算。
BABA1
BABA2
（ 18）
用真值表证明摩根定理成立
A · B=A+B A+B= A · B
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
Y1=A·B Y2=A+B
1
1
1
0
1
1
1
0
相等
√
（ 19）
吸收：多余（ 冗余 ）项，多余（ 冗余 ）因子被取消、去掉? 被消化了。
1.原变量的吸收,A + AB = A
证明,左式 =A(1+B)
原式成立 口诀：
长中含短,
留下短。
长项短项
=A
=右式
1
||
2.3.2 若干常用公式 --几种形式的吸收律
（ 20）
2,反变量的吸收,A + A B = A + B
证明：
=右式口诀：
长中含反,
去掉反。
原 (反 )变量 反 (原 )变量添冗余项
BAABA左式
)AA(BA
1
||
（ 21）
3.混合变量的吸收：
证明：
添冗余因子
A B + A C + BC=AB+AC
互 为 反 变量
=右式口诀：
正负相对,
余全完。
（消 冗余项）
添加
BCCAAB左式
BC)AA(CAAB
BCAA B CCAAB
)BCACA()A B CAB(
CAAB
（ 22）
证明：
4,A ·A ·B=A ·B A ·A ·B=A
A·A·B = A· (A+B) =A ·B
A ·A ·B=
A ·A ·B=?
A·(A+B)=A
A A
A·B A·B
√ ×
× ×
（ 23）
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理内容,在任何一个包含变量 A的逻辑等式中，
若以另外一个 逻辑式 代替式中所有的变量 A，
则等式仍然成立。
例,用代入规则证明 德? 摩根定理 也适用于多变量的情况。
二变量的德? 摩根定理为：
BABA1
BABA2
（ 24）
以（ B·C）代入（ 1）式中 B，以（ B+C）代入
（ 2）式中 B，则得到：
CΒΑC)( ΒΑC)( ΒΑ
CBAC)(BAC)(BA
注,代入定理还可以扩展其他基本定律的应用范围 ！
BABA1
BABA2
（ 25）
2.4.2 反演定理内容,将函数式 F中所有的
+
+?
变量与常数均取反
1.遵循先括号? 再乘法?后加法的 运算顺序 。
2.不是一个变量上的反号 不动 。
规则,
用处,实现互补运算（求反运算）。
新表达式,F
显然,FF?
(反函数 )
（ 26）
例 1：
1)DC()BA(F 1
0DCBAF 1
与或式注意括号注意括号
DBDACBCAF 1
（ 27）
)EDCB(A
)EDCB(A
例 2,EDCBAF
2
EDCBAF 2
与或式反号不动反号不动
EDACABAF 2
（ 28）
2.4.3 对偶定理将函数式 F中所有的对偶式：
+
+?
常量 取反新表达式,DF
对偶式对偶定理,当某个逻辑恒等式成立时，
则其对偶式也成立。
若 0DCBAF
1
则：
1D)(C)BA(F D1
DBCBDACA
（ 29）
注,证明两个逻辑式相等时，也可以通过证明它们的对偶式相等来完成。
（ 30）
§ 2.5 逻辑函数及其表示方法
事物之间的逻辑关系可以通过描述逻辑输入变量和输出变量的变化关系来确定，这是一种函数关系，称为 逻辑函数 。
记为,Y=F（ A,B,C,·· ）
例如与非门,Y= A · B 就是一个两输入变量 A和 B，一个输出变量的逻辑函数。
逻辑函数的输入和输出取值为 0和 1。
任何一个逻辑因果关系都可以用一个逻辑函数来描述。
2.5.1 逻辑函数
（ 31）
四种表示方法逻辑函数式 (逻辑表示式,逻辑代数式 )
1
1
&
&
≥1
A
B
Y
逻辑图,
波形图
n2n个输入变量 种组合 。
真值表,将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。
BABAY
2.5.2 逻辑函数的表示方法
（ 32）
逻辑问题：裁判电路
问题抽象,输入变量 A,B,C分别代表主裁和两个副裁，同意为 1；输出变量 Y代表运动员成绩，有效为 1。
问题描述如下：
举重比赛中有 A,B,C三个裁判,A为主裁,B,C为副裁，规定当主裁和至少一个副裁认定成绩有效时，则运动员成绩 Y有效；否则无效。
（ 33）
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
列真值表的方法：
一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，
列出所有可能的状态。
一、真值表
（ 34）
二、逻辑函数式
由规定当主裁 A和至少一个副裁 B,C
认定成绩有效时，则运动员成绩 Y有效，
可知：
Y=A ·（ B+C）
对于较复杂的逻辑问题，往往很难直接写出逻辑函数式，可以通过真值表的帮助来获得逻辑函数式。
（ 35）
把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来，就构成了 逻辑图 。
&A
B
&C
A
1 Y
三、逻辑图
（ 36）
四、波形图
A
B
C
Y
t
t
t
t
t
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
波形图,将逻辑函数输入变量每一种可能出现的取值与对应的输出值按时间顺序依次排列起来的图形。
（ 37）
方法：
① 找出所有使输出为 1的输入组合；
② 将每一种组合以 1
对应原变量,0对应反变量的方法变换为逻辑符号与的形式；
③ 将所有 ② 的结果相加 (或 )，得到的函数式就是 Y。
Y=ABC+ABC+ABC
1、由真值表写函数式
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
CBA
CAB
ABC
1 0 1
1 1 0
1 1 1
五、各种表示方法间的相互转换
（ 38）
2、由函数式写真值表
将输入变量的各种组合一一代入函数式中计算输出变量值，全部完成后得到 真值表 。
0
1
0
1
0
1
0
1
C
0
0
1
1
0
0
1
1
B
0
0
0
0
1
1
1
1
Y=A+BC+ABCA
0
1
1
·
·
·
0
1
1
1
1
例如：
Y=A+BC+ABC
求它的真值表。
（ 39）
B
AB
Y=A B+AB
A BA
1
&A
B
&
1
≥1
3、由逻辑图写逻辑函数式
Y
（ 40）
4、由函数式画逻辑图
A
1
B
1
C
1
&
≥1 &
≥1
已知逻辑函数为画出对应的逻辑图。
CCBACBAY
（ 41）
2.5.3 逻辑函数 的两种标准形式最小项 是构成逻辑函数的基本单元，对应于输入变量的每一种组合。 n变量的最小项有 2n个。
一、最大项和最小项
n变量的 最小项 m是 n个因子的乘积,每个变量都以 它的 原变量 或 反变量 的形式在乘积项 m中出现，且仅出现一次。
1,最小项：
最小项和最大项是构成逻辑函数的基本单元。
最小项与最大项是等价的两个概念，虽然从形式上看是互反的，但表达的内容是一致的。
（ 42）
2变量最小项
2变量 (A和 B)逻辑函数,A和 B两个因子构成的乘积项组合,AB,AB,AB、
AB，称为 2变量最小项。
显然,A,B,A,B不是 2变量最小项。
（ 43）
三变量 最小项
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
CBA
CBA
CBA
CAB
CBA
CBA
BCA
ABC
变量赋值为 1时用原变量表示；变量赋值为 0
时用该变量的反变量来表示,
可见输入变量的八种状态分别唯一地对应着八个最小项 。
（ 44）
最小项的性质 1
在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最小项的值为 1。
ABC
ABC
ABC
ABC
ABC
ABC
ABC
ABC
输入变量取值 A=0,B=1,C=0最小项
0
0
1
0
0
0
0
0
（ 45）
全体最小项之和为 1。
ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC
AB + AB + AB + AB
A + A
1
实际上性质 2可由性质 1推出，想一想，
为什么？
最小项的性质 2
（ 46）
任意两个最小项的乘积为 0。
ABC?ABC=0
实际上，性质 3也可以由性质 1推得，为什么？
最小项的性质 3
（ 47）
具有逻辑相邻性的两个最小项之和可以消去一对因子而合并成一项。
最小项的性质 4
逻辑相邻,若两个最小项只有一个因子以原、反区别，其他因子均相同，则称这两个最小项具有逻辑相邻性。
（ 48）
逻辑相邻；与例,BCACBA
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
CBA
CBA
CBA
BCA
CBA
CBA
CAB
ABC
是不是逻辑相邻？与 CBACBA
CABCACBA
逻辑相邻的项可以合并且消去一对因子
（ 49）
最小项的编号：
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
CBA
CBA
CBA
BCA
CBA
CBA
CAB
ABC
以三变量逻辑函数为例：
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
mi最小项通常用 表示，下标 i即最小项编号，
用十进制表示。
（ 50）
*2、最大项
定义：
在 n变量逻辑函数中，若 M为 n个变量之和，而且这 n个变量均以原变量或反变量的形式在 M中出现且只出现一次，则称 M
为该组变量的 最大项 。
n变量有 2n个最大项。
（ 51）
2变量最大项
2变量 (A和 B)函数,A和 B两个因子构成的和式组合有,A+B,A+B,B+A、
A+B，称为 2变量最大项。
显然,A,B,A,B不是 2变量最大项。
（ 52）
3变量最大项
A,B,C三个变量构成的最大项有：
CBACBACBACBA
CBACBACBACBA
,,,
,,,
如果把 ABC的取值 010看成一个二进制数，则它相当于十进制数 2，因此我们把最大项 A+B+C记为 M2。
（ 53）
最大项的性质 1
在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最大项的值为 0。
A+B+C
A+B+C
A+B+C
A+B+C
A+B+C
A+B+C
A+B+C
A+B+C
输入变量取值 A=0,B=1,C=0最大项
1
1
1
1
1
0
1
1
（ 54）
全体最大项之积为 0。
实际上性质 2可由性质 1推出，想一想，
为什么？
最大项的性质 2
（ 55）
最大项的性质 3
任意两个最大项的和为 1。
（ A+B+C） +（ A+B+C） =1
实际上，性质 3也可以由最大项定义或者性质 1推得。
（ 56）
最大项的性质 4
相邻的两个最大项之积可以消去一对因子而合并成一项相邻
两个最大项只有一个因子不同，称 相邻 。
A+B+C A+B+C
A+B+C A+B+C
（ A+B+C）?（ A+B+C） =B+C
推论,n变量的最大项有 n个相邻项。
（ 57）
最大项与最小项的关系
2
2
M
CBA
CBAm
ii Mm?
（ 58）
根据最小项的特点，从真值表可直接用最小项写出逻辑函数式。
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
CBA
CBA
CBA
BCA
CBA
CBA
CAB
ABC
例如,由左图所示三变量逻辑函数的真值表，可写出其逻辑函数式：
A B CCABCBAY
验证,将八种输入状态代入该表示式，均满足真值表中所列出的对应的输出状态。
二、逻辑函数的最小项之和形式
,6,7 )m (5
（ 59）
将下列函数表示为最小项之和的形式：
CBCAABY1
CBCAABY 1111
CBAACBBACCAB )()()(
CBACABCBABCACABA B C
261367 mmmmmm
76321 mmmmm
i
i im )7,6,3,2,1(
（ 60）
三、逻辑函数的最大项之积形式
结论,任意逻辑函数可以表示为最大项之积的形式（和之积式）。
显然，由于最小项与最大项之间的对称关系，可以得到下面的结论：
（ 61）
A B C F
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
已知逻辑函数的真值表如下，写出 F
的最大项表达式。
)()( CBACBAF
（ 62）
2.5.4 逻辑函数形式的变换
CAABY设 与 -或
CAABCAABY 与非 -与非
))(( CABACAABY 或 -与非
CBBACAY
与非 -与CBBACAY
))()(( CBBACAY 或 -与
CBBACACBBACAY ))()(( 或非 -或非与或非
（ 63）
§ 2.6 逻辑函数的化简方法
◆ 同一逻辑函数可以有多种不同的逻辑式，一般来讲，逻辑式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，越有利于用最少的逻辑器件来实现这个函数。所以化简是必要的。
（ 64）
◆ 最简的标准与实际应用中能够提供的逻辑器件有关系，要根据实际而定；
◆常用的逻辑器件有与非门、或非门、与或非门、异或门、非门等；
◆以使用的器件数目最少、成本最低为判断最简的标准；
◆默认最简形式为最简 与 -或式,即用最少的与门和或门来实现函数。
（ 65）
2.6.1 公式化简法最简与或式,乘积项的 项数最少。每个乘积项中 变量个数最少。
例题：
BADCBABDABDBAF 1
并项法
DCBABDABDB 吸收消去
（长中含短，留下短）BDB
（长中含反，去掉反）
（最简与或式）
吸收消去
DBF 1
（ 66）
D E F GEFBA C E FBDCAABDAADF 2
(合并项 ) （长中含短，留下短）
A
D E F GEFBBDCAA
(长中含反,去掉反 )
吸收消去 吸收消去 (正负相对,余全完 )
吸收消去
（最简与或式） EFBBDCAF
2
DEF:冗余因子
DEFG:冗余项
（ 67）
)GF(ADEDBDBCBCBCAABF 3
添冗余项,BA (正负相对,余全完 )
消冗余项
DBDBCBCBA
（长中含短，留下短）
添冗余项,DC
（最简与或式）
(正负相对,余全完 )
DCDBCBAF 3
合并项,A
（ 68）
添冗余项,DC
（最简与或式）
(正负相对,余全完 )
添冗余项,BA (正负相对,余全完 )
消冗余项
DBDBCBCBA
（长中含短，留下短）合并项,A
DCDBCBAF
3
)GF(ADEDBDBCBCBCAABF 3
（ 69）
化简结果不唯一
)GF(ADEDBDBCBCBCAABF 3
经过化简得最简与或式,
或者,项数,因子数对应相同。
讨论,
DCDBCBAF 3
DCDBCBAF 3
（ 70）
题 1,A B CCABCBAF
反变量吸收提出 AB
=1
提出 A
课堂练习
)( CCABCBA
ABCBA
)( BCBA
)( BCA
ABAC
用公式化简法化简下列逻辑函数式：
（ 71）
题 2：
CBBCBAABF
)( CBBCBAAB ）（
摩根定律
CBAABC
CCBAAB
)(
)(
配项
CBBCAA B C
CBACBAAB
被吸收被吸收
CBBBCAAB )(
CBCAAB
（ 72）
结论,异或门可以用 4个与非门实现。
题 3,证明
BABBAABABABAY
BABBAA右边; 摩根定律
BABBAA
)BA(B)BA(A
BBABBAAA
0ABBA0
ABBA
左边?
AA;?; 展开
（ 73）
用 4个与非门实现异或：
&
&
&
&AB Y
BABBAABABABAY
（ 74）
2.6.2 卡诺图化简法 --图形化简法一,逻辑函数的卡诺图表示法
1,卡诺图的构成：
下面举例说明卡诺图的画法,
并且将 逻辑相邻 的最小项放在 相邻的几何位置 上,所得到的阵列图就是 n变量的卡诺图。
将 n个输入变量的 全部最小项用小方块阵列图表示，
卡 诺图的思想源于两个逻辑相邻的最小项可以化简的性质。
（ 75）
B 0 1A
0
1 m3
m0
m2
m1
输入变量二变量卡诺图卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。
一变量卡诺图
m0 m1
L
0 1
（ 76）
逻辑相邻,相邻单元输入变量的取值只能有一位不同。
0
1
00 01 11 10A BC
m0 m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
输入变量三变量卡诺图注意,m2与 m0逻辑相邻。
（ 77）
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
四变量 卡诺图
m0 m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
m12 m13 m15 m14
m8 m9 m11 m10
卡诺图的特点,具有循环邻接的特性。
（ 78）
5变量卡诺图
CDE
AB 000 001 011 010 110 111 101 100
00 m0 m1 m3 m2 m6 m7 m5 m4
01 m8 m9 m11 m10 m14 m15 m13 m12
11 m24 m25 m27 m26 m30 m31 m29 m28
10 m16 m17 m19 m18 m22 m23 m21 m20
6 5 4
14 13 12
30 29 28
22 21 20
（ 79）
卡诺图的简化表示法,有时为了方便，
用对应 最小项的编号 表示单元格。
A
BC00 01 11 10
0
1
0 1 3 2
4 5 7 6
简化的 三变量 卡诺图,简化的 四变量 卡诺图,
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
（ 80）
2,已知逻辑函数画卡诺图：
BC
A 00 01 11 10
0 m0 m1 m3 m2
1 m4 m5 m7 m6
0 0 0 0
0 1 1 1
方法：先将逻辑函数表示为最小项之和的形式，然后在卡诺图相应最小项位置填 1，其它地方填 0。
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
A B C
A B CCABCBAY
（ 81）
2,已知逻辑函数画卡诺图：
例 1,画出以下逻辑函数的卡诺图：
D)CBD ) ( ACBD ) ( ACBA(
)DCBA)(DCBA(D)C,B,L ( A,
解,根据反演规则，上式化成：
DCBADBCADCBADCABA B C DL
)0,6,10,13,15(m
（ 82）
所以,L的卡诺图为：
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
0 1 1 1
1 1 1 0
1 0 0 1
1 1 1 0
)0,6,10,13,15(mL
（ 83）
二,用卡诺图 化简 逻辑函数
原理：相邻的两个最小项可以化简消去一对因子。
0 1 0 0
1 0 0 1
0 0 1 0
1 1 1 1
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
（ 84）
化简原则
如果两个最小项相邻，可以合并为一项并消去 一对 因子；
如果四个最小项相邻，可以合并为一项并消去 两对 因子；
如果八个最小项相邻，可以合并为一项并消去 三对 因子；
如果 2n 个最小项相邻，可以合并为一项并消去 n对 因子。
（ 85）
两个最小项相邻的情况
1 1
1
1
1
1
1
（ 86）
四个最小项相邻的情况
1 1
1 1
1
1
1 1
1
1
1
1
（ 87）
八个最小项相邻的情况
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
（ 88）
卡诺图法化简步骤
(一 )布阵 （画法规则）
(二 )填项 (用卡诺图表示逻辑函数 )
(三 )勾圈化简 (用卡诺图 化简 )
三步曲
(一 )布阵（画法规则）：
1.N=2n 格（ n?5）,最小项
2.循环码编排 循环邻接上下封闭布阵
（ 89）
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
B
D
C
m0 m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
m8 m9 m11 m10
m12 m13 m15 m14
高位低位
（ 90）
(二 ) 填项：
用卡诺图表示逻辑函数填 F=1
的项 1.最小项直接填入；
2.刷项（填公因子所包含的项）；
3.按?（ m0,? m15) 编号填入。
按 F=1的 与或式 填项方法
（ 91）
例 1,BADCBABDABDBA)D,C,B,A(F
1
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
B
D
C
1
直接填入)CC?（
1
公因子,
BDA
有重复,1”者，只填一个,1”。
（ 92）
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
B
D
C
1 1
1 1
公因子,
BD
有重复,1”者，只填一个,1”。
刷项：
填公因子包含的项例 1,BADCBABDABDBA)D,C,B,A(F
1
（ 93）
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
B
D
C
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
有重复,1”者，只填一个,1”。
刷项：
填公因子包含的项例 1,BADCBABDABDBA)D,C,B,A(F
1
（ 94）
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
B
D
C
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
F=1的项全部填完以后,填项 结束 ;
不填者自动为,0”。
例 1,BADCBABDABDBA)D,C,B,A(F
1
0
0
0
0
（ 95）
(三 ) 勾圈化简：
1.尽量勾大,2i个格消 i个变量 (i?n);
3.每个圈至少有一个 独立格 ；
4.圈必须覆盖所有的,1”，即不能遗漏取值为,1”的小方块。
勾圈原则得到 最简与或式。
2.“1”可以重复利用；
（ 96）
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
B
D
C
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
D
保留公因子：
消 取值不同的变量：
1 AA
B
保留公因子：
DB)D,C,B,A(F 1
合理重叠（,1”可以重复使用）。
例 1,BADCBABDABDBA)D,C,B,A(F
1
0
0
0
0
（ 97）
也可以取 F=0的项化简,
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
0
0
0
0
DB)D,C,B,A(F 1?
DB
DB)D,C,B,A(F 1
（ 98）
DCBAA B DDCBBA)D,C,B,A(F 2
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1 1
1
1
填项：
（ 99）
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1 1
1
1 1 1
1
DCBAA B DDCBBA)D,C,B,A(F 2
F=1的项全部填完以后,其它补零。
0
0
00 0
0
0
（ 100）
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1 1
1
1 1 1
1
CA
BA
CB
AD
ADCBBACA)D,C,B,A(F 2
ADCBBA)D,C,B,A(F 2
冗 余项
DCBAA B DDCBBA)D,C,B,A(F 2
勾圈化简
0
0
00 0
0
0
（ 101）
CBBACABA)C,B,A(F 3
例 2：用公式化简法得到下式，问是否最简，
若不是,请化简之。
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1
B
C填项：
（ 102）
例 2：用公式化简法得到下式，问是否最简，
若不是,请化简之。
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1 1
1
B
C
CBBACABA)C,B,A(F 3
F=1的项全部填完以后,填项结束。
0
0
（ 103）
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1 1
1
BA
CA CB
CBCABA)C,B,A(F 3
CBBACABA)C,B,A(F 3
勾圈化简：
0
0
（ 104）
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1 1
1
CA
CB BA
BACBCA)C,B,A(F 3
CBBACABA)C,B,A(F 3
CBCABA)C,B,A(F 3
0
0
（ 105）
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1 1
1
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1 1
1
说明：化简结果不唯一。
0
0
0
0
（ 106）
F4(A,B,C,D)=?m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)
F4=?（ m0,m1,m2,m5,m6,m7,m8,m10,m11,m12,m13,m15)?
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1
1 11
1 11
1 1 1
高位 低位
(A,B,C,D)
0
0
0
0
（ 107）
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1
1 11
1 11
1 1 1
BD
CBA
DCA
DCA
CBA
CBADCADCACBABD
F4(A,B,C,D)=?m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)
每次勾圈时，应包含 尽量多的独立格。
0
0
0
0
（ 108）
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1
1 11
1 11
1 1 1
DB
CAB
BCA
DCA
ACD
DCAA C DBCACABDB
CBADCADCACBABD
F4(A,B,C,D)=?m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)
0
0
0
0
（ 109）
B
AB CD
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1
1 11
1 11
1 1 1
B
AB CD
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1
1 11
1 11
1 1 1
每次勾圈 时，应包含 尽量多的独立格,
以避免出现 冗 余项。
化简结果不唯一。
说明一：
说明二：
0
0
0
0
0
0
0
0
（ 110）
§ 2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简在分析某些具体的逻辑函数时,n个变量的 2n种组合中有一些变量取值 不会出现 (或 不允许出现 ),对输入变量取值所加的限制称为 约束 。 这些取值所对应的 最小项 称为 约束项,约束项的值恒等于 0。
在真值表和卡诺图中，用?或?表示 无关项 ;在逻辑式中,用?d 来表示 无关项之和。
另一种情况是输入变量的某些取值下函数是 1还是 0
皆可，并不影响电路功能。这些变量取值下，其值为 1
的那些最小项称为 任意项 。
约束项和任意项统称为 无关项。
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
（ 111）
十进制数 84 21 码
0 00 00
1 00 01
2 00 10
3 00 1 1
4 01 00
5 01 01
6 01 10
7 01 1 1
8 10 00
9 10 01
10 10 10
1 1 10 1 1
12 1 10 0
13 1 10 1
14 1 1 10
15 1 1 1 1
六个 约束项：
m10,m11,m12,m13,m14,m15
二? 十进制编码
（ 8421 BCD)
例,四变量?A,B,C,D取：
（ 112）
例题,将下列具有无关项的逻辑函数化为最简与或式。
)14,11,8,3(d)15,9,7,5,1(m)D,C,B,A(F 1
)14,13,12,10,7,6,5,2(m)D,C,B,A(F 2
)11,9,8,3,1,0(d
2.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用
（ 113）
解,由于无关项是否写入逻辑函数式无关紧要，因此,用卡诺图法 利用无关项进行化简 时无关项的值可以当,0”处理，
也可以当,1”处理； 必要时当,1”处理,
这样可以使逻辑函数化得更简单（可以尽量勾大）。
（ 114）
)14,11,8,3(d)15,9,7,5,1(m)D,C,B,A(F 1
B
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1
11
1
1
DA
CD
DB
DBCDDA)D,C,B,A(F 1
高位 低位
00
0
0 0
0
0
（ 115）
B
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
11
1
1
1
1
1
1
DA
DC
CA
CADADC)D,C,B,A(F 2
)14,13,12,10,7,6,5,2(m)D,C,B,A(F 2
)11,9,8,3,1,0(d
0
0
（ 116）
课 堂 练 习
1,化简 F(A,B,C,D)=?m(0,2,3,5,6,8,9,10,11,
12,13,14,15)
AB
CD00 01 11 10
00
01
1 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 1
11
10
A
DC
CB
DB
DCB
DCBDBCBDCAF
（ 117）
AB
CD00 01 11 10
00
01
0 0 0 1
1 0 0 1
x x x x
1 0 x x
11
10
2,化简
,1 3,1 4,1 5 )d ( 1 0,1 1,1 2m ( 2,4,6,8 )
D)C,B,L ( A,
DC
DA
DB
DADBDCL
（ 118）
二、逻辑代数：
1.基本运算法则,结合律,交换 律,分配律等；
2.几种形式的吸收律；
3.几个定理,德? 摩根定理,反演定理。
逻辑代数：数字电路分析和设计的理论工具。
一,逻辑函数的表示方法 （五种）：
真值表，逻辑式，卡诺图，逻辑图，波形图。
第二章小结
（ 119）
1,公式法 —布尔代数；
2,图形法 —卡诺图 (n? 4),
三步：布阵、填项,勾圈化简；
具有约束的逻辑函数的化简。
三、逻辑函数的化简,两种方法
（ 120）
第二章习题课
1,已知逻辑函数如下：
))()()((),,,( DCADCADBADBADCBAY
要求,（ 1）用最少的 或门 -与门 实现；
（ 2）用最少的 或非门 实现。
2,设逻辑函数,证明其对偶函数
YD=A ⊙ B ⊙ C,且 Y=YD是一个自对偶函数。
CBAY
（ 121）
4,试用卡诺图判断下列两组逻辑函数 Y1和 Y2
有何关系：
ABCBCAY1
BACBCAY2
3,已知逻辑函数：
CDBDCCBDCBAY),,,(1
CBACDDADCBAY),,,(2
试求：
并化简成最简与或式。
21 YYY A N D 21 YYY OR 21 YYY X O R
（ 122）
1,已知逻辑函数如下：
))()()((),,,( DCADCADBADBADCBAY
要求,（ 1）用最少的 或门 -与门 实现；
（ 2）用最少的 或非门 实现。
解：
① 求函数 Y的对偶式 DY
DCACDADBAABDY D
② 化简 DY
DBADABDY D
习题解答
（ 123）
))()(()( DBADADBYY DD
③ 求 的对偶式，即函数 Y：DY
转换成或非式：
))()(( DBADADBY
)()()( DBADADB
（最简或 -与式）
（最简或非 -或非式）
对偶定理的妙用
（ 124）
2,设逻辑函数,证明其对偶函数
YD=A ⊙ B ⊙ C,且 Y=YD是一个自对偶函数。
CBAY
解,CBAY =A(B⊙ C) )( CBA
=A (B ⊙ C)+A(B ⊙ C)
=A ⊙ B ⊙ C
再证明 Y=YD。
)()(
)()()()(
)()(
CBBCACBCBA
CBCBACBCBAY
CBCBACBBCA
D
（ 125）
3,已知逻辑函数：
CDBDCCBDCBAY),,,(1
CBACDDADCBAY),,,(2
试求：
并化简成最简与或式。
21 YYY A N D 21 YYY OR 21 YYY X O R
（提示：巧用卡诺图进行逻辑运算,题 2.24）
DCACDBDCBY AN D
ACABDADCY OR
DACCBADCABDY X O R
解：
（ 126）
4,试用卡诺图判断下列两组逻辑函数 Y1和 Y2
有何关系：
ABCBCAY1
BACBCAY2
A
BC00 01 11 10
0
1
0 0 0 1
1 0 1 1
Y1
A
BC00 01 11 10
0
1
1 1 1 0
0 1 0 0
Y2
所以 Y1和 Y2互为反函数。
（ 127）
第二章结 束
（ 128）
作业讲解 (第一章）
题 1.22利用卡诺图之间的运算将下列逻辑函数化简为最简与或式。
))(()1( CBB CDCDADCBADBCAABY
题 1.20(3) 将下列函数化简为 最简与或函数式。
)()()2( CDDAA B CDCADCDCDAY
给定的约束条件为：,))(()( CBBADCBBAY
。0 B CDA CDA B DA B C
（ 129）
解题 1.20(3):
CBBADBCDCBA
CBBADCBBAY
))(()(
AB
CD00 01 11 10
00
01
1 1 1 1
1 1 x 1
1 x x x
0 0 x 1
11
10
0 B CDA CDA B DA B C
CBAY
（ 130）
解题 1.22:
))(()1( CBB CDCDADCBADBCAABY
AB
CD
00 01 11 10
00
01
0 1 1 1
0 0 1 1
1 1 1 1
0 1 1 0
11
10
AB
CD
00 01 11 10
00
01
0 0 1 1
0 0 1 0
0 0 1 0
0 1 1 1
11
10
AB
CD
00 01 11 10
00
01
0 0 1 1
0 0 1 0
0 0 1 0
0 1 1 0
11
10
Y1 Y2 Y1· Y2
Y1 Y2
DBACBACDYYY 21
（ 131）
)()()2( CDDAA B CDCADCDCDAY
Y1 Y2
AB
CD
00 01 11 10
00
01
1 1 0 1
1 1 0 1
0 1 0 1
0 1 0 1
11
10
AB
CD
00 01 11 10
00
01
0 1 1 0
0 1 1 0
1 0 1 1
1 0 1 0
11
10
AB
CD
00 01 11 10
00
01
1 0 1 1
1 0 1 1
1 1 1 0
1 1 1 1
11
10
Y1 Y2
BAADCADCYYY 21
21 YY?
